З а м е ч а н и е . Мы установили замкнутость семейства многочленов Чебышева — Эрмита относительно семейства всех функций, непрерывных и квадратично интегрируемых с весом р(х) = е~х2 на промежутке (— оо, оо).
7. Многочлены Чебышева — Эрмита можно рассматри вать как собственные функции следующей краевой задачи:
Найти значения параметра %и отвечающие им реше
ния уравнения |
|
-ах (е- х2У') + ^ - х2У=в> |
(28) |
квадратично интегрируемые с весом р (х) = е~х2 на проме жутке (— оо, оо).
Числа |
Яя = 2п, где п —целые неотрицательные числа, |
являются |
собственными значениями этой краевой задачи, |
а Нп (х) — отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпывают ли совокупности {Я„} и {#„(*)} все собственные значения и собственные функции этой краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно следует из теорем 2 и 3.
Таким образом, совокупность многочленов Чебышева — Эрмита исчерпывает все решения уравнения (28), квадра тично интегрируемые с весом р(х) = е~х2 на промежутке
(— оо, со).
8. Приведем без доказательства одну из теорем разло жимости функций в ряд Фурье по многочленам Чебы шева—Эрмита, уточняющую теорему Стеклова (гл. IV, §2) в случае, когда разложение производится по многочленам Чебышева — Эрмита.
Т е о р е м а 4. Если функция f (х) и ее производная f'(x) кусочно-непрерывны на любом конечном отрезке [— а, а] и интеграл
СО
jje~x2f2(x)dx
—ОО
имеет конечное значение, то при любом вещественном значении х ее ряд Фурье по многочленам Чебышева— Эрмита
со |
со |
2 спНп {х), |
сп= -pTjji". J / (£)е_|2 Нп (g) dl, |
п= О |
—со |
сходится к числу |
|
2 |
[/(* + 0 )+ /(* - 0 )] . |
9. |
В приложениях |
чаще применяются ф у н к ц и |
Ч е б ы ше в а — Э р м и т а |
|
|
= |
(44) |
обращающиеся в нуль на бесконечности. Эти функции,
очевидно, образуют |
ортогональную |
систему с |
весом |
Р (х)= 1: |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
$ |
ф„ (х) фр (х) dx = 0, |
если |
п Ф р\ |
(45) |
— |
СО |
II фя II = |
1• |
|
(46) |
|
|
|
Из уравнения (28) |
для многочленов Нп (х) легко полу |
чается дифференциальное уравнение для функций |
ф„ (х): |
ф" + (А,— х2) ф — О |
(А = 2п+1). |
(47) |
Обычно для уравнения (47) задача ставится следую щим образом:
Найти такие значения параметра X, при которых уравнение (47) имеет решение ф(х), непрерывное и квадра тично интегрируемое (с весом р(х) = 1) на промежутке (— оо, оо), обращающееся в нуль на концах этого про межутка .
Из свойств задачи, решением которой являются мно гочлены Чебышева — Эрмита (см. стр. 357), следует, что упомянутая задача для уравнения (47) имеет решения
только для |
значений X, |
|
равных Яга = 2п+1 |
(я = |
0, 1, ...), |
и этими решениями будут функции ф„(х). |
|
|
Рассмотрим пример применения многочленов Чебы |
шева—Эрмита (и их простейших |
свойств) |
для |
решения |
конкретных |
задач. |
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
4. Определить, при |
каких значениях Е уравнение |
Шредингера для линейного |
гармонического осциллятора |
|
|
, (2 тЕ |
m2a l |
\ |
|
|
|
Ф +{-Ц2------- (48> |
|
|
имеет ограниченное на промежутке |
—с о < х < с о |
решение. Здесь |
т, со0, Е —масса, собственная |
частота |
и полная энергия осциллятора, |
Л—постоянная Планка. |
|
|
|
|
|
|
|
Заменой |
переменной 2 = |
|
|
|
х |
