Очевидно,
«. Y> |
г) = § |;/ ( а + ^- y + k > z)- k = l , 2 , ... |
Так же, как |
и для F (а, (3, у, г), получается интеграль |
ное представление для F (а, у, г):
О
8. Через вырожденные гипергеометрические функци выражаются многие функции. Например,
|
|
|
|
|
Я2,(г) = |
( - 1 ) п^ т ( - п , 1 г2), |
|
Н2п+1 (г) = (— 1)” — |
2zF (— п, у , |
г2), |
|
« + 1 , |
z), |
|
•Л>(2) = (у ) гЧу+ТУЯ (v + |
у , 2v -f 1, 2izj |
(v -> ~ y ) ’ |
/v ( ^ ( { ) Vi ^ T |
j f ( H |
{ , 2 v + 1, 2z) *). |
|
*’ Более подробные сведения о гипергеометрических функциях читатель найдет в книге Н. Н. Л е б е д е в а «Специальные функции и их приложения» (Физматгиз, 1963).
Д о п о л н е н и е
ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 6-ФУНКЦИЯ
1. Мы введем понятие обобщенных функций методом, аналогич ным методу введения действительных чисел с помощью последова
тельностей рациональных чисел. Введение |
действительных чисел |
имеет целью выполнимость таких операций, |
как извлечение корня и |
взятие логарифма. |
Введение обобщенных функций имеет целью сде |
лать в с е г д а |
в ы п о л н и м о й |
о п е р а ц и ю д и ф ф е р е н ц и р о |
в а н и я . |
|
|
|
|
|
|
Последовательность рациональных чисел {ап} называется фунда |
ментальной, |
если |
для |
любого |
рационального е > 0 |
существует та |
кое п0, что для в с е х |
п и т > |
щ |
|
|
|
|
|
1ап - а т \ < е . |
|
|
Фундаментальные последовательности {ап} и {Ьп} называются |
эквивалентными, если |
lim \an — bn 1= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п -* со |
|
|
|
Эквивалентные |
последовательности определяют |
действительное |
число. Представителем этого числа является любая из эквивалентных последовательностей.
2. При определении обобщенных функций мы за исходные возь |
мем непрерывные |
функции, определенные в интервале (Л, В), |
— с о ^ А с В ^ о э . |
Последовательность {fn (x)\ непрерывных на |
{А, В) функций называется фундаментальной на (А, В), если сущест
вует целое число |
и другая |
последовательность непрерывных |
на (А, В) функций |
\Fn (х)} такие, |
что выполняются следующие два |
свойства:21 |
|
|
1)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
последовательность |
{Fn {x)\ равномерно сходится на |
всяком |
отрезке |
[а, fS] с: (А, |
В) (Fn (х) =г). |
последовательности |
|
следует |
Из |
|
определения |
фундаментальной |
|
Т е о р е м а |
1. |
Если |
последовательность непрерывных на |
(А, В) |
функций |
{fn (x)\ |
|
равномерно |
сходится |
на всяком отрезке |
[а, Р] с |
с: (А, В), то она фундаментальна. |
и k — Q. |
|
|
В самом деле, |
здесь Fn (x) = fn (x) |
|
|
Т е о р е м а |
2. |
Если |
\fn (x)}— фундаментальная последователь |
ность |
функций, |
обладающих |
непрерывными производными |
т-го по- |
рядка |
(х), то последовательность |
(лг)| также является фун |
даментальной.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для {fn (х)} существует число kz>0 п последовательность {Fn (x)}, обладающие свойствами 1) и 2). Для
|/^т> (*)} вместо k берем k-\-m |
и ту |
же |
последовательность {Fn (x)}. |
Они, |
очевидно, |
обладают |
свойствами |
1 |
и |
2). |
Следовательно, |
{/^т) (*)} —фундаментальная |
последовательность. |
|
|
|
|
Последовательность функций \fn (x)} |
называется равномерно огра |
ниченной на (Л, В), |
если существует такое число М, |
что | fп (х) | ^ |
М |
для |
всех п и для всех х е |
(Л, В). |
|
|
|
