Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 133

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Для доказательства этого заметим, что свойством ор­ тогональности обладают фундаментальные сферические функции:

2я л

 

$

$ У*(0» ф ) ^ 0’ ф) Sin 0dd dq>= 0 при (п,

k ) ^ { s , р),

 

о

о

 

 

 

 

 

(20;

ибо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2я я

 

 

 

 

 

 

 

$

$У*(0,

Ф ) ^ ( 0> ф) sin BdB efcp =

 

о

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2л

 

 

I

 

 

 

 

 

= S

cos kq>cos pep dtp \ Pkn (l) рр (I) d | = О

 

 

 

 

о

 

 

-1

 

при

(п,

k) =£ (s, р)

(мы

для

определенности положили

k > 0 ,

р > 0). Если

!гф р, то

первый интеграл правой

части

равенства равен нулю.

Если же k = р, но п Ф s,

то второй интеграл равен нулю.

сферических

 

Из

ортогональности

фундаментальных

функций и из формулы (17) следует ортогональность (19). Вычислим квадрат нормы

2л л

[[Е*12 = $

$[у*(0> 4>)]2sin0d0d<p =

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2я

 

1

 

 

 

 

=

5

cos2

$

[РкпЩ 2с11.

 

 

 

 

0

 

- 1

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

V*ip =

_ H E L _

( E t i p

Р

- / 1 ’

к ф 0 ’

(21

 

"И

2n+l

(n - k )\b’

 

(2,

k = 0.

 

3.Т е о р е м а . Шаровые функции rnYn(0, ср) являются

однородными гармоническими многочленами п-й степени по переменным х, у, г.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку

Уп (9, Ф)= 2 C kYn (б, ф),

k — — П

нам достаточно доказать теорему для функций гпУ„(6, ср).

375

Для определенности

полагаем k > 0 .

Тогда

Уп (0, Ф) = Рп (1) cos £ф = (1 -

12) ^ ~

Рп(£) cos £Ф =

=(1 - i

t 2~

2

ал п~м c° s ^

=

 

*

9= 0

 

 

 

 

=

( 1 - £ 2)*/2 I ]

bgin~™-k cosky,

9= 0

где g = cos0. Очевидно, достаточно доказать теорему для функций вида rrtsin*0 (cos 0)"~2?-* cos &ф. Для таких функ­ ций мы имеем

rnsin* 0 (cos

cos

_

=rk sin* 0 Re (em ) r24rn~29~k (cos Q)n~29~k=

=Re (x + iy)k (x2+ y2-f- z2)24zn~24~k.

Очевидно, это однородный многочлен n-й степени.

Фундаментальные сферические функции можно рассмат­ ривать как собственные функции краевой задачи:

Найти значения параметра к и отвечающие им реше­ ния уравнения

1

д ( .

n dY\

,

1 <?2У

. . „ п

т .

Sin б

дб \

 

о б

1

1 Sin2 б <7ф2

1

v '

непрерывные

в области

0 ^ 0 ^ я,

0 s=7ф г с 2я

и такие,

что У (0, ф + 2я) =

У(0,

ф ) .

Числа

к„— п (п-\-1), где я —

целые неотрицательные числа, являются собственными значениями этой краевой задачи, а фундаментальные сфе­

рические функции У°(0, ф ), У*(0, ф ) , Упк ф, ф ) , k — \, 2, ..., п, — отвечающими им собственными функциями.

Совокупность фундаментальных сферических функций исчерпывает все линейно независимые решения уравне­ ния (2), непрерывные в области 0 ^ 0 ^ я, 0 ^ ф ^ 2 я и такие, что

У (0, ф+ 2я) = У (0, ф).

Эта совокупность замкнута относительно семейства всех непрерывных в области 0 ^ 0 ^ я, 0 ^ ф ^ 2 я функций таких, что У (0, ф+ 2я)=У(0, ф). Мы опускаем доказа­ тельства этих утверждений.

П р и м е р . Определить

температуру внутренних точек однород­

ного шара радиуса

R, если

на поверхности его поддерживается нуле­

вая температура, а

начальная температура равна f (г, 0, <р).

376

Математическая постановка задачи: требуется найти решение

уравнения

Ди = - ^ щ

в области

0 ^ r < R ,

 

 

 

0 ^ ф ^ 2 я ,

/ > 0 ,

удовлетворяющее краевым условиям

 

 

 

 

 

u(R,

0, ф, 0 = 0,

| и (0, 0,

ф, 0 | < с о ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и (г, 0,

ф-|-2я,

t) = u(r,

0, ф, О

и начальным условием и(г,

0,

ф,

0) =

f (г, 0,

 

ф).

 

 

 

Р е ш е н и е .

В

классе

 

функций

вида

А (г) У (в, ф) В (t) найдем

решения

уравнения

Д у д о в л е т в о р я ю щ и е

 

только

краевым

условиям.

Разделяя

переменные, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В' -{-а2аВ —0,

 

 

 

 

 

 

 

1

•

3 / .

ЗУ\ ,

-J :—“|

1

 

д2У

, ,

 

„

(23)

 

 

~

-дг

[ Sin

0

30 J

 

 

Зф2

КУ — 0 ,

 

 

 

sin 0

 

30\

 

 

sin2 0

 

 

 

 

 

 

| У (0,

ф) I < со,

У (0,

ф +

2я) =

У (0,

Ф),

(24)

 

j r {r2A') + {ar2- X ) A

= 0,

| Л (0) | <

 

оо,

Л (/?)= 0 .

