переменной £ |
и монотонно убывает на |
отрезке [а, |
|3], |
/' (£) Ф 0 при |
\ Ф а, /' |
(а) = О |
и /" (а) < |
0. Тогда |
при |
Z - + + C O |
|
|
|
|
|
F W = {—2Г й Р |
Ф W |
* <а> “ 4т + О ( I ) • |
(77) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Очевидно, |
|
|
F г ) = а { е^ ( « ф (5 ) ^ + |
^ е * '(»ф (£М |. |
|
|
а |
|
а + Е |
|
|
Второй интеграл по лемме 1 есть 0(1/г) при любом е > 0 . В дальнейшем будем считать, что е — малое число. Рас смотрим интеграл
Л (z) — $ eizt^)q(Qdl.
а
Произведем в нем замену переменной интегрирования по формуле
|
« = Vf(<*)-f(l), |
беря |
арифметическое значение квадратного корня. Точка |
£ = а |
перейдет при этом в точку и = 0. Соотношение |
|
/ ( Ю = / ( ° 0 - “2 |
можно разрешить относительно £. Так как функция /(£) аналитична в окрестности £ = а, то £ = £ (и) —аналитиче ская функция в окрестности и = 0 и £(0) = а. Произведя указанную замену, получим
Ui
|
/д (z) = eizi<«> |
erizu*<p [£ («)] f u du, |
|
0 |
|
где |
(a) —/ ( a + e). |
В силу аналитичности функ |
ции ф (£) и произвольной малости числа е можно считать,
что функция ф (и) —ф [£ (и)] |
аналитична в круге | и | |
uv |
Из соотношения |
«2 — / (а) —•/ (£) находим |
|
|
2 ( | ) 2+ 2п! |
“ = - / " ( £ ) . |
(78) |
Так как н(а) = |
0, то из (78) |
получаем |
|
,d^j|=с -Г (а).
Отсюда
dl\
duju—ъ У = т -
В силу аналитичности функции \ (и) в окрестности
и = 0 ее производную ~ можно представить в виде
|
|
|
du - V - . - Г |
( а ) |
■W8j (и), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 0J (и) |
аналитична |
в области |
\и |
|
В силу анали |
тичности функции ф (и) |
в круге |
| и | ^ иг ее можно пред |
ставить |
в |
виде ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф (и) —cp f| (и)] = ср (а) + и02 (и), |
|
где 02 («) |
аналитична |
в |
круге |
|« ! ^ « i . |
Следовательно, |
|
|
ф [I (и)] 2 = Ф («> У |
|
+ «03 (U), |
(79) |
где 03 (и) |
аналитична |
в |
круге j и | ^ |
их. |
Пользуясь |
фор |
мулой |
(79), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
----------«1 |
|
|
|
|
|
|
F1(г) = ф (а) |
у |
еШ(а) |
§•*“ ^ |
du + |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
eizf^ I |
иег ‘г«203 (и) du. |
(80) |
Второй |
интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
Чi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ V |
3{u)d{e-‘z“‘) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
e~izu! 03 (и) |
|
и1 |
|
|
|
|
|
2/2 |
|
jj |
бз (И) е - '« , с?и| = 0 ( Т ) , |
(81) |
так как последний интеграл и результат подстановки чисел 0 и и, в проинтегрированную часть ограничены по модулю константами, не зависящими от г.
Далее,
jj ,2“г :
1(Z«,
или
Hi
e~Uu‘du
о
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как |
jj |
e-$‘d$ = 0 |
|
Таким образом, |
|
|
|
Yi zui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
' T+ 0 ( ‘ ) |
(82) |
Заменяя интегралы в формуле (80) |
их значениями (81) . |
и (82), получим формулу (77). Лемма доказана. |
|
6. |
Обратимся |
к |
оценке |
интеграла |
Bv (z): |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
B v |
( z ) = |
- t |
\ |
е- / г |
sin 1 + /v| d l |
L ^ |
g i c s i n g — |
|
|
|
|
|
— Л |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Функцию Bv(z) |
можно представить в виде |
|
где |
|
|
|
|
Bv (z) = |
Alx{z)-\-A%x{z), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
|
Alv(z)= 1 |
[ e'-zsins-ivi^, |
Л2Д г ) = - - ^ eiz^ ~ ^ d l . |
|
|
Л |
J |
|
|
|
|
|
|
|
Л |
,) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
я /2 |
|
В интеграле A2v(z) /(£) = sing, |
а —я/2, |
|3 = я, <p(|) = e~'v^ |
и все условия леммы 2 |
выполнены. Согласно этой лемме |
|
|
/42v(г) |
1 |
( п |
|
|
("г — |
+ 0 (М |
|
|
|
я |
\ |
2г |
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ г |
|
В интеграле Alv (г) сделаем |
замену переменной |
интегри |
рования |
по формуле £ = |
— t. |
Получим |
|
|
|
|
|
Alv{z)= |
! |
|
|
M -tv ” |
|
|
|
|
~ |
\ ё г*ш е |
2 |
dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
о |
|
|
|
|
|
Для |
этого интеграла |
а = 0, |
р = у , / (0 = cos t, |
<p (t) = ei/v |
и все условия леммы 2 также выполнены. Согласно этой лемме
Alv № - я
Таким образом,
Из формул (74), (75), (76) и (83) получаем
w ’ <г> = / I |
“ V5 “ ? ) + °- (т ) • |
<84> |
Совершенно аналогично устанавливается формула
Используя соотношения (48) и (52), получаем для
больших положительных значений |
z |
Jv(z) = ] ^ ~ c o s [ z - v 2 |
(86) |
|
|
|
|
|
(87) |
З а м е ч а н и е . |
Формулы (84)—(87) |
справедливы для |
всех комплексных значений z таких, |
что |
|z | ) > | v | и |
1arg z | ^ |
я — б *), |
где 6 — произвольное |
малое положи |
тельное |
число. |
Но в п. 3 мы установили, |
что асимпто |
тика функций |
Бесселя и Неймана при г-> + со имеет вид |
|
|
|
^ s i n (z + S0) + o y ^ |
|
|
•при соответствующих значениях постоянных |
А0 и 60 для |
Jv (z) и Nv(z). |
|
|
|
|
Отсюда и из формул (86) и (87), используя единствен ность асимптотического представления, находим, что доба
вочные члены Ог (1/z) |
и 0 2(1/г) в формулах (84) и (85) |
убывают при г -v + oo, как 0(z~3^). |
*) См. Л е б е д е в Н. |
Н., Специальные функции и их приложе |
ния, Изд 2-е, Физматгиз, |
1963. |
