Это уравнение |
цилиндрических функций с индексом v = / я V 2., |
По физическому смыслу задачи функция и(А4, |
t) должна представ |
ляться в |
виде |
суперпозиции сферических |
расходящихся волн |
eik ,r~ai\ |
Поскольку при больших значениях |
г подходящую асимп |
тотику имеет только функция Ганкеля |
HJ'(kr): |
|
H'v(kr) = |
Г |
2 ' |
i k [ r - v |
1+ 0 |
у |
|
|
то общее решение уравнения (23) надо написать в виде |
|
DmW = amHm+ R, (*0 + Pm^m+ V, ^ |
и сохранить |
лишь |
член |
с функцией |
(kr) *). Таким образом, |
получим |
|
|
|
|
|
|
Вт (г) = v-mhm (kr), |
где hv (kr) = |
H:J'+ , 2 (kr). |
Коэффициент а 1П находим из краевого условия (22), которое дает нам
Вт’ (R) = — Ат (Щ- Отсюда |
находим |
|
|
|
|
т |
4 |
Л'(Щ |
= |
—с, i'm № |
■Y 2я im (m-\- |
i \ 4 |
m |
(kR) k |
|
mh'm (kR) |
|
|
2 / h' |
(kR) |
гДе 4 (P) |
1- |
j m_pi/ (p)- |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
Y p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
4 |
(w?) hm (kr). |
ф (M)= 2 ф» M = |
2 ( |
“ + - |
|
|
m= 0 |
|
|
/4 |
(«?) |
|
|
|
|
|
OT= 0 |
|
|
|
|
10. |
Приведем |
без доказательства |
Одну из теорем раз |
ложимости функций в ряд Фурье по многочленам Ле
жандра, |
уточняющую |
теорему |
Стеклова |
(гл. IV, § 2) |
в случае, |
когда |
разложение производится по многочленам |
Лежандра. |
5. Если |
функция |
f(x) и |
ее производная |
Т е о р е м а |
f (х) кусочно-непрерывны |
на отрезке [—1, |
1], то в каж |
дой точке х е |
[ - 1 , |
1] |
ее ряд |
Фурье по многочленам |
Лежандра
У спРп (X), сп= |
/ (£) Рп(6) dl, |
п = 0 |
_ ll |
сходится к числу |
|
Л -[/(* + 0 )+ /(* -0 )] .
*) Функция Hm + 1j1(kr) Дает сходящуюся волну.
Если функция f (х) и ее производные f (х), f (х) непре рывны на отрезке [—1, 1], то сходимость к f (х) будет равномерной на отрезке [ - 1 . 1].
§ 3. Многочлены Чебышева — Эрмита
Мы определим два новых класса ортогональных мно гочленов, имеющих многочисленные приложения. Их можно определить несколькими способами. Мы восполь зуемся таким методом, который позволяет проще всего получить основные свойства определяемых многочленов. Этому требованию удовлетворяет определение с помощью
производящей функции. |
функ |
1. Возьмем в качестве производящей функции |
цию Н (х, t)=e2xt- p |
и разложим ее в степенной |
ряд по |
степеням t: |
|
|
|
СО |
|
Н(х, |
/)= 2 |
(24) |
|
п ~ О |
|
Ниже будет показано, что коэффициенты разложения Нп(х) являются многочленами, называемыми многочленами Чебышева —Эрмита. Очевидно,
|
Нп(х). |
дпН (х, t) |
|
|
|
|
|
дР1 |
I-о |
|
|
|
|
|
|
|
|
дпН |
|
„ |
|
|
|
|
„ |
|
функ- |
С другой стороны, производная я-го порядка |
|
ции Я при ^ = 0 |
вычисляется |
по формуле |
|
|
|
дпН |
— J L |
С,2xl —Н |
|
|
|
|
dtn '=0 _ 2ni |
,! ~ 1+Г dt, |
|
|
|
где замкнутый |
контур |
С охватывает точку |
t = 0. |
Следо |
вательно, |
|
|
|
5‘- |
-(*—О2 |
|
|
|
Нп(х) = е*- 2пя\ ( |
|
|
|
~Jn+i dt. |
|
|
|
Произведем в последнем интеграле замену переменной интегрирования x — t = \. Получим
D ” J
С,
где контур Сх охватывает точку 1 = х. Используя формулу
для п-й производной интеграла Коши *), получим
Нп(х) = { - \) п е* ^ - { е - * ) . |
(25) |
Из этой формулы следует, что Нп (х) есть многочлен п-й степени, обладающий свойством четности:
Н2к (х) — четная функция, # 2*+1 (х) —нечетная функция.
