Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

г(1 — г)

+

[у — (a -f Р +

1) г] w' — afiw = 0.

(1)

Это

уравнение

имеет три особые точки: г± = 0,

г2=1

и г3 =

оо.

Построим фундаментальные системы решений уравне­

ния

(1)

в

окрестности каждой особой точки. Полагаем,

что у ^

0,

—1, —2, ...

0 будем

искать

1.

В

окрестности

особой точки zx =

решение

в виде обобщенного степенного ряда

w (г) =

(1 +

axz -f а2г2 - f ... +

anzn+ ...).

Подставляя этот ряд в

уравнение

(1)

и приравнивая

нулю коэффициенты при всех степенях

г в левой

части

уравнения,

найдем а и ап. Из равенства нулю коэффи­

циента при

z0' 1 находим ах = 0 и а2= 1 —у. Если

взять

а = а!,

то

из равенства нулю коэффициентов при

степе­

нях

z,

z2, ... в левой

части

уравнения

найдем

•Р

_

_ «*)я (Р),

1 - у ’ " • ’ п ~~ п\ (у)

где (х„) = х( х+1)

... (х + п — 1),

(х)0= 1 .

Таким образом,

при

о = 0

получим

формальное

решение в виде степен­

ного

ряда

СО

F (a,

Р,

У, г) =

1 +

^

zk.

(2)

k =\

Этот

ряд

сходится

в круге | z | <С 1.

Следовательно,

в этом круге функция F (а, р, у, г) является фактическим

решением уравнения

(1). Она

называется

гипергеометри­

ческой функцией.

Итак, одним из решений уравнения (1) в окрестности

особой точки

z —0 является гипергеометрическая функция

w1{z)=F(a, Р, у, г).

2.

Чтобы найти второе решение уравнения

(1) в окрест­

ности

особой

точки

zx = 0,

произведем

замену функции

по

формуле

w = zl ~yu{z).

Подставляя

это

выражение

в уравнение

(1),

получим уравнение

для функции

u(z):

z(l — z)u" +

[y' — (а' + Р ' + 1)г] и' — а' Р'« = 0,

где

а ' = а + 1 ^ у ,

Р' = р + 1 — у,

у ' = 2 —у.

Его

реше­

нием

в окрестности

точки

2 =

0, согласно предыдущему,

является

функция

u(z)=F(ос +1 —у,

P-f 1— у,

2 - у ,

2).

Следовательно, функция

w%(z) = zx~yF (а +

1— у,

р +

1-

у,

2 -

у,

г)

является

решением

уравнения

(1)

в

окрестности

точки

2 =

0.

Очевидно,

w2(z)

является

линейно

независимым

с w1(г) решением.

Таким образом,

функции

wy(z) и w2(z)

уравнения

(1) в окрестности

особой точки z2= 1 произве­

дем в уравнении (1) замену

независимой переменной z =

= 1—

Получим уравнение

5 ( l - S ) $ + [ T ' - ( a + P + l ) S ] f - a P ® = 0,

где у' = а + р + 1

— у.

Следовательно,

фундаментальной

системой

решений

уравнения

(1)

в

окрестности особой

точки

z2 =

1 будут функции

и

w3 (z) =F (а,

Р, а +

р +

1 -

у,

1 - г)

Действительно,

Т (у)

№)»

П р +fe)

Г ( у ) _ Г(р + ^)Г(7 - Р

)

(У)к

Г (7 + fe) ' Г (Р)

T(y + k)

' Г(Р)Г(7-Р) —

” Г ( Р ) Г ( 7 — Р)

+

V — Р) =

1

= --- Г Ш -- С fi+k-i / 1 _ m-p-i м

Г ( Р ) Г ( Y — Р ) J

1

’

т. е.

о

1

®)k _

Г (у)_ _

dt.

(4)

+

_*)Y -P -

(y)k ~

Г (р) г (у

Заменяя (Р)* в ряде (2) по формуле

(4)

и меняя

порядок

(V )/?

и интегрирования, получим

суммирования

F(a,

р, у, г) =

1

00

Г (у)

Ztfdt.

Г

(Р) Г

(V — Р) ^ 0-1(1 -*)Y-0-i 2

к =0

цией переменной г во всей плоскости

с разрезом'по лучу

(1, о о ) .

Следовательно, формула

(3)

дает аналитическое

продолжение гипергеометрической

функции на всю пло­

скость

с разрезом по лучу (1, о о ) .

р, у, г/Р) называются

7.

Функции F (а, у, г) = Пт F (а,

Р-*+ оо