Т е о р е м |
а |
2. |
Все |
нули всякого многочлена Лежандра |
Рп(х) с п > |
0 |
и |
его |
производной любого порядка г < п |
рй) (х) простые, вещественные и расположены внутри про
межутка (—1, 1).
1
5. Вычислим квадрат нормы ||/э„||2= $ P%{x)dx. Для
—1
этого один из множителей подынтегральной функции Рп (х)
выразим через Рп_г и Рп_2по формуле (6), |
заменив в ней п |
на п — 1. Получим |
|
|
1 |
1 |
|
\\РпГ= \\ P nPndx= |
^ P ni ^ - x P n_1- ^ ~ |
P n^ d x = |
—1 |
-1 |
t |
|
= |
l* P nPn-idx. |
Мы здесь воспользовались ортогональностью многочленов Рп и Рп._2. В последнем интеграле произведение хРп выра зим по формуле (6) через Рп+1 и Рп_г. Получим
1 Р . Г - V \ |
|
|
|
|
—1 |
|
|
|
|
|
|
_ |
2п — 1 |
С р 2 , |
|
|
|
2п-\-1 |
1 н п-1 йХ, |
или |
|
|
|
|
2п —1 |
|
|
\Рп\ : 2п + |
1 |
1Рп-1 1 |
|
(9) |
При этом мы снова воспользовались ортогональностью многочленов Рп_г и Рп+1.
Если соотношения |
(9) |
написать для п = 2, 3, |
k и |
затем перемножить их, получим |
|
|
|
\Pk\f = |
3 -\\P if |
. |
2 |
(10) |
2 k + \ |
2 |
k + l |
т а к к а к | | Д 1 ||г = |
2 / 3 . |
|
|
|
6.Т е о р е м а 3. Всякое решение уравнения (5!) у(х),
отвечающее параметру X = X Ф п (п -{- \) (п — произвольное фиксированное неотрицательное целое число) и непрерывное на отрезке [— 1, 1], ортогонально многочленам Лежандра Рп(х) на промежутке (—1, 1) с весом р(х) = 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Исходя из тождеств
|
|
4 |
[О - ¥ ) у ' (l)j + ^ (Ю= о, |
|
|
|
|
|
р'п т + к р п(1 )^ о , |
|
|
где Я„ = «(п + 1), |
как и при |
доказательстве |
теоремы 2, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
J Л»(Ю£(Ю4 = |
7-з И ф ( * ) - ф (0]. |
(П) |
где |
|
t |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
ср(г) = (1 - |
z2)[y' (z) Рп {z)—y (г) Р'п{г)] и — 1< / < х < 1 . |
(12) |
Переходя |
в |
(11) |
к пределу |
по переменным |
х и t |
при |
X—>• 1, |
— |
1, получим |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
(£)£(£) 4 |
{'in] ф w - /li^ i Ф (OJ- |
|
Таким образом, для доказательства теоремы доста точно показать, что справедлива
Лемма . Имеют место соотношения
lim ф (х) = 0 и |
lim ф (t) = 0. |
х—1 |
/——1 |
х < 1 |
i > — 1 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из (11) имеем
для любых х и t, —1< Д < х < 1. Зафиксируем t. По скольку правая часть в (13) непрерывна по х на отрезке [it, 1], то ф (х) также непрерывна на \t, 1]. Следовательно, существует конечный предел
lim ф (х) = ф (1). X—►1
х< 1
Покажем, что ср (1) = 0. Допустим, что ф(1)=^=0. Тогда на некотором отрезке [х1( 1] функция ф (х) не обращается
в нуль. Так как Р„(1)=1, |
то существует отрезок [х0, 1], |
на котором ср (х) и Рп (х) не обращаются в нуль. |
Из (12) |
получаем |
|
|
|
|
|
d / У (г) \ _ |
|
ср (г) |
|
|
dz \ Р п (г)/ |
(1 — г3) Р-п (г)' |
|
Следовательно, для х0< ;х -< 1 |
|
|
|
у (х) = Рп (х). |
У ( ч ) |
I |
Ф (г) dz |
} |
|
|
Р п (ч )^ |
J (1 -г*)Р ‘ (2)[ |
|
|
|
|
Хо |
) |
Применяя |
к интегралу |
теорему о среднем |
значении, по |
лучим |
|
|
|
|
|
У(х) = Рп(*)
где ^ а ^ х , или
У ( х 0) |
ф (а) |
1* dz |
I, |
(х0) ^ ( 1 + а) Р*п (а) ) 1 - г ’ |
|
|
*о |
' |
Поскольку при фиксированном х0 а — а (х) ^ х , то при любом х из отрезка [х0, 1] функция
ф (а (*))
[1 + а(х)] Р-п (а(х))
не обращается в нуль. Следовательно, |
согласно (14) функ |
ция у(х) неограничена в окрестности |
х = 1 . Так как это |
противоречит условию о непрерывности у(х) на отрезке [—1, 1], то допущение, что ф(1)=^0, неверно.