уравнение |
(48) |
приводится |
к виду (47), в котором Я = |
2Е |
|
|
|
|
|
щП |
|
|
|
|
|
|
d?ф |
|
2Е |
—Z2 |
ф = 0 . |
|
(49) |
|
dz2 + |
щП |
|
|
|
|
|
Прн |
2Е |
|
1 , где п —целое число, т. е. |
/ |
1\ |
= 2 n + |
при Е —м0й (я-р - j = |
= £„, |
уравнение |
(48) имеет ограниченное |
на промежутке —с о < |
< 2 < |
о о решение % (г) — гп ^ у |
|
|
Функции |
Чебышева — Эрмита появляются при решении уравне |
ния Лапласа |
Д «= 0 методом разделения переменных в параболиче |
ских координатах. Действительно, если ввести параболические коор
динаты а, |
р, г, связанные с декартовыми координатами х, у, |
г соот |
ношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = -|~(а2 —Ра)> |
у = |
са$, |
г= 2 |
|
(50) |
(здесь с—размерный |
множитель, —c o < a < o o , 0 s g p < c o , |
—о э < |
< 2 < оо ), |
то Ди = 0 в этих |
переменных будет иметь вид |
|
|
Ди- |
1 |
( д2и |
д2« . |
|
„ . д„, д2и |
= 0. |
(51) |
|
|
|
''с2 (а2 + |
Р2) \ д с ё |
dp2 |
+ |
|
дг2 |
|
|
j. = |
Будем |
|
искать решение |
уравнения |
(51) в классе |
функций вида |
A (а) В (Р) D (г). |
Разделяя переменные, |
получим уравнения |
|
|
|
|
Л' + |
(|х—№с2а2) /1=0, |
|
(52) |
|
|
|
|
5 " - ( ц + Я2с2Р2) В = |
0, |
|
(53) |
|
|
|
|
|
D" + A,2D = |
0, |
|
|
где |
Я2 и |
р,—неизвестные |
параметры. |
В |
переменных |
| = ]/Я са и |
Г) = |
г У Ic р |
уравнения (52) |
и (53) |
принимают вид |
|
|
|
|
|
|
сРА |
|
|
|
|
|
|
(54) |
|
|
|
|
Ж + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сРВ |
JL |
Т)2 |
5 = 0, |
|
|
|
|
|
|
dr|2 |
|
|
|
|
|
|
%с |
|
|
|
|
|
|
совпадающий с уравнением (48).
§4. Многочлены Чебышева—Лагерра
1.Как было указано в § 1, мы определим многочлены Чебышева —Лагерра с помощью производящей функции. Возьмем в качестве производящей функцию
L“ (*> 0 = |
a > |
- J> |
и разложим ее в степенной ряд по степеням t\ |
|
ОО |
|
La {х, |
0 = 2 ] К W tn- |
(55) |
|
п = 0 |
|
Ниже будет показано, что коэффициенты разложения (х) являются многочленами, называемыми многочленами
Чебышева— Лагерра *). Очевидно,
а , , |
1 |
О |
= J |
СL“ (х, /) |
dt, |
w |
- п\ ' |
= о |
2го |
j |
fn+l |
где С—замкнутый контур, охватывающий точку ^ = 0. Произведем в этом интеграле замену переменной интегри
рования t — 1——. Получим
П (х) = Г - V ± |
* = 1 ЛГV £ |
. |
С,
Контур Сх охватывает точку z — x. Мы при этом восполь зовались формулой для производной интеграла Коши. Таким образом,
(56)
Из этой формулы следует, что L" (х) действительно является многочленом л-й степени. Очевидно, (*■) == 1,
Ц(х) = 1 + а — х.
2.Покажем, что многочлен L„ (х) является решением уравнения
или |
|
ху + (а + 1— х) у' + Ху= 0, |
|
(57) |
|
|
|
|
|
|
^ |
(ха+1е~жу') + Х^е~ху = 0 |
при Х — п. |
(58) |
Действительно, |
продифференцировав |
функцию |
w — |
= хпШе~х один |
раз: |
|
|
|
|
|
w' = (п + а) хп+'х~1е~х — хп*ае~х, |
|
находим тождество |
|
|
|
|
|
|
xw’ — (п 4- а — х) W = |
0. |
|
|
Дифференцируем это тождество п-\-1 |
раз. |
Получим |
|
х [wM]" |
(х |
1— a) [wM]' + (п + 1)w[n) == 0. |
|
Подставляя |
в |
это |
тождество вместо w(n) его значение |
согласно формуле (56): |
|
|
|
|
|
w(n) _ x^e-xl^ [х)п\, |
|
|
*) Иногда эти многочлены называют обобщенными многочленами |
Чебышева —Лагерра, а |
многочлены Ln (х) = Ьп (х) —многочленами |
Чебышева —Лагерра. |
|
|
|
|