ф о р м у л е | = c o s e , пол уч и м |
|
|
(4) |
Это уравнение Лежандра. |
[—1, 1] решения этого урав |
Непрерывные на отрезке |
нения, как мы видели в § |
2 гл. XV, имеются только |
при значениях Х = п(п-\-1), |
где п — произвольное целое |
неотрицательное число, и этими решениями являются мно гочлены Лежандра Рп (с). Следовательно, сферическими функциями, не зависящими от переменной ф, являются многочлены Лежандра от cos0, P„(cos0), и только они.
Эти функции иногда называют зональными сфери ческими функциями. Мы подробно рассматривали свойства многочленов Лежандра, поэтому нет необходимости пере
числять |
свойства |
простейших |
сферических |
функций |
Рп (cos 0). |
|
|
|
|
|
|
§ 2. Присоединенные функции Лежандра |
1. Если ограниченные решения уравнения |
(2) искать |
в классе функций вида (0) Ф (ф), |
Ф (ф + |
2я) == Ф (ф), то |
для функций ? |
(0) |
и Ф (ф) получим уравнения |
|
|
sin 8 |
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф" - f цф = о. |
|
|
(6) |
Из |
условия |
периодичности функции |
Ф(ф) |
находим |
(х = k2 (где k — целое число). Поэтому |
|
|
Ф(ф) = A cos kq> -\-В sin &ф.
Вуравнении (5) произведем замену переменной cos 0 =
=£. Получим уравнение
При &= 0 оно совпадает с уравнением Лежандра. Нам требуется найти непрерывные на отрезке [—1, 1] реше ния этого уравнения. Пусть Тгх(£) — такие решения. Тогда
функции |
(cos 0) cos kq>+ |
(cos 0) sin k<p и будут |
искомыми сферическими функциями. |
Рассмотрим подробнее решение |
уравнения (7). |
О п р е д е л е н и е . Непрерывные на отрезке [—1, 1]
решения уравнения (7) называются присоединенными функ циями Лежандра.
Для отыскания их произведем замену функции по
формуле |
|
¥ ( |) = (1-|2)*/2г© . |
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
Для функции г(Е) получим уравнение |
|
|
|
|
(1 — Е2)г" — 2Цк + \)г' +[%- /г(£ + |
1)]г = 0 |
(9) |
или |
|
|
|
|
|
|
d |
|
d z |
|
|
|
|
d\ (1 - l 2)k n ^t + [ k - k ( k + l ) ] ( l - l * ) 4 = 0 . |
(10) |
Такое же уравнение мы получим из уравнения |
Лежандра (5) (гл. |
XV), если продифференцируем его k |
раз. |
|
Лежандра имеет непрерывные и k раз |
Но уравнение |
дифференцируемые |
на отрезке [—1, |
1] |
решения только |
при значениях |
А, |
равных А„ = я ( я - |- 1), |
где |
я —произ |
вольное целое |
неотрицательное число. |
Этими |
решениями |
являются многочлены Лежандра Рп(Е). Следовательно, только при значениях А = Я„ уравнение (10) имеет непре рывные на отрезке [—1, 1] решения. Этими решениями являются производные k-то порядка от многочленов Лежандра Рп{\).
Следовательно, присоединенными функциями Лежандра
будут функции вида |
|
P№ ) = ( l - t 2)k/2$ Pn(Z ) . |
(П) |
Очевидно,dk Phil) = Р„(Е ). Поскольку производная |
k-ro |
порядка ^pfiPnil) является решением уравнения (10), то,
следовательно, справедливо тождество
= — |
[ « ( « + |
1) ‘ - k { k |
+ |
1)] (1 - |
X2)ft |
Pn(x) S 3 |
|
s |
_ (n _ |
k) in + |
k + |
1) (1 - |
x2)* f~k Pn (x). |
(12) |
З а м е ч а н и е . |
Согласно |
теореме |
§ |
1 гл. XIV |
всякое |
решение уравнения (7) при А = я(я + |
1) (я —целое, я 2*0), |
линейно независимое с присоединенной функцией Лежандра
Pkn(I) (& >0), имеет в точках | = ± 1 особенности вида
иЛ 2 (1 + Е ) - ^ 2.
2.В дальнейшем нам понадобится только одно свой
ство этих функций — ортогональность.