 

 

 

Решениями задачи (23)

при

К = п(п-{-1)

являются

сферические функ­

ции Уп (0, ф). Если

в уравнении

для А (г) произвести замену функ­

ции по формуле А (г) =

г (г)/Vг, то для

г (г)

получим уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1\21

 

 

 

 

 

 

г " + у г' +

 

 

 

г3

 

г — 0,

 

 

 

общее решение которого можно записать в виде

 

 

 

 

 

г (г) =

M Jn + ,/2 (К «

г) +

N J _ п_ 1/2 ( |/ а

г).

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У г

 

 

 

 

 

Уг

 

 

 

Из условия ограниченности Л (0) находим N — 0; М можно положить равным 1.

Таким образом, А (г) = ~ Jn+1/2(]Aa г). Из условия Л(Я) =

получим уравнение для определения а:

Jn + i/2(Р)= °. \i= VaR.

Пусть положительные корни этого уравнения суть

Pi,л> Р2.я> •••> Щ.я> •••

Тогда a s,n = \ys n/R2. Решения задачи (24) имеют вид

^я. s (г)— 1

’ п+ 1/2

Гг

\ Я

377

Обращаясь к уравнению (23), находим

a,t*s. п {

Bs,n=Cs.ne ^

Следовательно, искомыми частными решениями исходной задачи, удовлетворяющими только краевым условиям, будут функции

Cs,ne

 

пt

1

 

Y„(6, ф)

 

 

 

Y=r J n + 1/2

 

Решение исходной задачи можно написать в виде

 

00

со

п

 

 

 

 

и(г, б, ф, 0 = 2

2

—1

лГ(

+ 1/2

Г) Х

 

п = 0 s— 1ft=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a^ s, п

 

x[C s,n,kY n (V > < t)+ D S'n,kY - k (e,<?)]e

* 2 .

Коэффициенты Cs,n,k и Ds,„, определяем из начальных условий, используя ортогональность функций К*(0, ф) и функций Бесселя. Получим

________ ( n - k ) 1(2я+1)

s' n,k

яе (п +

к)\ [Ул+1/2 (рх,л)]2Д2

 

 

 

 

R

2 я

Л

 

 

 

 

 

X

^

^

 

е,

Ф

r )

(0> (р) Sin в dr dB dtp,

 

 

ООО

 

 

 

 

Ds, л. ft

 

 

 

(n —k)\ (2« +

1)

 

 

яе/?2 (n-М)!

 

X

 

 

 

[7 л + 1/2 (p.s,л)]2

 

 

 

Я 2я я

 

 

 

 

 

X

j

 

J

^ ( r , 0, ф )^„+ 1/2( ^

/')

Ф) sin б dr d6 dtp,

 

0

0

0

 

 

 

 

 

где e = l ,

если k^£0,

и e =

2, если й = 0.

 

 

З А Д А Ч И

1.Вычислить Рп (0).

2.Ортогональны ли на отрезке [0, 1] производные й-го порядка многочленов Лежандра Р2п (х) (k фиксировано)? Если да, то с каким весом?

3.Решить задачу 6 гл. II при произвольных начальных данных, поместив начало координат в закрепленный конец струны.

4.Найти напряженность электростатического поля внутри и вне

полой сферы, верхняя половина которой заряжена до потенциала Vlt

анижняя —до потенциала V2.

5.Найти разложение по сферическим функциям поверхностных зарядов, индуцированных на идеально проводящей заземленной сфере

точечным зарядом е, находящимся: а) внутри сферы; б) вне сферы.

378

 

6.

Решить задачу о поляризации диэлектрического шара радиуса R

в поле точечного заряда, если

диэлектрическая

постоянная

е = 8!

при

r < R

и е = е2

при

r">R.

 

 

 

 

 

 

7.

Найти потенциал простого слоя, равномерно распределенного

по круглому диску.

потенциал

во

всех

точках

проводящего

шара

 

8.

Вычислить

с проводимостью

о

 

в случае, когда ток

/ входит в один его

полюс

(6 =

0)

и вытекает из

полюса

б =

я.

 

 

 

 

со

9.

Внутри

сферы,

на поверхности которой происходит теплообмен

средой

нулевой

температуры,

помещен точечный источник мощ­

ности

 

Q.

Найти

стационарное

распределение температуры

внутри

сферы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти потенциал точечного заряда, помещенного между про­

водящими

заземленными

концентрическими сферами r — Rt и r — R2.

Определить также плотность поверхностных зарядов.

 

 

11.

Найти

стационарное

распределение температуры в шаре ра­

диуса

 

R,

часть

поверхности

которого Sx (0 sg а)

имеет температуру

«0 =

const,

а остальная часть

S2 —нулевую температуру.

 

 

12. Шар радиуса R нагревается плоскопараллельным потоком

тепла

 

плотности

q,

 

падающим

на

его

поверхность, и отдает тепло

в среду с нулевой

температурой по закону Ньютона. Найти стацио­

нарное

распределение температуры.

 

 

 

 

 

13. Решить задачу о колебаниях газа в сферическом сосуде,

вызванных

малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента

^ = 0,

если

скорости частиц стенки направлены по радиусам и вели­

чина

их равна

Рп (cos 0) f (t), где / (0) = f

(0) = 0.

 

 

14.Найти собственные колебания сферы при краевых условиях: первого, второго и третьего типа.

15.Решить задачу об остывании шара радиуса R , на поверх­ ности которого поддерживается нулевая температура. Начальная температура равна f (г, 0, ф).

Смотрите также файлы