Приравнивая |
коэффициенты при одинаковых степенях t |
в тождествах |
(32) и (33), получим соответственно рекур |
рентные формулы (30) и (31).
Тождество (31) позволяет вычислить интеграл
J Нп(*) dx = 2(;Д - ,)- Я я+1 (х).
Тождеством (30) |
мы воспользуемся для вычисления квад- |
|
|
СО |
рата нормы || Нп f = |
$ e~x!Hh dx: |
|
|
— СО |
СО |
|
о о |
|) Я п|р — 5 |
e-**HUx)dx= 5 Hn(x)Hn(x)e-*'dx. |
— с о |
|
— с о |
Один множитель Нп(х) в подынтегральном выражении выразим по формуле (30) через Нп_х и Я„_2, заменив в ней п на n — 1. Получим
ОО |
|
II Нпf = 5 er*Hn W {2хЯя_! (х) - |
2 (п - 1) Я я„2 (х)} dx = |
— СО |
|
|
с о |
' = |
\ е~х2Нп x(x)2xHn{x)dx. |
|
—ОО |
При этом мы воспользовались ортогональностью много
членов |
Я я. 2 и |
Нп. Выразим |
2хЯя (х) через |
Я я 1 (х) и |
Яя+1 (х) по формуле (30), получим |
|
\Н„ |
ои |
|
(X) {Яя;х(х) + |
2пН„_! (х)} dx = |
|
5 ег*'Нп |
|
|
.-1 |
|
|
|
|
|
|
|
= 2п $ е~х1Н%_ 1 (х) dx, |
или |
|
|
| Яяр = 2лЦЯя_1р. |
(34) |
|
|
|
При этом мы воспользовались ортогональностью много членов Нпл и Я я+1. Из формулы (34) следует
СО |
|
IНп Р = 2п~1п\ I ЯхII2 = 2" • л ! J 2х2е-*г dx = 2"п! / я . |
(35) |
— СО |
|
Таким образом, |
(36) |
|Я я||в — 2"л! У я. |
4. Очевидно, многочлены Чебышева —Эрмита образуют
нормальную систему |
многочленов. Следовательно, к мно |
гочленам |
Чебышева — Эрмита |
приложима |
теорема § 1 |
(стр. 333). |
образом, |
все нули |
многочленов |
Нп {х) —про |
Таким |
стые и вещественные. |
|
|
|
В дальнейшем функции, интегрируемые вместе со своим |
квадратом, |
будем |
называть квадратично интегрируемыми. |
5. Т е о р е м а |
2. |
Всякое решение уравнения (28)у(х), |
отвечающее параметру X = X Д: 2п (п — произвольное фик сированное неотрицательное целое число)., непрерывное и квадратично интегрируемое (с весом р (х) = е~х2)‘на проме жутке (— со, оо), ортогонально многочленам /Чебышева — Эрмита Нп (х) на промежутке (— о о , со) с весом р(х) — е-х\
Д о к а з а т е л ь с т в о . Исходя из тождеств
щ 1е-Ш п (т + К е-^Н п (1)=в О, где Я, = 2п,
как и при доказательстве теоремы 1, находим
*
$ Нп (I) у Ц) e-Vdl = — Ц- {ф (х) - |
ф (0}, |
(37) |
где |
|
и t< x . |
(38) |
■ty(z) = e -zZ{yr{z)Hn{z)—y(z)H n(z)] |
Переходя в (37) к пределу при |
—со и x-> -foo, |
получим |
|
|
|
СО |
|
|
|
$ Нп{1)У © е - ^ ^ ^ Ц т ^ Ф |
W - |
|
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать, что справедлива
Лемма . Имеют место соотношения
Нт ф(х) = 0 и Пт ф (0 = 0.
д : — ► - j - сзо t — ► — о о
Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, |
|
X |
|
ф (х) = ф (/) -f {К — а) jj er »7Д (I) у (I) d\ . |
(39) |
t |
|
Зафиксируем t. Поскольку правая часть в (39) непре рывна по х на промежутке [/, оо), то ф (х) также непре рывна на [t, оо). Существует конечный предел
lim \e - * H n(l)y(i)d l. |
(40) |
х-^ + сп f
Всамом деле, по неравенству Коши—Буняковского имеем
\е -^Н п{1)у &) dc |
\е г * \Н п (|) ||г /( £ ) |Ф |
^ |
e-¥\H n{l)W~y(l)\dl= \ |
e - ^ \ H n(l)\e-^\~y {l)\dl |
|
\ e - V H U i ) d l |
|
1/2 |
|
^ |
e-t*yz{l)dl\ = |
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
= |
||Я „ ||М e~t‘y \ i ) d l |
Так |
как по условию |
теоремы |
последний интеграл суще |
ствует и равен конечному числу, то отсюда и следует существование конечного предела (40).
