Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

З а м е ч а н и е . Мы установили замкнутость семейства многочленов Чебышева — Эрмита относительно семейства всех функций, непрерывных и квадратично интегрируемых с весом р(х) = е~х2 на промежутке (— оо, оо).

7. Многочлены Чебышева — Эрмита можно рассматри­ вать как собственные функции следующей краевой задачи:

Найти значения параметра %и отвечающие им реше­

ния уравнения

 

-ах (е- х2У') + ^ - х2У=в>

(28)

квадратично интегрируемые с весом р (х) = е~х2 на проме­ жутке (— оо, оо).

Числа

Яя = 2п, где п целые неотрицательные числа,

являются

собственными значениями этой краевой задачи,

а Нп (х) отвечающими им собственными функциями.

Возникает вопрос: исчерпывают ли совокупности {Я„} и {#„(*)} все собственные значения и собственные функции этой краевой задачи?

Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно следует из теорем 2 и 3.

Таким образом, совокупность многочленов Чебышева Эрмита исчерпывает все решения уравнения (28), квадра­ тично интегрируемые с весом р(х) = е~х2 на промежутке

(— оо, со).

8. Приведем без доказательства одну из теорем разло­ жимости функций в ряд Фурье по многочленам Чебы­ шева—Эрмита, уточняющую теорему Стеклова (гл. IV, §2) в случае, когда разложение производится по многочленам Чебышева — Эрмита.

Т е о р е м а 4. Если функция f (х) и ее производная f'(x) кусочно-непрерывны на любом конечном отрезке [а, а] и интеграл

СО

jje~x2f2(x)dx

ОО

имеет конечное значение, то при любом вещественном значении х ее ряд Фурье по многочленам Чебышева— Эрмита

со

со

2 спНп {х),

сп= -pTjji". J / (£)е_|2 Нп (g) dl,

п= О

—со

сходится к числу

 

2

[/(* + 0 )+ /(* - 0 )] .

357


9.

В приложениях

чаще применяются ф у н к ц и

Ч е б ы ше в а — Э р м и т а

 

 

=

(44)

обращающиеся в нуль на бесконечности. Эти функции,

очевидно, образуют

ортогональную

систему с

весом

Р (х)= 1:

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

$

ф„ (х) фр (х) dx = 0,

если

п Ф р\

(45)

СО

II фя II =

1•

 

(46)

 

 

 

Из уравнения (28)

для многочленов Нп (х) легко полу­

чается дифференциальное уравнение для функций

ф„ (х):

ф" + (А,— х2) ф — О

(А = 2п+1).

(47)

Обычно для уравнения (47) задача ставится следую­ щим образом:

Найти такие значения параметра X, при которых уравнение (47) имеет решение ф(х), непрерывное и квадра­ тично интегрируемое весом р(х) = 1) на промежутке (— оо, оо), обращающееся в нуль на концах этого про­ межутка .

Из свойств задачи, решением которой являются мно­ гочлены Чебышева — Эрмита (см. стр. 357), следует, что упомянутая задача для уравнения (47) имеет решения

только для

значений X,

 

равных Яга = 2п+1

(я =

0, 1, ...),

и этими решениями будут функции ф„(х).

 

 

Рассмотрим пример применения многочленов Чебы­

шева—Эрмита (и их простейших

свойств)

для

решения

конкретных

задач.

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

4. Определить, при

каких значениях Е уравнение

Шредингера для линейного

гармонического осциллятора

 

 

, (2 тЕ

m2a l

\

 

 

 

Ф +{-Ц2------- (48>

 

 

имеет ограниченное на промежутке

—с о < х < с о

решение. Здесь

т, со0, Е масса, собственная

частота

и полная энергия осциллятора,

Л—постоянная Планка.

 

 

 

 

 

 

 

Заменой

переменной 2 =

 

 

 

х

уравнение

(48)

приводится

к виду (47), в котором Я =

2Е

 

 

 

 

 

щП

 

 

 

 

 

 

d?ф

 

2Е

—Z2

ф = 0 .

 

(49)

 

dz2 +

щП

 

 

 

 

 

358


Прн

2Е

 

1 , где п целое число, т. е.