непрерывных на (А, |
В) |
Т е о р е м а |
3. |
Если |
последовательность |
функций равномерно |
ограничена на |
(А, В) -и равномерно сходится на |
всяком отрезке |
f a , |
(3] с: (А, |
х0) |
и на всяком отрезке [ а , (3] cz (х0, В), |
то она |
фундаментальна на (А, |
В). |
Здесь х0 е |
(А, |
В). |
интеграл |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Возьмем |
в |
качестве |
Fn (х) |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn (x)= j fn (t)dt, |
а k = l . |
Тогда |
свойство |
1), |
очевидно, |
будет вы- |
полнено. |
Хо |
|
справедливость |
|
свойства |
2). Возьмем е > 0 |
и |
Докажем |
|
[ a , Р] с |
(Л, В). Пусть Л < |
а |
< |
< |
Р < |
В. По условию j fn (t) | г=: М. |
Нам надо доказать равномерную сходимость последовательности {Fn (x)}
на отрезке [a, Р]. Следовательно, |
надо |
рассматривать |
х е [ а , Р]. |
Для |
таких х |
имеем |
|
|
|
|
|
|
I Fn (x) — Fm (х) |
Xq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Хо |
|
. |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
6M |
|
"" 16M |
|
|
|
|
Хо 7TTZ |
|
X q -f* |
|
|
|
|
|
= |
i \fn~fm\dt+ |
$ |
\fn~fm\dt+ $ |
\fn- f m\dt. |
|
|
|
X q — |
6M |
|
Хо+Ш |
|
В силу равномерной сходимости последовательности |
{/„ (/)} на отрез |
ках |
а , х0- |
ёу |
и [ * + |
|
, pj |
найдется такое целое положитель |
ное число «0, |
что на этих |
отрезках |
будут |
выполняться |
неравенства |
|
I fn (?) |
fm (О I < |
|
g |
для |
всех т, |
|
Щ. |
|
~з~ф _ |
|
Тогда для я, |
m ^ |
я,, |
|
|
|
|
|
|
I Fn ( x ) - F m (х) | < з (ре_ а ) (*о- щ - a ) + 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 ( p - a ) { p ~ x° ~ m ) < e ' |
Пусть [а, Р] с: (Л, х0). Тогда
*о
| Fn (X) — F m ( x ) \ ^ \ f n ( t ) - j m (0 ! d/ =
|
*o- 4M |
|
|
|
|
Xo |
|
|
|
== |
S |
I fn (0 fm (О I d t - \ - |
|
^ I |
|
|
По условию теоремы |
последовательность |
{fn (^)} |
равномерно сходится |
|
|
Р |
1 |
|
|
|
|
|
|
на отрезке |
а, х0— АМ |
. |
Следовательно, |
существует |
п0 (е) |
такое, |
что для п, |
т ^ п 0 (е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\fn(t)~!m ( O K 2 (х0 — а) |
|
|
|
на отрезке |
а, х0■ |
4УИ |
, |
Поэтому для |
n, |
m |
^ n 0 (e) |
и х е |
[а, Р] |
|
|
|
|
е |
а + |
|
|
|
|
W l< 2(х0 —а) х° AM |
|
|
|
Хо
+§ I fn(f)-fm{l)\d«Y + 2MAE = B.
Хо — 4 М
Если [а, |
Р] с (х„, |
В), то аналогично получаем |
|
|
I Fn (x) — F m (X) I ^ |
Э |
|
|
|
J I fn CO—frn (0 |
I л = |
|
|
|
Хо + ■ |
|
•«о |
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
4М |
|
|
|
|
= |
$ |
! f n W - f m ( 0 ! ^ + |
$ l f n ( 0 - f m ( 0 ' ^ < |
|
*0 |
|
|
X q + |
|
|
|
|
|
|
A M |
|
|
|
|
|
<2М< AM 1 2 ( р - х 0) Р Xq |
AM < 8 . |
Следовательно, |
последовательность |
{Fn (х)} равномерно сходится на |
всяком отрезке |
ja, Р] сд (Л, В). Таким образом, |
свойство |
2) выпол |
няется. Теорема доказана. |
|
(х)} фундаменталь |
З а м е ч а н и е . |
Если последовательность |
ная, то и последовательность I \ f n (t)dt\ фундаментальна.
|х0 j
П р и м е р 1. Рассмотрим последовательность функций {gn (x)}:
1
8п(х) = 1 + е -
и интервал (— оо, с») (рис. 41).
Эта последовательность равномерно ограничена числом 1. На
всяком отрезке [а, |
Р] а |
(— со, |
0) она равномерно сходится к |
нулю. |
На всяком отрезке |
[а, |
р] с (0, |
со) она равномерно сходится |
к еди |
нице. Таким образом, выполняются условия теоремы 3. Следова тельно, последовательность {gn (х)} фундаментальна.
