Разлагая e*’/(4a) в ряд Лорана по степеням а и произ водя почленное интегрирование ряда, получим
■i e l v a / х \v |
|
x |
1 jj e V * v |
1 |
= |
|
/v W — - 2я |
V2 j |
|
|
\ |
2 |
j |
k \ |
|
|
|
|
|
6 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
CO |
(- l)k (x/2)2k+v |
|
|
|
|
|
V |
f |
|
|
|
|
|
L J Г(/г + у + 1 ) Г ( А + 1 ) “ |
|
|
|
|
*= o |
|
|
|
|
Здесь мы |
воспользовались |
формулой |
(7) |
гл. |
XIII для |
вычисления |
интеграла $ |
|
e a a~k |
v'~1 da. |
Таким |
образом, |
у
формула (48) доказана. Мы получили также интегральное представление функции Бесселя Jv (г):
|
|
Jv(z) = 4 n \ e~ iZSini+iVld%- |
|
(54) |
|
|
|
С» |
|
|
|
Разбивая этот интеграл на три интеграла, получим |
|
|
СО |
|
|
оо |
|
|
Л ( г ) = ^ |
^ |
e**sin(ip) + / v n - v p < / p _ j _ |
jj e /Z S in ( / P ) - / Jt V - V p ^ p _ | _ |
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
+ |
2й S e~izsina+iva da |
(Б = a + |
гр), |
или |
|
|
|
л, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Jv(z) = ^ ( e iV3t- e ~ ivJl) |
2ShP—VP с/р |
e~izsin<x+ivada, |
ИЛИ |
|
с о |
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
Jv(z) ■ |
sin JTV jj g- г sh p-vp rfp + 2^ |
jj e-iz s!n a+''va da. |
(55) |
В частности, |
при v —n (n-целое) |
получим |
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
Jn(2) — ^ |
^ e~iz s!n a+lna da. |
|
(56) |
|
|
|
—Я |
|
|
|
Из этих формул немедленно следует, что для любого це
лого п |
(z = x + iy) |
\Jn(z )\^ c h y |
и |
|
I Jn |
1- |
Из формул (46) и (47) и из линейной независимости функций Jy(2) и jVv(г) следует линейная независимость функций Ганкеля между собой и каждой из них —с функ
цией Бесселя Jv (z) |
и с функцией Неймана Nv (z). |
Следовательно, общее решение уравнения |
(2), а также |
и любую цилиндрическую функцию можно |
написать как |
линейную комбинацию функций Ганкеля |
или пар функ |
ций {/v(z)f Н*Цг)}, {Nv (г), Н<*Цг)\ (k = \, |
2). |
§ 6. Модифицированные цилиндрические функции |
(цилиндрические функции мнимого аргумента) |
Если в уравнении (2) 2 заменить на |
£ = |
йг, то полу |
чим уравнение |
|
|
|
|
z2w" + zw' — (г2 + v2) w = 0, |
|
(57) |
в котором дифференцирование |
производится |
по перемен |
ной г. |
решения уравнения (57) |
тоже относят |
Нетривиальные |
к цилиндрическим |
функциям. |
Их называют также моди |
фицированными |
цилиндрическими функциями. |
|
1. Определим наиболее употребительные из них. По |
лагаем |
Iv (z)== i~vJv (iz), |
|
(58) |
|
|
|
К, (2) ^ f |
(iz). |
(59) |
Из линейной независимости функций Jv (г) и Я*,1*(г) |
сле |
дует линейная |
независимость функций |
Iv (z) и Kv(z)- |
Они |
являются решениями уравнения (57). Функции Iv (z) часто
называют функциями |
Бесселя |
мнимого |
аргумента, |
а |
Kv (г) — функциями |
Макдональда. |
Из |
формул (58) и (5) |
непосредственно следует, что |
|
|
|
|
/ (2) - |
У |
m |
V+ 2k |
|
|
|
v W _ |
Ld |
Г(/г + 1)Г(т + / г + 1 Г |
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
В области ~ < a r g 2 < — -- функция |
Iv (z) |
однозначна |
и |
аналитична всюду. Если v — целое число (v = п), то /„ (г) — целая функция. Из линейной независимости функций Iv(z) и /Cv(2) и из теоремы § 1 следует, что в окрест ности 2 = 0 функция Kv(z) ведет себя, как A z v, если v ^ O , и как Л In г, если v = 0.
