Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Таким образом, при г -v-j-oo справедливы следующие асимптотические представления:

Так как функция ez не имеет нулей, то асимптотиче­ ские представления для функций Ганкеля можно записать в виде

На рис. 37 и 38 приведены графики функций Kv(x)

иIv(x).

8.Одним из наиболее употребительных методов по­ лучения асимптотических представлений является метод перевала. Сущность этого метода состоит в том, что при

б о л ь ш и х з н а ч е н и я х п е р е м е н н о й х в е л и ч и н а и н т е г р а л а

/(*) = № (£) ex^ d l

с

определяется главным образом тем участком Си контура

контура С. При этом интеграл по участку Си оценивается тем легче, чем меньше этот участок и чем круче падает величина xRe(p(|). При применении метода перевала ста-

325

раются деформировать путь интегрирования С в наиболее

выгодный, в указанном выше смысле, контур С. По тео­ реме Коши такая деформация, если она не выводит за пределы области аналитичности функций ср (|) и if (|) и области существования интеграла, не меняет значения интеграла. В силу аналитичности функции ф (|) = и (а, (3) + + ш(а, р), | —а + ф, направление наибыстрейшего изме­

чения (среди значений этой функции на С).

Нетрудно показать, что ср' (|0) = 0. Действительно, про­

с

интегрирования С надо деформировать в путь С, прохо­ дящий через точку | 0, в которой ф' (|0) = 0, и в окрест­ ности этой точки совпадающий с линией у (а, Р) = const =

= v (а0, Ро) *).

вокрестности точки £0 состоит из п линий, проходящих через точку | 0

внаправлении биссектрис упомянутых секторов. Одну из таких линий

326

О ц е н к а и н т е г р а л а

а интеграл по контуру Си заменяется интегралом *)

S ^ (So) exf{l°] ^ (|- Ы2Г(Ы =

Сц

Последний интеграл соответствующей заменой переменной интегрирования приводится к интегралу

о(х)

Т; - оIй е~ ° ' ^

вкотором а(х)->оо при х->оо. Он равен

Следовательно,

I *®е"* Л/ I * ®)^ ,ы+о (ггЬо)'

сп

Здесь указана лишь идея получения асимптотических

представлений интеграла $ г|з (£) е*А£) dl при х - ^ оо . Под-

с

робное обоснование метода перевала смотрите, например,

327

§ 8 . Ф ун к ц и и Эйри

Ряд задач физики (например, задача о движении заря­ женной частицы в однородном электрическом поле и др.) приводит к уравнению

Произведем замену неизвестной функции по формулам

Для функции z (х) получим уравнение

Для построения общего решения этого уравнения про­ изведем в нем замену независимой переменной по фор­ мулам

Следовательно, общее решение уравнения (94) можно запи­ сать в виде

Сх = — С2 = Dx= Ds = 1/3 и Ct =C2 = D1= — D2 = 1/3,

3 2 8

п о л у ч и м ф ун кц и и Э й р и A i (х ) и B i (х):

Применяя приведенные в § 7 рассуждения (с очевидными несущественными изменениями) к функциям /._v (/) qp 7V(/) и J_v(t)± Jv (t), нетрудно получить следующие асимпто­ тические представления функций Эйри:

ЗА Д А Ч И

1.Найти температуру бесконечного круглого цилиндра, начальная

закону Ньютона со средой нулевой температуры.

329