Поскольку последние интегралы сходятся, то сходится и интеграл
СО
\ ф* (х) dx.
о
Так как функция F3(w) аналитична в полуплоскости Im со «с 6 < 0 ,5 , то в круге DR радиуса с центром в точке о = 0 ее можно представить степенным рядом
^(ш )^,Гз(0) + |
со^(0) + ... + > ^ ]^ - + ... |
|
Все коэффициенты этого ряда равны нулю, ибо |
|
ОО |
|
|
|
Ff) (0) = (— i f ^ xkf (х) хае~х dx = |
|
|
О |
|
|
|
|
СО I' k |
\ |
|
= ( - |
i f S 12 |
c t f (x)j / (x) |
dx = 0. |
Мы здесь воспользовались свойством 1 (§ 1) многочленов Чебышева — Лагерра и их ортогональностью к функции f(x). Таким образом, всюду в DR Fs ((o )sfl. По теореме един ственности аналитических функций из этого следует, что F3(со) = 0 всюду в полуплоскости Im со ^ б <; 0,5.
Применяя обратное преобразование Фурье к функции F3(со), получим /3(х). Таким образом,
СО
—СО
Следовательно, и /(х)н= 0. Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . Мы установили замкнутость семейства многочленов Чебышева— Лагерра относительно семейства всех функций, непрерывных и квадратично интегрируемых
с весом р (х )= х “е-л: на промежутке [0, оо). |
|
7. |
Многочлены Чебышева —Лагерра можно рассматр |
вать как собственные функции краевой задачи: |
|
Найти значения параметра К и отвечающие им реше |
ния уравнения |
|
|
4 ; {ха+1е~ху') + №г-*у = 0, |
(58) |
непрерывные и квадратично интегрируемые с весом р (х) — = хае~х на промежутке [0, со).
Числа Хп = п, где « — целые неотрицательные числа,
являются собственными значениями этой краевой задачи,
a Ln (х) — отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпываются ли совокупностями
{К} и {Lan(x)} все собственные значения и собственные функции этой краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно следует из теорем 2 и 3.
Таким образом, совокупность многочленов Чебышева — Лагерра исчерпывает все решения уравнения (58), ограни ченные в окрестности х = 0, непрерывные и квадратично интегрируемые с весом р(х) = хае~х на промежутке [0, со).
8. Приведем без доказательства одну из теорем раз ложимости функций в ряд Фурье по многочленам Чебы
шева — Лагерра, |
уточняющую теорему Стеклова (гл. IV, |
§ 2) в случае, |
когда разложение производится по мно |
гочленам Чебышева — Лагерра. |
Т е о р е м а |
14. Если функция f(x) и ее производная |
f(х) кусочно-непрерывны на любом конечном отрезке [0, а]
иинтеграл
СО
jj e~xxaf2 (х) dx
о
имеет конечное значение, то |
при любом значении х > 0 |
ее ряд Фурье по многочленам Чебышева —Лагерра |
СО |
|
СО |
2 спЬЦх), |
Cn = r ^ m \ f ( l ) e - 4 aL^l)dl, |
п= О |
\ L n\ |
О |
сходится к числу |
|
|
у[/(* + 0 )+ /(* - 0 )] .
9.В приложениях чаще применяются функции
фа„(*) = Г7Т> /2e-*/2> |
(72) |
II LnII |
|
обращающиеся в нуль на бесконечности (х= + оо). Эти функции обладают следующим свойством ортогональ ности :
ОО
§ Ф“ (х) Ф“ (х) dx —0, если п Ф р и сс > — 1. (73)
о
Из уравнения (58) для многочленов Lan (х) легко следует,
ч т о ф у н к ц и я Ф “ (л-) я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я |
|
*(*</') + (А- |
X |
а2' |
У = о |
( 74) |
4 |
Тх |
при |
а + 1 |
|
|
К= п |
|
|
~ 2 ~ • |
|
|
Многочлены Чебышева — Лагерра |
применяются |
при |
решении задач о распространении электромагнитных волн вдоль длинных линий, о движении электрона в кулоновом поле и в других задачах.
П р и м е р |
5. Разложить функцию f(x)=e~ x в ряд Фурье по |
многочленам Чебышева— Лагерра. |
Р е ш е н и е . |
В искомом разложении |
оо
2спК (х)
п= О
коэффициенты сп вычисляются по формулам
со |
|
|
оо |
|
С« = ГППЙ [ xae~iXLn W d x ^ |
r k f |
\ |
е~х ^ п ( х ^ е ~ х) dx. |
IIМ £ |
|
IIII |
£ |
|
Производя «-кратное интегрирование по частям, получим |
п\ |
dn~1 |
оо |
|
|
С"= Г (n-j-a-j- 1) Г |
(х'1+ае~Х'>0 + |
|
|
|
Л/!-2 |
|
|
4“ . . . + jj xn+ae~ix djcj. |
|
+ е~ * 3 ^ (* п+Че"*) |
Подстановка пределов в проинтегрированные слагаемые дает нуль. Поскольку
1
I * ■п+ае-гх dx = 2я+а+1 Г (« + а + 1),
то
п\
"2л+а+1
З а м е ч а н и е . Существует связь между многочленами Чебышева — Эрмита и многочленами Чебышева — Лагерра вида
Н2п(х) = (~1)пп\2*'Ч-^(х*),
Н2пП (х) = (-!)» n \2 ^ x D V (х2).
Г л а в а XVI
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сферические функции столь же употребительны в мате матической физике, как и цилиндрические функции. Необ ходимость пользоваться ими появляется, например, при решении задач, рассмотренных в ч. I, методом разделе ния переменных, если использовать сферические коор динаты.
Если мы будем искать решения уравнения Лапласа
Ди = 0, записанного |
в сферических переменных г, 0, <р, |
в классе |
функций |
вида F(r)Y(d, |
ср), |
то для функций |
F (г), Y (6, |
ф) получим уравнения |
|
|
|
|
\(r*F’). -№ = О, |
(1) |
|
1 |
,d Y \ . |
|
(2) |
sin 0 |
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е . |
Непрерывные |
в области О =^;0^я |
0^ф =^2я решения уравнения (2), такие, что У(0, ф+ 2я) = = Y (6, ф), называются сферическими функциями.
Мы рассмотрим сначала семейство сферических функ ций, не зависящих от переменной ф.
§ 1. Простейшие сферические функции
Если сферическая функция У (0, ф) не зависит от переменной ф, то уравнение (2) принимает вид
1 |
dd sin 0 |
d_Y |
+ А,У = 0. |
(3) |
sin 6 |
dd |
Произведя в нем |
замену |
независимой переменной |
по |