П р и м е р |
2. |
Рассмотрим последовательность |
функций |
{f„(x)J: |
|
|
|
fn{x) = y ^ — e |
|
пх , |
|
|
|
|
|
|
и интервал (— оо, |
со) |
(рис. 42). |
На всяком отрезке [а, |
Р) с |
(—ос, 0) |
|
|
|
|
или |
[а, |
р| |
с |
(0, |
со) эта |
последователь |
|
|
|
|
ность |
равномерно сходится |
к нулю. Од |
|
|
|
|
нако она |
не является |
равномерно |
огра |
|
|
|
|
ниченной. |
Последовательность |
функций |
|
|
|
|
{Fn {x)}, |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
F„(x) = |
$ |
|
|
|
также |
|
|
|
|
равномерно |
|
|
—оо |
всяком |
отрезке |
|
|
|
|
сходится |
на |
|
|
|
|
[а, Р], |
принадлежащем интервалам (— со, |
|
|
|
|
0) или |
(0, со), и |
равномерно ограничена |
|
|
|
|
(числом |
1) |
|
на |
интервале |
(— со, |
со). |
|
|
|
|
Следовательно, по теореме 3 она фун |
следовательность {fn (/)} |
даментальна. |
А |
тогда |
по |
теореме 2 по |
также фундаментальна. |
|
|
|
{ф„ (х)}, |
П р и м е р |
3. |
Рассмотрим |
последовательность функций |
где фга (х) -кусочно-линейная непрерывная функция, равная |
нулю |
вне интервала |
(—1 /п, |
1/л) (рис. |
43). |
На |
всяком отрезке [а, р], при |
надлежащем интервалам |
(— оо, |
0) или (0, со), она равномерно схо |
дится к нулю. |
Однако |
она не |
является равномерно ограниченной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
фn {t)dt, |
|
Последовательность функций {Ф„(х)}, |
|
ф я {х) = |
^ |
также |
равномерно сходится |
на всяком отрезке |
[а, Р], принадлежащем ин |
тервалам (— со, 0) |
или (0, со), |
и равномерно |
ограничена (числом 1) |
на интервале (— оо, со). Следовательно, |
|
по теореме 3 она фундамен |
тальна. А тогда по теореме 2 последовательность |
{ф„ (х)} |
также |
фундаментальна. |
Рассмотрим последовательность функций |
{фя (х)}: |
П р и м е р |
4. |
|
|
|
|
%(х) |
|
\/{пп) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1/п)2 + |
х2’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и интервал (— со, |
со) (рис. 44). Поскольку последовательность функ- |
|
X |
|
ций {'?„(*)}, где |
Х¥п(х) = ^ |
фга (0 dt, удовлетворяет условиям тео- |
|
— 00 |
ремы 3, она фундаментальна. |
Следовательно, по теореме 2 фундамен |
тальна и последовательность |
\tyn (x)}. |
3.Две фундаментальные последовательности {/„ (х)} и {gn (х)}
называются |
эквивалентными, {fn (х)} ~ {gn (х)\, если существует це |
лое число |
k >; 0 |
и две |
другие по |
следовательности |
{Fn {х)}, |
{Gn (х)} та |
кие, что: |
|
|
|
П |
G«>(х)=8п (*); |
2) на всяком отрезке [а, |3] с (А, В) |
последовательность |
{Fn (х) — Gn (х)} |
равномерно сходится к нулю: |
|
|
Fn (х) —Gn (х) Zt 0. |
Рис. |
44. |
Так, последовательности примеров 2, 3, |
4 эквивалентны друг |
другу. Они эквивалентны также последовательности |
(х)J (при |
мер 1).
О п р е д е л е н и е . Каждый класс эквивалентных фундаменталь |
ных последовательностей определяет обобщенную функцию f (х), |
пред |
ставителем которой является любая из последовательностей |
этого |
класса. Мы будем также говорить, что фундаментальная |
последова |
тельность {/„ (х)} определяет |
обобщенную функцию f (х) |
и писать: |
f(x) = {fn M b |
{g„ (х)} (пример 1) определяет единич |
Так, последовательность |
ную функцию |
|
|
0, х<0,
Следовательно, единичная функция т) (х) является обобщенной функцией.
В силу леммы на стр. 392 и теоремы 1 всякая непрерывная на (А, В) функция также является обобщенной функцией.
Последовательности {g'n (x)\, {fn (x)}, {<р„(л:)}, {ф„ (*)} примеров 1—4 определяют обобщенную функцию б (х) (с особенностью в точке
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х= 0), |
которая называется б-функцией Дирака, Очевидно, б-функция |
6 (х) является четной функцией: |
6 (— х) = 6(х). |
|
|
4. |
|
Линейной комбинацией af + (3q> |
(а и |3 —постоянные) двух обоб |
щенных функций |
f |
(х) и <р (х), |
определяемых фундаментальными по- |
с;едовательностями |
{/„ (х)} |
и {ф„ (•*)}, называется обобщенная функ |
ция |
F (х), |
определяемая |
фундаментальной |
последовательностью |
М ™ (*) + Рфл М Ь |
сумма и разность двух |
обобщенных функций / (х) |
В |
частности, |
и ф (х) есть также обобщенная функция. |
|
|
(т. е. единичной |
Произведением |
обобщенной |
функции х\(х — хй) |
функции; |
на |
непрерывную |
на |
отрезке |
[а, |
Ь] |
функцию ф(х), |
ц (х — х0) у (х), |
будем называть обобщенную функцию, определяемую |
фундаментальной |
последовательностью {gn (x —x0) ф(х)}, где gn (х) — |
