7. Многочлены Лежандра можно также рассматривать как собственные функции следующей краевой задачи: найти значения параметра X и отвечающие им решения уравнения
^ [ ( 1 - * 2)г/'] + ^ = 0, |
(5Х) |
непрерывные и, следовательно, ограниченные на отрезке
[—1, 1]. Числа A,„ = n ( n + 1), где п — целые неотрицатель ные числа, являются собственными значениями этой за дачи, а Рп (х) — отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпываются ли совокупностями {Кп} и {Рп (*)} все собственные значения и собственные функции вышеприведенной краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно следует из теорем 3 и 4. Таким образом, совокупность многочленов Лежандра исчерпывает все непрерывные и огра ниченные на отрезке [—1, 1] решения уравнения Ле жандра (5Д
8.Для многочленов Лежандра справедливо также ин
тегральное представление для значений х е (—1, 1):
|
2я |
|
|
|
^ |
(*) = йт jj |
[x + l’^ l - *2 sin фГ <*Р- |
(16) |
|
о |
|
|
|
Для получения его |
в формуле (3) настоящей |
главы |
в качестве контура |
возьмем окружность радиуса Р, |
P = Y 1—х2 ( | х | < 1 ) , с центром в точке z = x и |
произ |
ведем замену |
переменной |
в интеграле z = х + К 1 — х2ег’ф; |
при этом |
|
|
|
|
|
dz = i V |
1—х2eitf dq>, |
|
z2 — 1= x 2— 1+ (1 — x2) e2itf + 2x У 1— x2 eiq>=
=У 1 — x2 ei<f [2x + Y~1— x2,(е‘ф — е_‘ф)] =
=2]/Д — х2е'ф [x-f i У 1 — x2sin <p].
Подставляя значения |
z — x, |
z2— 1 и dz в формулу (3), |
получим |
|
|
|
2я |
|
|
|
Дп W = 2^ ^ |
+ г y i |
— л:2 sin ср]п с/ф. |
|
О |
|
|
|
Из этой формулы непосредственно следует оценка |
|
\Рп ( х ) \ с \ |
для |
xea( — 1, 1). |
(17) |
На рис. 39 приведены графики многочленов Лежандра. Рассмотрим несколько примеров применения многочле нов Лежандра (и их простейших свойств) для решения
задач математической физики.
9. П р и м е р |
1. |
Определить |
потенциал внутри полой сферы ра |
диуса R, составленный из двух полусфер, изолированных друг от |
друга тонкой прокладкой и заряженных до потенциалов vx |
и р2- |
Математическая |
постановка |
задачи: требуется найти решение |
и (г, 6) уравнения Да = |
0 в области 0 ^ r < . R , |
удовлетворяющее |
кра |
евым условиям |
|
|
|
О |
S < л/2, |
|
и (0, |
6) | < |
’со, |
|
nj2 < 6 < л. |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Сначала найдем |
решения уравнения Д ц = 0 |
вида |
n = f (г)ф(б), удовлетворяющие только условию ограниченности. Раз деляя переменные, получим
- ~Лг • 1 (Ф' «п 6) |
sin б ей ^ |
' “= А. |
Ф
d H ' ) - V = o ,
dr
В последнем уравнении Получим уравнение
i
sin 6 ей (ф' sin б) + Яф= 0.
произведем замену переменной g=cos9.
которое |
при |
Я = п(п-(-1) имеет ограниченное на [—1, 1] решение |
в виде многочлена Лежандра Р„(ь)- |
При таких значениях Я уравне |
ние для |
f (г) |
имеет ограниченное |
решение вида / (г) = г п. Решение |
исходной задачи ищем в виде
со
и (г, 0 )= |
cnrnP n (cos 6). |
(18) |
п=0
Коэффициенты сп определим из второго краевого условия, пользуясь свойством ортогональности многочленов Лежандра:
я
С„ = jj и (R, б) Р„ (COS б) sin б dO=
2н+1
Р,Л1) d5 + »i
Последние интегралы вычисляем, пользуясь формулами (7) и (6) этой главы. Получим
|
|
V%—^1 2/1 |
^ |
лч1(0 ). |
|
В этой задаче |
мы |
воспользовались |
следующей теоремой |
разло |
жимости функции <р(£) в ряд Фурье по многочленам Лежандра: |
Если функция |
ф (^) |
кусочно-непрерывна вместе с производной пер |
вого порядка ф ' (|), |
то |
в каждой |
точке непрерывности ф (|) |
ее ряд |
Фурье по многочленам Лежандра сходится к этой функции.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы.
П р и м е р |
2. |
Разложить плоскую волну v = e ^ |
в ряд по мно |
гочленам Лежандра и функциям Бесселя. |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Функция v — ei}-z — e,'krco!i*>является решением урав |
нения До + Л2о = 0. |
В сферических координатах оно запишется в виде |
Ф • f |
(r*vr) + |
-а-1.--Н • Ъп (00 sin 6) + |
№v = |
0. |
г2 |
дг |
к |
г2 sin в до |
' |
|
|
Будем искать |
решение |
этого уравнения в классе функций вида |
v = f(r) ф (0). Разделяя в последнем уравнении |
переменные, получим |
- L - ^ ф ' 8т6) + рф= 0.
