Для остатка
X
получаем оценку
Следовательно,
и
(—1)»-1(2«—3)!! 2лх2«-1
Заметим, что асимптотическое разложение функции е*2f(x), т. е. ряд
,, п , . | Ь 3- 5 ... (2/1-3)
|
2х 22х3 "т" |
' |
2пх2п~1 |
• • У |
является расходящимся всюду рядом. |
|
3. |
Для асимптотических представлений цилиндрических |
функций yv(x) при больших положительных значениях |
переменной х справедлива следующая теорема. |
уравнения |
Те о р е м а . |
Всякое вещественное решение |
при больших положительных значениях переменной х имеет асимптотическое представление вида
|
|
(66) |
где Ао и б0 —постоянные, |
зависящие, |
вообще говоря, от |
параметра v. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Введем в |
рассмотрение функ |
цию у1(х) по формуле |
|
|
У(х)=У1 (х)/Ух.
Для t/x (х) получим дифференциальное уравнение
У\ + У\ — о. (67)
При больших значениях х это уравнение мало отли чается от уравнения
d2w |
|
difi + w = 0, |
|
общее решение которого имеет вид |
|
w = A sin (х + 8), |
(68) |
где А и 6 — постоянные.
Поэтому при больших значениях х будем искать реше
ние уравнения (67) в виде |
|
У1 (х) = |
А (х) sin [х + |
6 (х) ], |
где А{х) и 6 (х) — искомые функции. |
Следует ожидать, |
что А (х) и |
6 (х) будут медленно |
меняющимися функциями при больших значениях х(х>-0), близкими к постоянным значениям.
Поскольку искомых функций две, а связаны они лишь одним условием (требованием, чтобы А (х) sin [х + 6 (х)] удовлетворяла уравнению (67)), мы можем подчинить их еще одному условию. Выберем это условие таким обра зом, чтобы производная от ух(х) вычислялась так, как если бы А (х) и 6 (х) были постоянными. Поскольку
у{ — A cos(x + S) + |
Л8' cos(x + 6) + Л' sin(x + 6), |
|
то полагаем |
|
|
|
|
АЬ' со5(х + |
6) + |
Л' sin(x + 6) = 0. |
(69) |
Тогда |
|
|
|
|
у[ = A cos (х + 8). |
|
(70) |
Вычисляя производную |
у\ |
и подставляя |
ее в уравнение |
(67), получим |
|
|
|
|
Л' cos (х + 6) — Л ^6' |
sin (х + |
8) = 0 , |
(71) |
где |
|
|
|
|
y = V2- T1 .
Исключая из соотношений (69) и (71) Л и Л ', получим
б' (*) = =J*sin*(* + 8), |
(72) |
откуда |
|
|
|
о |
|
6(g)] dl. |
|
6(Ь) = 8(х) - J |
J sin2 [£ + |
(73) |
При фиксированном л: и |
при |
со правая |
часть фор |
мулы (73) имеет предел; следовательно, и левая часть
имеет предел
lim 8(b) —80.