Присоединенные функции Лежандра ортогональны на промежутке [—1, 1J с весом р(х)==1:
1
$ Р* (х) Pks (х) dx = 0 при п ф s. (13) —1
Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем следующее обозначение:
Лп. , = \ Р'п(*) Р 1 W dx- |
|
|
—1 |
|
|
|
Используя формулу (И) для Р*(х) и Pks(x), получим |
|
м . - S (1 - * V & P A * ) £ ,P ,U ) d * = |
|
|
—1 |
dk-1 |
|
|
dk |
|
|
= (1 - x2)k dyk Pn (x) |
Ps (x) |
—1 |
|
dxk |
|
|
dk~1 |
|
,d* |
dx. |
—1 |
( l - x r ~ p n(x) |
|
|
|
Мы здесь произвели интегрирование по частям. Резуль тат подстановки пределов интегрирования в первом сла гаемом, очевидно, равен нулю. Поэтому
Второй множитель подынтегрального выражения преоб разуем, пользуясь тождеством (12) (заменив в нем k на k — 1). Получим
А п, s = (n-k- \-\)(n + k) X
или
^ . , * ( « - А + 1 ) ( « + А )^ Г Л |
(14) |
П ри м ен яя |
ф о р м у л у |
(14) |
к |
Akn~sl, |
Akn~ 2 и |
т. д ., |
получим |
|
|
|
|
|
Д к |
_ (п + к)\ д о |
|
|
|
/1Г\ |
|
|
|
|
Л п, s ' " (tl — k)\ A n ' s' |
|
|
|
Поскольку |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n Ф s, |
|
|
А°п, s= |
l Pn (*) Ps (x) d x = |
0, |
если |
(16) |
и |
|
|
—l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
An, n — ^ |
P'n (x ) d x — |
i > |
|
|
TO |
|
|
|
|
|
—I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) Pks (x) dx = 0 |
при n Ф s |
|
|
Л* s = |
J |
|
|
|
|
|
|
—l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д/г |
_ |
I! p k |
||2___(n + k)l |
______ 2 _ |
|
|
|
|
|
«. n II n у |
(n — k)I |
2 п + 1 ' |
|
|
З а м е ч а н и е . |
Из |
формул |
(13) |
и (11) следует, что |
производные |
k-то |
порядка |
многочленов Лежандра орто |
гональны |
на |
промежутке |
[ - 1 , |
1] с весом р (аг) = |
(1 — х2)*. |
На рис. 40 приведены графики присоединенных функ ций Лежандра.
§3. Фундаментальные сферические функции
1.Согласно § 2 функции (cos 6) cos £<р и 4\(cos6) х Xsin&p являются сферическими функциями. Здесь T\(g) —
непрерывные |
на отрезке [ - 1 . |
1J решения |
уравнения (7) |
(§ 2). В § 2 |
мы нашли все |
возможные |
решения этого |
уравнения. Это суть присоединенные функции Лежандра. Таким образом, функции
У*(0, ф)==Л* (cos0) sin
и
Y~k (0, ф) = Pkn(cos 0) cos Аф,
Yn (0, ф) = Р°п (cos 0) = Рп (cos 0)
являются сферическими функциями. Их называют также
фундаментальными сферическими функциями п-го порядка.
Очевидно, что функции
у„(0, Ф)= |
Е С*у*(0, |
ф) |
(17) |
|
£= —П |
|
|
будут также сферическими функциями. |
Они называются |
сферическими функциями п-го порядка. |
|
|
При Х = п(п-\-1) уравнение (1) имеет решения |
|
Fi(r)=rn и Р2( г ) = ~ . |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
Ui(r, 0, y) = rnYn{9, ф), |
u2(r, 0, cp) = |
-Li yra(0, ф) |
(18) |
являются гармоническими функциями. Они называются
шаровыми функциями п-го порядка.
Таким образом, сферические функции п-го порядка У„(0, ф) являются значениями шаровых функций п-го порядка на единичной сфере.
2. Сферические функции обладают свойством ортого нальности на единичной сфере:
5 |
ф) У*(б> ф)^а = 0, если пфв , |
|
Se* |
|
|
или |
|
|
2Л Л |
|
5 |
$УЯ(9> ф) УД0, ф) sinQ <Т0 с/ф = 0. |
(19) |
о |
о |
|
