3. Вне бесконечного круглого проводящего цилиндра 0 s ^ r ^ R в момент ^ = 0 мгновенно установилось постоянное магнитное поле Н0, параллельное оси цилиндра. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндра при нулевых начальных данных. Найти поток маг
нитной индукции через поперечное сечение цилиндра. |
4. Найти температуру |
цилиндрической трубы R 1^ r s S :R2, если |
с момента t — 0 через ее |
внешнюю поверхность подается снаружи |
тепловой поток плотности q, а внутренняя поверхность поддержи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вается |
при нулевой температуре. Начальная температура нулевая. |
|
5. |
Решить задачу о колебаниях круглой мембраны с закреплен |
ными |
краями |
под действием равномерно |
распределенной |
нагрузки |
Q— const, приложенной |
с одной |
стороны с момента ^ = |
0. |
|
|
в) |
6. |
Решить задачу 5 для |
случаев: a) Q= A sin со;1 |
б) Q— Acos&t\ |
нагрузка |
Q |
распределена |
по |
площади |
кольца |
R ± ^ r ^ R 2 (рас |
смотреть также случай R1 — R2). |
|
|
|
|
0 ^ г < с 7 ? , |
|
7. |
Решить |
задачу |
о |
колебаниях круглой мембраны |
вызванных |
движением |
ее |
края |
для |
^ > 0 |
по законам: а) |
и (R, |
t) = |
= |
A sin со/; |
б) |
u(R, f) = Acos4>t. Начальное возбуждение отсутствует. |
с |
8. |
Решить |
задачу |
о |
колебаниях круглой мембраны |
|
|
закрепленным краем |
под действием точечного импульса Р, сообщен |
ного мембране в момент t = 0 в точке (r0, |
ф0). |
|
|
|
|
|
9. Найти распределение потенциала электростатического поля |
внутри |
полого |
цилиндра |
радиуса |
R и высоты Л, |
нижнее основание |
(z = 0) |
и боковая поверхность которого имеют потенциал V0, а |
верх |
нее основание— потенциал |
Vv |
поступает через один торец цилинд |
|
10. Постоянный ток силы I |
рического проводника, |
изготовленного из материала с проводимостью |
б и отводится |
с противоположного торца. |
Определить |
распределение |
токового потенциала внутри проводника, считая, что подводящие
контакты суть |
диски радиуса R1< R (R — радиус |
цилиндра) и ток |
по ним распределен с постоянной плотностью. |
и высоты h про |
11. Через |
цилиндрический образец радиуса R |
пущена тонкая проволока, нагреваемая постоянным током, выде ляющим тепло Q на единицу длины. Найти распределение темпера туры в образце, считая, что боковая поверхность цилиндра поддер живается при нулевой температуре, а на его основаниях происхо дит теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
Найти температуру бесконечного круглого цилиндра |
0 ^ |
^ r ^ R , |
если |
его начальная |
температура |
равна n0 = |
const, |
а на его |
поверхность с |
момента |
t —0 |
извне подается |
постоянный |
тепловой |
поток плотности |
q. |
о собственных колебаниях (т. е. найти |
с. з. |
13. |
Решить |
задачу |
и с. ф.) круглого цилиндра длины h |
при |
граничных |
условиях |
первого, второго и третьего типов. |
|
|
|
|
|
14. |
Решить |
задачу |
о собственных колебаниях мембраны, имею |
щей форму кругового |
сектора (г sS R, 0 |
ф ^ а), |
при |
условиях |
первого, второго и третьего типов. |
цилиндрического |
сектора |
15. |
Найти |
температуру |
бесконечного |
0 - ^ r ^ R , O sgipsga, |
если на его поверхности поддерживается |
нулевая |
температура, а начальная температура произвольна. |
|
16.Найти температуру конечного круглого цилиндра, поверх ность которого поддерживается при нулевой температуре, а началь ная температура произвольна.
17.Круглая мембрана радиуса R нагружена сосредоточенной массой т в ее центре. Найти собственные значения Кп этой мем
браны. Сравнить их с собственными значениями ненагруженной мем браны. Рассмотреть два случая: а) т мало; б) т велико.
|
|
|
|
±\ |
|
18. Найти коэффициенты разложения функции е2 ' |
t ' по |
це |
лым степеням t. |
|
|
' 1 /2 (х), |
|
|
19. ВЫЧИСЛИТЬ 1 -\ \ / 2 |
R - i 1/2 |
Н / \/ 2 (**0 » |
| ^2 |
^' |
20.Найти стационарное распределение концентрации неустой чивого газа внутри бесконечного круглого цилиндра, если на его поверхности поддерживается постоянная концентрация «0.
21.Решить задачу 20 для области, внешней к цилиндру.