Из существования предела (40) следует, очевидно,
существование |
предела Пт ф (х) = ф (+ оо). |
Покажем, |
чтоф( +оо) = |
х ~ » + |
о о |
существует |
0. Допустим |
противное. Тогда |
такое число хъ что на промежутке [лу, оо] функция ф(х) не обращается в нуль. Так как Нп (х) —многочлен, то можно полагать, что на промежутке [ху, оо) Нп (х) также не обращается в нуль. Из (38) получаем
А / _ 1 |
Ш = |
^ (Юег2 |
d z \ H n (z) / |
я ^(г) |
Следовательно, для х > хг
у (х) = Нп(х) У (*i) | С |
ф (г) егг dz\ |
н п Об) ’t " 3 |
Н% (г) ) |
Х 1 |
} |
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем значении, получим
ez2 dz | |
(41) |
H n i z ) ) ’ |
|
где ххс |
| с х. |
Поскольку |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С e* dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
(г) |
|
|
|
|
|
растет при х->-\-со, как |
|
х~гН'п (х)е*2, |
а функция |
ф (gt |
не |
обращается |
в |
нуль и ограничена на промежутке |
[хх, со), то из |
(41) |
следует, что у (х) растет при х-+оэ, |
как х~1Нп1(х) ех\ |
и поэтому у (х) не является квадратично |
интегрируемой |
на |
(— со, |
со) |
с |
весом |
|
р(х) = е -х\ |
Это |
противоречит условию теоремы. Таким образом, предпо |
ложение ф ( + с о ) т ^ 0 |
противоречиво, |
и, |
следовательно, |
ф (-(- оо) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совершенно аналогично доказывается, что ф (— оо) = 0. |
Лемма доказана. |
Из теоремы 2 |
непосредственно следует |
|
З а м е ч а н и е . |
теорема |
1. |
|
|
3. Всякая функция f(x), непрерывная |
|
6. |
Т е о р е м а |
и квадратично |
интегрируемая с весом р(х) = е -хг на про |
межутке |
(— оо, |
со), |
ортогональная |
всем |
многочленам |
Чебышева — Эрмита |
с |
весом |
р(х) = е -хг |
на |
промежутке |
(— |
оо, оо), тождественно равна нулю, /(лг)==0. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Поскольку по условию теоремы |
функция |
fx(x) = f(x)e~x2/2 |
квадратично |
интегрируема |
с весом р (х) = |
1 на |
промежутке |
(— со, |
оо), |
то тем более |
функция /2 (х) = f (х) е~х2квадратично интегрируема с весом |
р (х) == 1 на том же промежутке. Следовательно, функция |
/2 (х) имеет преобразование |
Фурье Р2(со): |
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
Т2(со) = |
^ |
fa(x)(Tixadx= |
^ f(x )e -x2~ ixadx. |
(42) |
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
— со |
|
|
|
|
Функция |
(и) |
аналитична |
в полосе | Im со | «s; N произ |
вольной ширины 2N, и ее производные произвольного порядка k можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла, т. е. по формулам
ОО |
|
(43) |
FW (и) = (— i f J f (х) e- x3- ‘™xh dx. |
— СО |
|
|
В самом деле, функции |
|
|
Фаix) —I x \k I f(x) I eu lxl-x* |
(k = 0, 1,2,...) |
являются, очевидно, мажорантными |
в полосе |
|Imw|s£;N |
для функций
(— i f X k f (х) e - x 2- ix < s > '
Интегралы
С О
jjy k (x)dx
сходятся, так как, представляя |
(х) в виде произведения |
Ы* ) = (|/(* )\e~X* } { \ x f e Nlxl~^ )
ииспользуя неравенство Коши—Буняковского, получим
со |
f |
со |
(х) I2 е~*2dx |
со |
§ ф *(х)с1г=^1 |
$ | / |
j | * 12ft e 2N ix\ — x* d x |
— CO |
\ — |
CO |
— |
CO |
Поскольку |
последние |
интегралы |
сходятся, то сходится |
|
СО |
(х) dx. |
|
и интеграл |
$ |
|
— 00
Так как функция F2(со) аналитична в полосе j Im со |й=;М, то в круге Dr с центром в точке со = 0 и радиуса R< .N ее можно представить степенным рядом
F2(со) = F2(0) + C0F2 |
|
, |
F(*)(0) |
(0) + . . . -f- со |
—^ ---- \-... |
Все коэффициенты этого ряда равны нулю, ибо |
FW (0) = (— i f ^ xkf (х) е~х*dx = |
|
|
= (— i f |
$ |
crHr (x)\f(x)e~x‘dx = 0. |
|
— со lr = 0 |
|
* |
Мы здесь воспользовались |
свойством |
1 (§ 1) многочленов |
Чебышева—Эрмита и их ортогональностью (с весом р (х) = = е~х2) к функции /(х).
Таким образом, всюду в D# F2(ш) = 0. По теореме единственности аналитических функций из этого следует, что всюду в полосе | Im со | <: N Р2(со) == 0.
Применяя обратное преобразование Фурье к функции Т2(со), получим /2(х). Таким образом,
СО
к W = \ F2И е1х<*da = 0.
—ОО
Следовательно, и /(х) = 0, Теорема доказана.
