получим тождество |
|
|
|
|
|
|
|
х (^л) |
+ (а + 5— х) (Ln)' -f- nLn = |
0. |
Рассмотрим некоторые свойства |
многочленов Lp (x). |
3. |
Т е о р е м а |
1. |
Многочлены |
Чебышева — Лагерра |
ортогональны на промежутке (0, |
оо) с весом р (х) = хае~х: |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
\j Lan{x)Ll(x) хаё~х dx —0, |
если |
п ф р |
и |
с с > —1. (59) |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Напишем два тождества: |
|
d |
|
|
+ |
nxae~xLn (x) = |
0, |
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
_ |
dLap (x) |
|
|
|
|
|
|
dx xa+1e x |
dx |
+ |
рхае~хЦ, (x) == 0. |
Первое из них умножим на Ц,(х), второе —на L“ (x), результаты вычтем один из другого и полученную раз ность проинтегрируем (по х) по промежутку (0, со). Получим
|
dLa |
dx — |
Х л п е - х |
P |
|
dx |
|
= (p — «) $ L“ (x) Lap (x) xae x dx.
Левую часть этого равенства, очевидно, можно записать в виде
СО
y ^ x ^ e - x [Lap(Lan)’ - (Lap)' C]}dx.
о
Следовательно,
СО
5 С (х) Lap(x)xae~x dx =
0
|
= ~ |
IМ У п - « У С Н Г = 0 . |
При х = 0 |
проинтегрированная часть обращается |
в нуль |
за счет x“+1 |
( а > — 1), а |
при х = со —за счет е~х. |
следует |
Поскольку р ф п , то |
отсюда непосредственно |
равенство (59). |
|
|
4. |
Найдем норму |L “||. Предварительно докажем спр |
ведливость двух рекуррентных соотношений: |
|
|
(п-\-1) Ln-\-1 (х) — (2п -f-1-f- а — х) Ln (х) + |
|
|
|
|
|
~Ь (ti -f- и) Ln—1 (х) = |
0, |
(60) |
|
- ^ L “ W ^ - L “±:(x). |
|
|
|
(61) |
Для этого установим связь между производящей функ- |
цией и ее частными производными |
dLa |
и |
dLa |
Непосред |
|
—gf- |
ственным |
вычислением находим |
|
|
|
|
|
( l - 2 t + t*)?La£ 0 ^ [ a + \ - x - ( a + l ) t ] L a (х, t)
и |
|
|
|
|
|
|
|
dLa(*' 0 == - |
tLa+1 (x, t). |
|
Подставляя |
в |
эти тождества вместо L“ (х, t) и La+1 (х, /) |
их разложения |
(55), получим |
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
( 1 - 2 Н - ;2) |
2 |
nL“ ( x ) f - ‘ = |
|
|
|
|
П—I |
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
= [ a + l _ x _ ( a + |
l)t] Y i Lan(x)tn |
(62) |
|
00 |
иг a |
03 |
|
|
|
2 |
tn - i r L ^ - t 2 |
/ n L “ + 1 w - |
(6 3 ) |
|
n ~ |
0 |
rc= 0 |
|
|
Приравнивая коэффициенты |
при |
одинаковых степенях t |
в тождествах (62) и (63), получим соответственно фор мулы (60) и (61).
Из формулы (61) следует, что |
|
\Lan{x)dx = — Lan+\{x). |
(64) |
Соотношением (60) мы воспользуемся для вычисления ||L“|f:
00 |
со |
II Ln If = 5 xV * [Ln (x)]2 dx = |
^ xV*L“ (x) L“ (x) dx. |
о |
0 |
Один множитель L“ (x) в подынтегральном выражении
выразим по формуле (60), заменив в ней п на п — 1. Получим
СО
IIС I2 = $ хV *L“ (X) [{2п - 1+ а — X) Ц _, (х) —
о
— ( п - 1+ а ) L“_ 2(x)}--^<ix =
СО |
|
= \ \ |
(х) [ - Xll (х)] г/х. |
о |
|
Мы при этом воспользовались ортогональностью много членов Ln и Ln- 2) а также L“ и L“_j. Выразим — xL“ (x) через Ln+t (*), Ln (х) и L“_ t (x) по формуле (60). Получим
СО
||Cf = ~ J x V ^ _ l (X) {(Я+ 1) ^+1 (X) -
0
— (2п -j- 1+ ос) L„ (х) -f- (п -J- сс) Ln—1 (х)} dx =
00
= £±L ( |
|
|
W]a* |
= ^±i||C-.,IP. |
о |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
II 7 а 112 |
Л + |
й II т а |
112 |
/ с с \ |
\\Ln\\ |
=— |
я— |
- |
(б5) |
При этом мы воспользовались ортогональностью много
членов Ln~i |
и Ln+u Ln- 1 |
и Ln. Из формулы (65) следует; |
I I | | 2 = (» + |
« ) ( » + |
« |
- В •••(« + 2) I j j l |
|2 = |
|
|
° ^ |
+ |
2Г ^ (1 + СТ ~ * ) 2 ^ |
dX = |
|
|
|
|
_ Г(п + а + 1)г, /т | ON_Г(я + ос-|-1) |
Таким образом, |
|
~ п!Г(а + 2) |
' |
|
nl |
|
|
Г (я + к + 1 ) |
|
|
|
|
|
\Lan\ |
|
(66) |
|
|
|
п\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, многочлены |
Чебышева — Лагерра |
образуют |
нормальную систему многочленов. Следовательно, к мно гочленам Чебышева — Лагерра приложима теорема § 1.