Ограниченные решения уравнения для ф будем иметь при (.1==«(« +1)
в виде многочленов Лежандра |
ф (0) = Рп (cosfl). Уравнение для } (г) |
после замены переменной / (г) = |
ф {г)/У г |
примет вид |
ф " + у - ф ' + |
Я,2 |
ф= 0. |
Ограниченным решением этого уравнения |
будет функция J njr ij2{'kr). |
Таким образом, уравнение, которому удовлетворяет рассматриваемая
плоская |
волна, |
имеет |
семейство решений -р — / ,J + 1/2 {Кг) Рп (cos 6). |
Поэтому естественно |
положить |
|
|
|
|
/ |
рсоз9 = |
\ |
J п_уа2(р) Рп (cos 0). |
(19) |
|
|
|
|
|
п = 0 |
|
|
Пользуясь ортогональностью многочленов Лежандра, находим |
|
|
|
|
•^„_l_i/2(p) _ |
2я+1 \ е'ЪРп (I) dl. |
|
|
|
|
|
Ур |
|
|
|
Производя п раз |
интегрирование по частям в правой части, получим |
|
Jп- |
(Р) |
1 |
. . |
1 |
|
2п + 1 |
Ур |
|
- |
- |
[е^ Р п Щ 1 Х ~ — [е’* Р 'п Щ у + . . . |
|
|
|
Ф |
|
(ф)2 |
|
Это соотношение справедливо при любых р. Для больших р мы можем заменить функцию J n+ , , (р) ее асимптотическим представле нием. Получим
2с„ |
У 2 |
cos |
|
|
|
1 \ |
я |
я |
О |
|
|
2п-\- 1 |
|
|
|
п + '2 / 2 |
|
|
|
р У я |
|
|
|
|
|
|
|
|
= Щ |
|
2с" |
. ± U U - „ J L \ + 0 (1\) = |
|
|
У п ( 2 п + \ ) |
Р \ |
У |
|
<2 Щ \ Р Д |
|
|
|
|
= |
|
|
ф И Ч . ®+ 1. . .‘,+ У У 1*Ы > Г ю ц ,• |
Из этого соотношения |
следует равенство |
главных |
членов: |
|
|
2 У2 |
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
Сп™ \ Р - п 2 |
|
— |
[е'Р — (— |
1)«е_'Р], |
|
|
Уп |
|
|
2п + |
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1/2 |
c« sln lP-«-o-, |
— [»-«е'Р — ine~'P] = |
|
|
| я |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
2я+ 1 |
|
|
|
i |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
i |
p - n - |
|
‘ |
p - ■ * ) ] , |
2in sin |
p — n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn = |
V |
|
t |
in {2n+ |
1} = |
^ |
in ( n + y ) • |
(20) |
П р и м е р 3. |
Решить задачу о возмущении плоской |
акустической |
волны и0 (М, t), обусловленном наличием |
сферы радиуса R |
с абсо |
лютно твердыми стенками, т. |
е. задачу о рассеянии звука на сфере. |
Будем полагать, что центр сферы находится в начале координат. |
Движение |
вне сферы будет описываться функцией и(М , (), |
равной |
и(М, |
t) = |
u0 (M, |
|
t), |
где |
v (М, |
t) — искомое |
возмущение. |
Поскольку функции и(М , t) |
и и0 {М, t) |
являются решениями урав |
нения a2 Aw = и,ц, то v(M, |
t) |
будет также решением этого уравнения. |
Функции |
и, |
и0 и v будем |
интерпретировать |
как потенциалы |
скорос |
тей. |
Тогда |
на |
поверхности |
сферы |
должно |
выполняться |
условие |
■ = 0 . |
Таким образом, |
задача для v |
ставится следующим об- |
дп r = |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разом: |
|
|
|
а2 Ап = |
V(t для r > R , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
ди0 |
|
|
ц |
<оо. |
|
|
|
|
|
|
дп |
|
дп |
r = R ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, декартову систему координат можно выбрать так, чтобы плоская волна и0 записывалась в виде
|
ц0 = |
eikz ■e~ikat. |
Будем искать v(M, t) в |
|
виде |
v = |
Ф (М) e~lkat. Тогда для ф (М) |
задача будет ставиться следующим образом: |
ДФ |
= |
&2Ф = 0 |
для r > R , |
д Ф |
_ |
дфо |
Ф | < о о , |
|
|
|
|
дп r = R |
|
|
д п |
r = R ’ |
где ф0 = J k z
Имея в виду разложение (19) плоской волны ф0 (без временного фактора), естественно искать Ф (М) в виДе ряда
Фт (М) будет решением следующей задачи:
|
|
АФт + к2Фт = 0 для r > R , |
(21) |
|
дФ„ |
= — |
{А т (г) Рт (cos 6)}Г=Л, | Фт | < со, |
(22) |
|
дп |
|
=R |
|
|
где Ат (г) Рт (cos б) — член номера т в разложении (19). Ищем Фт (М)
в виде произведения |
Фт = |
Вт (г) *Fm (6). Тогда, очевидно, |
в силу |
краевого условия (22) |
функция 'FOT(0) должна быть равной Рт (cos0). |
Подставляя |
Фт = |
Вт {г) Рт (cos 6) в уравнение (21), |
получим |
уравнение для |
Вт (г): |
|
№ т(т-\- 1) В„ : 0. |
|
В ' т + у В т + |
|
Если положить |
Вт — Dm/ Y г , то для Dm (r) получим уравнение |
|
Вт" + |
у Вт’ [*2 - - - - .Л211] D<n= О- |
(23) |
