доказательства теоремы достаточно показать, |
что k = n. |
Предположим, что k < n . По свойству |
1 для |
многочлена |
Rk (х) = (х — Xj)... (х — хк) справедливо |
разложение |
Rk(x)= aQq0{x) + a1qL(x) + ...-{-akqk(x), |
в котором акф 0. |
По свойству 2 |
|
|
ь
\q n{x) Rk (х) р (х) dx — 0.
а |
|
С другой стороны, |
|
b |
ь |
О = \q n (х) Rk (X) р (х) dx = \ ф„ (х) RI (х) р (х) dx > 0, |
а |
а |
так как функция ф„ (х) R%(х) р (х) не меняет знак на (а, Ь). |
Получили противоречие. |
Следовательно, k = n. Теорема |
доказана. |
|
Так как между двумя нулями дифференцируемой функ
ции f (х) имеется хотя бы один нуль ее производной f |
(х), |
то «з этого свойства и теоремы получаем |
|
|
С л е д с т в и е . Все нули производных всякого многочлена |
qn(х) из нормальной ортогональной системы \qn (х)} |
про |
стые и расположены внутри промежутка (а, |
Ь). |
|
2. Для промежутка ортогональности (а, |
Ь) многочле |
нов семейства {qn(x)} допустимы три возможности: 1) Промежуток (а, Ь) конечный.
Линейным преобразованием переменной х его можно преобразовать в промежуток (—1, 1).
2) Промежуток (а, Ь) полубесконечный.
Линейным преобразованием переменной х его можно преобразовать в промежуток (0, оо).
3) Промежуток (а, |
Ь) бесконечный в обе стороны, т. е. |
(а, Ь) есть (— оо, оо). |
|
Имея это в виду, |
достаточно изучить семейства мно |
гочленов, ортогональных на промежутках (—1, 1), (0, со), (— оо, оо).
В этой главе мы рассмотрим три семейства таких мно гочленов. Каждое из этих семейств можно определить несколькими способами (мы укажем их). Мы определим их с помощью производящих функций. Хотя этот способ выглядит несколько формальным, но он позволяет про ще и короче получить основные свойства этих многоч ленов.
§2. Многочлены Лежандра
1.Функция ¥ (х, t) — (1 — 2xt -f /2) - ]/2 аналитична по переменной t в окрестности t = 0. Поэтому ее можно раз ложить в степенной ряд по степеням t. Получим
V( X, t) = P0(x)+ P1(x)t + ... + Pn(x)t* + ... |
(1) |
Ниже будет показано, что коэффициенты этого разложе ния Рп{х) являются многочленами, называемыми много членами Лежандра.
Функция ¥ (х, t) называется производящей функцией многочленов Лежандра.
Полагая в разложении (1) х — \, получим
^ (1 . 0 = т ^ 7 = 1 + ^ + --- + ^ + ---
Следовательно, Р„(1) = 1. Полагая в разложении (1)
х:— 1, получим
¥( - •1, 0 = Tqr7= 1—^ + ... +
Следовательно, Р п(—1) = (—1)л. Очевидно, |
|
|
|
Рп(х)■ |
|
1 |
t-0 |
( ) |
|
|
|
|
' п\ dtn |
2 |
С другой стороны, производная |
n-го порядка |
от |
функции ¥ |
при t = 0 вычисляется |
по формуле*) |
|
|
№ |
_ |
|
«I |
С У(*. |
I) ~ |
(2i) |
|
dtn |
и о |
2:т |
} |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
где С —замкнутый |
контур, |
охватывающий точку |
£ = 0. |
В интеграле |
(2Х) произведем замену переменной интегри |
рования |
|
|
|
|
|
|
|
l / ' l - 2 * g + ga= l - £ z .
Получим
|
|
У- (Z2_ IV |
|
|
|
|
2гап1 1 |
; |
dz. |
(3) |
|
|
(2 — х)п+1 |
Здесь Сх — замкнутый |
контур, охватывающий точку г = х. |
*) Л а в р е н т ь е в |
М. |
А. и Ш а б а т |
Б. |
В., |
Методы теории |
функций комплексного |
переменного, гл. I, |
«Наука», |
1973. |
Используя формулу для п-й производной интеграла Коши, получим
Таким образом, Рп (х) действительно является много членом, и притом n-го порядка. Формулу (4) часто назы вают формулой Родрига.
Из формулы (4) следует свойство четности многочле нов Лежандра: P2k (г) — четная функция, P2k,х (г) — нечет ная. Очевидно,
Л>М = 1, Р1(х) = х, Рг {х) = ^ х * - \ .
2. Нетрудно получить дифференциальное уравнение, решением которого является Рп (х). Для этого рассмотрим функцию w = (х2 — \)п. Очевидно,
w' = 2пх (х2— 1)n_1 == 2nxw/(x2— 1),
или
(х2— 1) w' — 2nxw = 0.