Для ср (t) доказательство совершенно аналогично. Лемма
доказана. |
|
Из |
теоремы 3 непосредственно следует |
З а м е ч а н и е . |
теорема 1. |
4. |
Всякая |
функция f(x), непрерывная на |
Т е о р е м а |
отрезке [—1, |
1] и ортогональная с весом р (х) = 1 на про |
межутке [ - 1 . 1] |
всем многочленам Лежандра, тождест |
венно равна нулю, |
/ (х) == 0. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
|
|
|
/ |
/(*). * е [ —1, |
1], |
|
h{X) |
\ |
0, |
х ф [ - 1, |
1]. |
Напомним, |
что |
если |
функция |
Ф (х) |
интегрируема |
с квадратом на |
промежутке (— со, со ), то |
к ней приме |
нимо (т. е. для |
нее существует) преобразование Фурье *). |
Очевидно, функция |
(х) |
интегрируема с квадратом на |
промежутке (— оо, |
оо). |
Ее преобразование |
Фурье имеет |
вид |
со |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/г1(т )= |
$ |
f1(x)e~ixadx = |
^ f (х) e~ixa dx. |
(15) |
|
— СО |
|
|
— |
1 |
|
|
|
Так как еЧха —аналитическая всюду |
функция |
перемен |
ной и, то и Ej (со) аналитична всюду, поскольку интеграл
(15) не |
является несобственным |
и производная от него |
по со существует при любом со. |
Функцию F1(a>) можно |
представить степенным |
рядом, |
сходящимся |
к ней всюду: |
|
F i H - F i (0) + |
соF[ (0) + |
... + |
с о * ^ |
+ ... |
Все коэффициенты этого ряда равны нулю. |
В самом деле, |
Л*» (0) = |
(— i f \ Xkf (X) dx = (- 0 k |
{f(x)[ZCrPr (x)\dx=0, |
|
—1 |
|
|
—1 |
(/=0 |
|
так как |
по условию теоремы f (х) ортогональна всем мно |
гочленам Лежандра. Мы здесь использовали также свой
ство |
1 |
(§ |
1) многочленов |
Лежандра. |
Таким |
образом, |
Рг (со) = |
0. |
Применяя |
обратное |
преобразование |
Фурье |
к функции F1(со), |
получим fi(x). |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
§ F l |
(®) eixa> d(d = |
0- |
|
|
|
|
|
|
|
|
— со |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
и /(х)==0. Теорема доказана. |
|
|
З а м е ч а н и е . |
Пусть {fn(x)\ |
(п = 0, |
1, 2, ..^ — семей |
ство функций, определенных на |
промежутке (а, b) и по |
парно ортогональных на (а, Ь) |
с весом |
р(х). |
Если |
для |
всякой |
функции |
f(x), |
принадлежащей |
семейству |
В, |
из |
ортогональности f(x) (с весом р(х)) |
всем функциям семей |
ства |
{/„ (*)} |
следует, что f (х) = |
0, |
то говорят, |
что семей |
ство {/„(*)} замкнуто относительно семейства В.
Теорема 4 устанавливает замкнутость семейства мно гочленов Лежандра относительно семейства всех непре
рывных на [— 1, 1] |
функций. |
*) См. С м и р н о в |
В. И., Курс высшей математики, т. II, |
«Наука», 1967. |
|