Ь - * со
Таким образом, имеем
00
6(x) = 60+ $ | s i n 2[g + 6(g)] d l
Но
СО
§ sin2 (i - f б) di |
|
поэтому б(д-) = б„ -j- О |
j. |
|
Из соотношений (69) и (72) находим |
(In Л)' = |
^- = ^ |
sin2(*-f б), |
и, следовательно, |
|
|
1п А (Ь) = In Л (х) -ф- |
jj |
|
|
X |
Повторяя рассуждения, приведенные для 6(х) и б (б), приходим к заключению, что существует предел
|
lim |
In Л (b) = |
In А0 |
|
Ь—► со |
|
|
|
|
|
In Л (*) = |
In Л0 + |
0 ( ^ . |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
Л ( * ) |
= |
Л 0 [ 1 |
+ 0 ( ! ) ] . |
Поэтому |
|
|
|
|
|
Ух W = ^ o [ l + О |
sin|x + 60 + 0 |
|
|
|
|
|
= |
Ад sin (х 4- б0) -f О |
и
^ W = = T 7 Sin(x + 6o) + 0 ( ^ ) -
Таким образом, достаточно простой анализ уравнения
(2) позволил нам получить представление о характере
поведения вещественных |
цилиндрических |
функций yv (x) |
при больших положительных значениях переменной х. Но |
при этом мы не смогли определить |
числа |
Л0 и б0. Оче |
видно, полученный результат справедлив для |
функций |
Бесселя |
Jv(x) и функций |
Неймана |
Nv (x). Но он непри |
меним к функциям Ганкеля. |
|
|
|
|
|
4. |
Обратимся |
к рассмотрению функций Ганкеля. Для |
определенности все рассуждения и выкладки будем про |
водить для функции |
H i ' (г). Поставим |
задачу |
получить |
асимптотическое представление для |
Н i ’(г) при больших |
положительных значениях переменной г. Будем полагать, |
что v — фиксированное число и z |
|
Jv |. |
|
|
|
Согласно формуле (40) |
H i (г) |
можно записать в виде |
|
НЧ‘ (z) = Bhv (г) + B2,v(г) + Вv (г), |
(74) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е~1г |
s +7vg ^ |
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
ё~izsin l + |
d\, |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
By (z) — ~ |
0 |
|
|
|
|
|
|
jj e-izsing+.vs |
|
|
|
|
|
—П |
|
|
|
|
|
Здесь С,.н — нижняя |
часть контура |
интегрирования Сх в |
формуле (40), ChB— верхняя часть контура Cj. В интеграле |
By (г) интегрирование производится |
по отрезку |
[— я, 0] |
вещественной оси. Легко получить оценки интегралов |
Blty(z) и |
B%y(z) при |
больших положительных значениях z. |
В самом |
деле, на Сфв £ = — я + ф, |
0 ^ ( 3 < с о |
и sin § = |
— — i sh р. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
В2,у(г) = |
е~ivn ^ е- (2:sh 3 + VP) |
|
_ |
|
|
|
|
'о |
|
|
|
|
|
|
|£ 2, v ( z ) |^ ^ |e - 'v" l| |
§ e-P<z+ v>fl?p = — e~ |
l |
|
|
|z + |
v| ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
при z-> + oo |
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I B 2,v (г) |< |
О |
|
|
(75) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На C1|H |
£= Ф, |
P<0> |
и sin^ = i'shfi. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
Вь у (г) = -- |
^ |
ez sh P-vP |
= -1 ^ e~zshP + VP dp. |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
I BliV(z) |
|
|
jj e-P(*-v) |
|
|
|
|
|
|
|
я |
z — v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
при |
z-v + oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 5 i . v ( z ) | ^ 0 ( l / z ) . |
|
|
|
|
5. |
Для |
оценки |
Bv (z) при |
г-> + оо |
нам потребуют |
|
две леммы. |
Если в интеграле |
|
|
|
|
|
Л е м м а 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (z )= \e i*fMq>(t)dl |
|
|
(76) |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
функции f (£) и ер (£)//' |
(|) |
имеют |
непрерывные на отрезке |
|
[а, pj производные и /' |
(с) |
не обращается в нуль на [а, |
р], |
|
то при z-*--\- оо |
F(z) = 0(l/z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Очевидно, |
|
|
|
— 1 |
( чД|) |
jzf(D |
Р |
^ d |
ф(£) |
|
I Til) |
|
$ |
■ М ! о |
*г |
I/' (1) |
dl |
|
|
|
|
Г Й) |
так как последний интеграл и результат подстановки
чисел а |
и р в проинтегрированную часть ограничены по |
модулю константами, не зависящими от z. |
Л е м м а 2. |
Пусть функции f(Q и ф(£) аполитичны |
всюду, |
а / (|) |
вещественна при вещественных значениях |