Дифференцируя это тождество п + 1 |
раз, |
получим |
(х2 — 1) [t<y(ra)]" + 2х |
— п (п + |
1) |
== 0. |
Таким образом, функция wln) (х), а следовательно и Рп (х)
^поскольку Рп (х) = ущ w(n) (x)J, удовлетворяет уравнению
(1 — х2) у" —■2ху' + Ху —0 (при X — п (n-f 1)). (5)
Оно называется уравнением Лежандра. Его можно напи сать также в следующем виде:
|
dTK1- х 2)у ']+ Ц = 0. |
(5Х) |
Второе, |
линейно независимое с Рп (х) |
решение урав |
нения (5), |
по теореме гл. XIV, § 1 |
имеет в точках x = z t l |
логарифмическую особенность. |
|
|
З а м е ч а н и е . К построению |
многочленов Лежандра |
можно подойти и иначе: искать ограниченное на отрезке
[—1, |
1] |
решение уравнения |
(5) в виде степенного |
ряда |
СО |
|
|
|
|
y'j спх,!. |
При Х = п(п-\-1) этот ряд обрывается на |
члене |
А—0 |
степенью, т. е. при |
X = п (п-j- 1) решением |
будет |
с n-й |
многочлен п-й степени Рп{х). |
Он отличается от многочлена |
Лежандра п-й степени лишь постоянным множителем. Этот множитель выбирается так, чтобы иметь Р„(1)=1.
Формулу Родрига также можно принять в качестве
определения |
многочленов Лежандра. |
|
|
|
Рп(х), |
3. |
Пользуясь |
определением |
(1) многочленов |
легко можно доказать справедливость' двух рекуррентных |
соотношений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(п + |
О Pn+i (х) - |
(2л + |
1) хРп (х) + пРп_х (х) se 0, |
(6) |
|
|
р Лх) = 2^-[Р'п+1(хУ-Р'п_1{х)\. |
|
(7) |
Для этого продифференцируем по переменным t и х |
раз |
ложение (1). Получим тождества |
|
|
|
|
дУ |
( x ~ t ) V |
^ P 1 + 2P2t + ... + nPnt ^ + ... |
|
д( |
\ — 2xt + t* |
|
дУ |
|
tx¥ |
^ P '-\-P 'tt + ... + P'nP + ...% |
|
|
дх |
1 — 2xt -J- /2 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x — t)(P0+ |
Лit + . . . + |
P |
-j-...) = |
|
|
|
|
|
|
s |
(i _ |
2xt + P) (Pi + 2P4 + . . . + л / у »-* + |
•••). |
t (P0+ Pit + |
• • • H~ Pntn+ |
• • •) == |
|
|
|
|
|
|
|
= |
(l - |
2xt + P) (P' + |
P \t+ . . . + P'ntn+ . . . ) ; |
Сравнивая в последних тождествах коэффициенты при |
одинаковых степенях t, получим тождества |
|
|
(п + |
1) Рп+1 (х) - |
(2л + |
1) хРп (х) + |
nPn_i (х) = |
0 |
(6) |
|
Pn(x )^ P 'n+1(x)-2xP'n(x) + |
P'n_i(x). |
|
(8) |
Дифференцируя тождество |
(6), получим |
|
|
(п + 1) P'n+i (х) — (2n + |
1) Рп (х) -г- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—(2п + 1)хР п’ (х) + пРп' _1 (х) = 0. |
Исключая |
из этого |
соотношения и -соотношения |
(8) |
про |
изведение хР'п (х), получим тождество (7). |
и фор |
З а м е ч а н и е 1 .С |
помощью соотношения (6) |
мул Р0 (х) = |
1, |
Pi (х) = х, очевидно, можно определить все |
многочлены Лежандра.
*) Читателю предлагается самому доказать законность почлен ного дифференцирования разложения (1) по переменной х.
З а м е ч а н и е 2. Соотношение (7) позволяет выразить интеграл от многочлена Лежандра $ Рп (х) dx через мно гочлены Рп+1(х) и Pn-i (х) ■
4.Т е о р е м а 1. Многочлены Лежандра ортогональ
на отрезке [—1, 1] с весом р (х) = |
1, т. |
е. |
1 |
|
|
$ Рп (х) Ph (х) dx = О, |
если |
пфИ. |
—i |
|
|
Действительно, напишем два тождества:
^ [ ( 1 - * 2) Р'п] + П ( П +1) Ря (х) = 0,
^ [ ( 1 - х 2) P'k]+ k (k + l)P k (x) = 0.
Первое из них умножим на Pk (х), второе —на Рп(х)\ ре зультаты вычтем один из другого и полученную разность проинтегрируем (по х) по промежутку [—1, 1]. Получим
1
| {р * Е |
- *•> Р^ ~ Р - i t(l - *!)«]} dx = |
|
= [ £ ( & + I ) - n ( n - f 1)] \ Рп(х) Pk {x)dx, |
J ^ {(1 - X * ) ( P ' nP k - P nP'k)} d X =
—I
= (k -n )(k + n+ 1) { Pn(x)Pk (x)dx.
Следовательно, |
|
—I |
|
|
i |
|
|
|
$ Pk (x) p n(x) dx = |
|
|
—I |
|
|
|
|
= ( „ - „ н Д „ + 1) ic - |
= о |
при пф1г. |
образом, |
семейство |
многочленов Лежандра |
Таким |
{Рп(х)} есть |
нормальное семейство ортогональных много |
членов, и, |
следовательно, к ним |
применима теорема § 1 |
и ее следствие, т. е. |
верна |
|