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
# 0 (х) = 1, Нг (х) = 2х, Я2 |
(х) = 4л:2 — 2 и т. д. |
2. Покажем, |
что многочлен Нп(*) |
является |
решением |
уравнения |
у" — 2ху’ -\-Ху — 0 при Х = 2п. |
(26) |
|
Действительно, |
продифференцировав |
функцию |
w — e~x2 |
один раз, |
w' = — 2хе~х\ |
находим тождество и/ + 2xw = 0. |
Дифференцируя |
это тождество п + 1 раз, |
получим |
|
[w{n)Y + 2х |
+ 2nw{n) = |
0. |
(27) |
Теперь, подставляя в это тождество, согласно формуле (25),
w ^ = (— l)nHn(x)e~x\
получим следующее тождество: |
|
Нп (х) - 2хН'п (х) + 2пНп (х) = |
0. |
Уравнение (26) |
можно записать в виде |
|
i |
(е-х2у') + Хе~х2у = 0. |
(28) |
Рассмотрим некоторые свойства многочленов Нп(х).
3. Т е о р е м а 1. Многочлены Чебышева — Эрмита орто
гональны на |
промежутке (—со, со) с весом |
р(х)=е~х2: |
со |
Нп (х) Нр {х) е~х2 dx = 0, если п ф р . |
|
§ |
(29) |
—со
До к а з а т е л ь с т в о . Напишем два тождества:
-dx [е~х2Н'п (х)] + 2пе~х2Нп (х) = 0,
i |
[е-*2Н'р (х)]+2ре~х2Нр (х) ^ 0. |
*) Л а в р е н т ь е в М. А. и Ш а б а т Б . В., |
Методы теории функ |
ций комплексного |
переменного, гл. I, «Наука», |
1973. |
Первое из них умножим на Нр(х), второе —на Нп(х), результаты вычтем один из другого и полученную раз ность проинтегрируем (по х) по промежутку (—эо, оо). Получим
I { » Р ж < ■ * - * " * ) - Н . |
dx = |
|
со |
= 2 (р - п) ^ Нп(х) Нр (х) е~х2 dx. |
Левую часть этого равенства, |
очевидно, можно записать |
в виде |
|
СО
\± { ( H pH'n - H nH'p)e-*}dx.
Следовательно, |
|
ОО |
|
2 ( р - п ) ] НпНре~*2dx = (НрН'п - НпНр’) е-*' |
= 0. |
— СО |
|
Поскольку р ф п , то отсюда непосредственно |
следует |
равенство (29).
Найдем норму \\Нп\\. Предварительно докажем спра
ведливость двух рекуррентных соотношений: |
|
|
|
|
|
|
Я„+1 (х) - 2хНп (х) + 2пНп_х (х) ^ 0, |
|
|
(30) |
|
|
|
|
Н'п(х)=2пН п_1(х). |
|
|
(31) |
Для |
этого |
установим связь |
между производящей функ- |
„ |
„ , |
|
|
|
дН |
и |
дН |
. |
циеи |
Н (х, t) и ее частными производными |
|
|
Непосредственным |
вычислением находим |
|
|
|
|
|
|
дН = 2 ( x - t ) H и f s 2/Я. |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
дх |
|
|
|
|
Подставляя |
в эти |
тождества |
вместо Я (х, t) ее разложе |
ние (24), получим |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
п = |
1 |
|
2 Ял(х)5 |
’ |
|
(32) |
|
|
п = О |
|
|
|
|
|
|
со |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
(33) |
|
|
я = 0 |
|
л = 0 |
|
|
|
|