Таким образом, все нули многочленов 1“ (х) —простые, вещественные и расположены на интервале (0, оо).
5.Т е о р е м а 2. Всякое решение уравнения (58) у(х)
отвечающее параметру К= Я Д п (п — произвольное фиксиро ванное неотрицательное целое число), непрерывное и квадра тично интегрируемое (с весом р (х) — хаё~х) на промежутке
[О, оо), ортогонально многочленам Чебышева — Лагерра L“ (х) на промежутке (0, оо) с весом р(х) = хае~х.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Исходя из тождеств
|
-щ [ta+itrty |
m + ii^ ' y |
(i) ^ |
о, |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di "ge+v |
E |
a |
|
(g)]+ K f e ln а) ^ |
о, |
где Кп — п, |
как |
и при |
доказательстве |
теоремы |
1, |
( |
У&)(£ ЬпС {($£)) fce~lе |
dl = — 1Ц - {/ (х) -/(/)} , |
J |
|
|
|
|
|
Ап |
А |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р/ \ |
«+1 |
-г |
J j t |
^ |
d y ( г ) |
~ : |
/ _ ч а |
, а , |
|
/ (z) = |
z |
е |
|
|
dz |
y(z)-;-L an (z) |
и 0 < Д < х < ;с ю . |
Переходя в |
(67) к пределу |
при ^->0 |
и х-э-оо, получим |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
f |
(6) L“ (g) di = — |
flim / (x) - |
lim / (*)l. (69) |
J0 |
|
АЛ— А |
(лг-^со |
—►0 |
J |
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать, что справедлива
Ле мма . Имеют место соотношения
lim/(x) = 0 и |
lim/(ZI) = 0. |
X-+CQ |
t-+0 |
Доказательство первого равенства проводится совер шенно так же, как и доказательство равенства lim т|э (х) = 0
л :— » СО
в лемме на стр. 353, а доказательство второго равенства —
как |
доказательство |
равенства |
Птф(х) = 0 в |
лемме на |
стр. |
340. |
|
|
X-*-1 |
|
Поэтому мы не будем снова повторять их *). |
6. |
Т е о р е м а |
3. Всякая функция f(x), |
непрерывная |
квадратично интегрируемая с |
весом р (х) = хае~х на про |
*) Читателю рекомендуется провести подробно все выкладки доказательств.
межутке [0, оо), ортогональная всем многочленам Чебы шева— Лагерра с весом р(х)==хае~х на промежутке [0, оо), тождественно равна нулю, /(*)== 0.
Для |
упрощения доказательства |
полагаем а > —0,5. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку по условию теоремы |
функция |
fj_ (х) = / (х) x“/2e-*/2 квадратично |
интегрируема |
с весом |
р ( х ) =1 на промежутке |
[0, оо), |
то тем более |
функция f2 (х) = xae~xf{x) квадратично интегрируема с весом р (х) = 1 на том же промежутке. Следовательно, функция
хае х( (х), х ^ 0,
квадратично интегрируема с весом р (х) = 1 на промежутке (— оо, оо) и потому имеет преобразование Фурье F3(со):
СО |
с о |
|
F3(со) = § |
/3 (х) e~lxm dx— ^f (а ) хае xe~ixa dx. |
(70) |
— со |
0 |
|
Функция F3(со) аналитична в полуплоскости Imcos£6< 1/2, и ее производные произвольного порядка k можно вычи слять дифференцированием под знаком интеграла, т. е. по формулам
|
СО |
|
(со) = (— i f |
$ f (х) xa+lle-xe-ixa dx. |
(71) |
|
0 |
|
В самом деле, функции |
|
|
Фа (х) = | / (х)! |
(£ = 0, 1 , 2 , . . . ) |
|
являются, очевидно, мажорантными в полуплоскости Im СО б для функций
(— i f f (х) Xa+ke-xe~ixa>.
Интегралы
СО
$ ф* (a) dx 0
сходятся, так как, представляя cpft(*) в виде произведения
щ(х) = [\!(х)\х^е 2j U 2 е 2 х)
и используя неравенство Коши — Буняковского, получим
оо |
( со |
со |
|
jj ц>к(a) dx ^ |
U |
| / (а) I2 xae~x dx $ Ха+2ке~х |
dx |
и |
lo |
о |
|