Из формул (16), (17) и (19) непосредственно следуют соотношения
_ф |
(г)) _ |
|
£ { z 4 v ( z ) } ^ - z 4 v^(z), |
d z \ zv I - |
|
|
|
|
|
|
|
|
IV+1 (2)-/v_i (г) — |
2 |
|
(2)> |
(2) = |
у |
(2) + / v+1 (г). |
Из (42) и (43) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
Кv+i (г) - Kv-i (2) = |
у |
Kv (z), |
|
|
- 2 K v ( z ) ^ K v + l (z) + KV-1(2)*). |
Из теорем о нулях |
функций Бесселя следует, что каж |
дая функция / v (2) |
имеет бесконечно много нулей. Все |
они простые, кроме, |
может |
быть, |
z = 0, и |
чисто мнимые. |
2. В приложениях встречаются |
также |
следующие ци |
линдрические функции: |
|
|
|
|
|
|
|
ber„(z), |
bei„(z), |
ker„(z), |
kei„(z). |
Для вещественных значений аргумента х они опреде |
ляются следующим образом: |
|
|
|
|
ber„ (х) = |
Re \ln {х ] / — г)], |
bei„ (х) = |
1ш [ /„ ( х ] /^ 7 ) ] , (60) |
кегя (д;) = |
Re [/Ся (л: 1 /— /)], |
kei„ (х) = |
Im [К„ ( х ]/^ 7 )], (61) |
а затем аналитически продолжаются на всю плоскость переменной z.
Из этих определений легко вывести свойства, анало гичные соответствующим свойствам функций f v (z) и /Cv(z). Читатель легко может сделать это сам.
Приведем представления некоторых из этих функций степенными рядами:
Ь е г 0 ( |
г ) |
= 2 |
( |
- l ) |
» - g |
j r |
, |
|
п=0 |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
be| , w |
y | |
o(- |
|)- |
w |
|
r |
<63> |
|
|
00 |
(_1)£["/2]('1\2,! + 1 |
|
|
ber1(z )= ^ = ^ |
|
Щ п +vji |
1 |
^ |
|
|
У |
(_ 1)£[(я+1)/21/|\2"+' |
|
bei. (Z) = 7 5 |
2 |
-------- Л |
■ |
|
<65> |
ГЛ—О
Е[у]—целая часть числа у.
') Читателю рекомендуется проделать соответствующие выкладки.
§ 7. Асимптотические представления цилиндрических функций
1. Во многих задачах физики требуется изучать уста новившиеся режимы явлений. Математически это приво дит к изучению поведения функций при больших значениях аргументов — к изучению асимптотического поведения функций при стремлении их аргументов к бесконечности. В сущности, найти асимптотическое поведение функции f (х) при стремлении х к бесконечности — значит найти более про стую функцию ср (х), мало отличающуюся (в определенном смысле) от функции f (х) при достаточно больших значе ниях переменной х. Часто в качестве простых функций берут суммы
асимптотическим разложением функции f (z) на множестве Ш, содержащем последовательности, сходящиеся к беско нечности, если
Употребляют запись:
/ (2) со+ J- + • • • + £ + • • •
или
Легко показать, что если асимптотическое разложение существует, то оно единственно.
В самом деле, |
из определения следует, что при п = О |
Игл {/(г) —с0} = 0, |
откуда с0— Пт/(г). При п — 1 имеем |
|
|
Z —» 0 0 |
|
= 0, |
откуда |
|
сг = |
lim z{f(z)—c0}, |
Однако различные функции могут иметь одно и то же асимптотическое разложение. Действительно, если
f ( x ) ~ c ,+ ic |
+ —+ |
|
' Хп ' ’ |
то и
fix) + е~*~ с 0 + с
Если
то
ф(г) = ф(г)
+ — + ... (для X ~Хп
о + Nl»"
• + й + ° ( ^ )
будем называть асимптотическим представлением функции
ф(г). Обычно асимптотические разложения
со + Т " |
+ • ~ гп ~ |
являются расходящимися |
рядами. |
2. Найдем асимптотическое представление интеграла |
ошибок |
X |
|
Ф{х) |
о-а dt |
|
V Я |
при больших х > 0 . Очевидно,
СО
Ф (*) = I - 4= [ er* dt.
У 71 JX
Поэтому достаточно найти асимптотическое представление
|
|
со |
|
|
|
|
функции / (х) = |
$ е~*‘ dt. |
Имеем |
|
|
|
со |
X |
со |
|
|
со |
|
|
|
|
e**f (.К) |
с |
1 7* |
e- ~ j - |
_ > |
н(ех2- /г) |
= ^ |
Л = ~ |
5 |
d (l>) = - 2- |
$ - |
|
X |
X |
|
|
|
X |
Применяя несколько раз интегрирование по частям, по лучим
***/(*) =