0 |
22; |
Найти электростатическое поле внутри цилиндра ( O ^ i r ^ R , |
^ |
h), торцы |
и боковая поверхность которого имеют соответст |
венно |
потенциалы |
ult и2 и и0. |
23.Найти стационарную температуру круглого цилиндра вы соты Л, нижнее основание которого теплоизолировано, на верхнем происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры, а боковая поверхность поддерживается при температуре и \г _ ^ = / (г).
24.Стенка цилиндрического канала, просверленного в неограни ченной плоской пластине толщины А, поддерживается при темпера туре иц = const. Найти стационарное распределение температуры в
пластине, если ее грани поддерживаются |
при нулевой температуре. |
25. Найти температуру в цилиндре (0 |
^ R , O sgzsgA ), |
если |
его начальная температура равна нулю |
и начиная с момента |
t = О |
основание цилиндра z = h поддерживается при температуре м0 = const, а остальная часть поверхности — при нулевой температуре.
Г л а в а XV
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Мы уже отмечали, что к специальным функциям отно сятся также некоторые, классы ортогональных многочле нов. В настоящей главе мы рассмотрим наиболее употре бительные из них в задачах математической физики. Сначала рассмотрим некоторые общие свойства таких мно гочленов, а затем, более подробно, — каждый класс в от дельности.
§ 1. Некоторые общие свойства ортогональных многочленов
1. Пусть система многочленов {qtl(x)} является орто
гональной |
(с весом |
р (х) > |
0) системой |
на |
промежутке |
{а, Ъ), |
т. |
е. для |
любых целых чисел п З г 0 и k^sO выпол- |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
няется |
равенство jj qn (х) qk (х) р (х) dx = 0 |
(п |
k). |
Здесь |
|
а |
|
степени п. |
Отметим простей |
qn(х) — многочлен |
шие свойства многочленов qn(x) этой системы. |
С в о й с т в о |
1. |
Всякий |
многочлен |
Qm (х) |
степени т |
является линейной комбинацией многочленов q0(х), qi(x), ...
..., |
qm{x), |
т. е. существуют такие постоянные числа с0, |
съ |
..., ст, |
что выполняется тождество |
|
|
|
т |
|
|
|
Qm (X) = 2 CkQk (*) • |
(*) |
|
|
k = 0 |
|
|
В обеих |
частях соотношения (*) — многочлен |
т-й сте |
пени. Для тождественного равенства их в обеих частях
(*) должны быть равными коэффициенты при одинаковых степенях х. Из этих условий (их т + 1) находятся все
числа Ci. Их можно также определить, пользуясь свойст вом ортогональности многочленов qk {x), по формулам
ь
ck= J-qJf \ |
W qk W Р М clx' |
k =- °- |
1’ |
• • " |
т’ |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
где |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\\ЧкIF = ]ql (x)p{x)dx. |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
С в о й с т в о 2. |
Всякий многочлен Qm (х) |
степени |
т |
ортогонален с весом р (х) |
на промежутке (а, |
Ь) всем мно |
гочленам системы |
{qn{x)} |
степени т-\-г, где |
1, |
т. |
е. |
ъ |
|
|
|
|
|
|
|
$ Qm(X) qm+r (x)p(x)dx= 0 |
для г = 1 , 2 , . . . |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, пользуясь тождеством (*) и ортогональ ностью многочленов qk (х), находим
b m b
5 Qm(*) W (*) Р (*) dx = 2 |
c* S qk (x) qmr (x) p (x) dx = 0. |
a |
k — 0 |
a |
Будем |
говорить, что многочлены \qn (х)} образуют нор |
мальную систему, если среди них имеются многочлены всех неотрицательных степеней.
С в о й с т в о 3 выражает следующая |
Т е о р е м а |
о н у л я х |
м н о г о ч л е н о в . Если много |
члены {qn{x)\ |
(q0(х) = 1) |
попарно ортогональны на проме |
жутке (а, Ь) с весом р (х) > О и образуют нормальную систему, то у всякого многочлена qn(х) .этой системы все нули простые, вещественные и расположены внутри про межутка (а, Ь).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть « — произвольное фикси рованное целое положительное число. В силу ортогональ ности многочленов qn(х) и q0(х) == 1 имеем
ь
$ <7„ (х) • 1• р (х) dx = 0.
а
Следовательно, qn (х) меняет |
знак на |
промежутке {а, Ь) |
в некотором числе k различных |
точек |
( k ^ l ) . |
Пусть |
это |
происходит в точках х1г х2, ..., |
х* (х; е (а, Ь) |
и Xi=/=Xj |
при i=£j). |
Тогда ^„(х) = (х —Xi)(x —х2)...(х —х*)ср„(х), |
где tp„(x) |
не меняет знак |
на |
(а, |
Ь). Очевидно, |
для |