/

1\

= 2 n +

при Е м0й (я-р - j =

= £„,

уравнение

(48) имеет ограниченное

на промежутке —с о <

< 2 <

о о решение % (г) — гп ^ у

 

 

Функции

Чебышева — Эрмита появляются при решении уравне­

ния Лапласа

Д «= 0 методом разделения переменных в параболиче­

ских координатах. Действительно, если ввести параболические коор­

динаты а,

р, г, связанные с декартовыми координатами х, у,

г соот­

ношениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* = -|~(а2 —Ра)>

у =

са$,

г= 2

 

(50)

(здесь с—размерный

множитель, —c o < a < o o , 0 s g p < c o ,

—о э <

< 2 < оо ),

то Ди = 0 в этих

переменных будет иметь вид

 

 

Ди-

1

( д2и

д2« .

 

„ . д„, д2и

= 0.

(51)

 

 

 

''с2 (а2 +

Р2) \ д с ё

dp2

+

 

дг2

 

 

j. =

Будем

 

искать решение

уравнения

(51) в классе

функций вида

A (а) В (Р) D (г).

Разделяя переменные,

получим уравнения

 

 

 

 

Л' +

(|х—№с2а2) /1=0,

 

(52)

 

 

 

 

5 " - ( ц + Я2с2Р2) В =

0,

 

(53)

 

 

 

 

 

D" + A,2D =

0,

 

 

где

Я2 и

р,—неизвестные

параметры.

В

переменных

| = ]/Я са и

Г) =

г У Ic р

уравнения (52)

и (53)

принимают вид

 

 

 

 

 

 

сРА

 

 

 

 

 

 

(54)

 

 

 

 

Ж +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сРВ

JL

Т)2

5 = 0,

 

 

 

 

 

 

dr|2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

совпадающий с уравнением (48).

§4. Многочлены Чебышева—Лагерра

1.Как было указано в § 1, мы определим многочлены Чебышева —Лагерра с помощью производящей функции. Возьмем в качестве производящей функцию

L“ (*> 0 =

a >

- J>

и разложим ее в степенной ряд по степеням t\

 

ОО

 

La {х,

0 = 2 ] К W tn-

(55)

 

п = 0

 

Ниже будет показано, что коэффициенты разложения (х) являются многочленами, называемыми многочленами

359



ЧебышеваЛагерра *). Очевидно,

а , ,

1

О

= J

СL“ (х, /)

dt,

w

- п\ '

= о

2го

j

fn+l

где С—замкнутый контур, охватывающий точку ^ = 0. Произведем в этом интеграле замену переменной интегри­

рования t — 1——. Получим

П (х) = Г - V ±

* = 1 ЛГV £

.

С,

Контур Сх охватывает точку z — x. Мы при этом восполь­ зовались формулой для производной интеграла Коши. Таким образом,

(56)

Из этой формулы следует, что L" (х) действительно является многочленом л-й степени. Очевидно, (*■) == 1,

Ц(х) = 1 + а — х.

2.Покажем, что многочлен L„ (х) является решением уравнения

или

 

ху + (а + 1— х) у' + Ху= 0,

 

(57)

 

 

 

 

 

 

^

(ха+1е~жу') + Х^е~ху = 0

при Х — п.

(58)

Действительно,

продифференцировав

функцию

w

= хпШе~х один

раз:

 

 

 

 

 

w' = (п + а) хп+'х~1е~х — хп*ае~х,

 

находим тождество

 

 

 

 

 

 

xw’ (п 4- а — х) W =

0.

 

 

Дифференцируем это тождество п-\-1

раз.

Получим

 

х [wM]"

1— a) [wM]' + (п + 1)w[n) == 0.

 

Подставляя

в

это

тождество вместо w(n) его значение

согласно формуле (56):

 

 

 

 

 

w(n) _ x^e-xl^ [х)п\,

 

 

*) Иногда эти многочлены называют обобщенными многочленами

Чебышева —Лагерра, а

многочлены Ln (х) = Ьп (х) —многочленами

Чебышева —Лагерра.

 

 

 

 

360