Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

функции примера 1, а

х^Ь ,

(

Ф Ф),

Ф W = ]

ф (*),

а ^ х - ^ Ь,

{ ф (а),

х ^ а .

нейная

комбинация обобщенных

функций

и потому также

является

обобщенной функцией.

5.

Пусть

{е„} —последовательность

положительных чисел, стр

мящихся к нулю.

О п р е д е л е н и е . Последовательность

непрерывных

функций

{6„ (х)}

называется б-последовательностью,

если

эти функции обла­

дают следующими свойствами:

нулю вне

его;

а)

б„ (х) > 0 в интервале

(— е„, е„) и равна

б) 6„ (х) имеет всюду производные всех

порядков;

СО

в) $ bn ( t ) d t = \ .

Приведем пример 6-последовательности. Определим функцию а (х)

следующим образом:

х > О,

а

Эта функция

имеет производные всех порядков. Функция

Рн (х) = « (х + £„)•« (е„ —х)

положительна на

интервале

(— е„, е„), равна нулю вне его и имеет

производные всех порядков.

Пусть

ОО

I I P J =

^

Тогда

S г

а

р” В Л -

1-

-со

У»W =

$ b{*)dt

равномерно ограничена, так

как

0 sg у„ (х)

1,

и на всяком

отрезке

[ а , Р], не содержащем точку

х = 0,

равномерно

сходится

к нулю,

если [а, р]

cz (— со, 0), и к

единице, если [а,

р] с

(0,

оо).

В самом

деле, в первом случае ([а,

р] сд (— со,

0))

найдется

такое я0, что

для всех

п > п0 имеем е„ <

[ р |.

Следовательно, отрезок [ а ,

р] будет

лежать левее всех

интервалов

(— кл, е„),

п > п0.

Поэтому все функ­

ции 6Л (х)

с п >

п0 будут

равны

нулю

на [ а ,

Р]. Отсюда

следует,

что уп (х)

=

0

на

[ а , р]

для

п >

я0.

Во

втором

случае ( [ а , р] сг

а (0, оо))

найдется такое

я„,

что

для

всех

п >

я0

имеем

е„ < а.

Следовательно,

отрезок [ а ,

р) будет лежать правее всех интервалов

(— еп, еп),

п >

я0.

Поэтому для

х е

[ а ,

р]

и п >

я0

х

гп

Таким образом,

мы находимся в условиях применимости теоремы 3,

согласно которой последовательность {уп (х)\ фундаментальна.

А тогда

по теореме

2

последовательность

{6Я (х)}

также

фундаментальна.

Теорема доказана.

Очевидно,

какова

бы ни была

константа С, по­

З а м е ч а н и е .

другу и последовательностям

примеров

2—4 *). Следовательно,

вся­

кая б-последователь'цость {6Л (х)} определяет 6-функцию б (х);

6-по­

следовательность {6„(х — х0)}

определяет

6-функцию 6 (х—х0).

Многомерные 6-последовательности определяются аналогично.

Например,

6-последовательность в трехмерном пространстве опреде­

ляется как

последовательность вида

вида.

Поэтому, по самому определению, 6 (Л4) = 6 (х) • 6 (у) • 6 (г) и

8 (М,

М0) = {6„ (х —х0) бп (у — у0) 6Я (г —г0)} =

= 6 (х — х0) 6 (у — Уо) 6 (г — г„).

*

*

F„(x)= $

<p(t)6n (t — x0)dt

и

Фя (дс) =

$

Ф (лг0) б„ (t — х0) dt.

—00

—00

Очевидно,

F'n (х) = ф (х) 6„ (х — х0),

Ф'п (х) = ф (х0) 8п (х — х0)

для всех

точек

окрестности

О (х0). Для

всякого

в > 0

найдется такое я0 (е),

что

| ф (лг)—ф (*0) ! <

8 для

х е ( х 0- е „ ,

х0+

ея) и п > п 0.

Тогда

для

всякого х е

О (х„) и для

п > п 0

I Fn (х) - Фя (х) \=

$ {ф (0 — ф(*о)} (t — хо) dt

-СО

X

\ S n ( t - x 0)dt-.

$

I ф (0 — ф W

хо+Еп

-СО

дД +е..«

8n (t — x0)dt = e,

$

1ф (0 - ф (* о )1М ^ - * о ) ^ < е

$

т. е.

хь~еп

\Fn (x) — Фя (х) ] <

е.

(1)

Так

как

последовательность

{Ф„(х)}

равномерно

сходится

(Ф„ (х) = ф (х0) ■уп (х — х0), см.

доказательство теоремы 4), то и после­

довательность

{Рп (х)} равномерно сходится

на

всяком

отрезке

[а, р]

с О (х0).

Отсюда и из неравенства (1) следует, что последова­

тельность

{ф (х) 8п (х — х0)} фундаментальна

на

О (х0)

и эквивалентна

последовательности

{ф (х0) 8„ (х — хп)}.

точки х = х0

функции

Произведением

непрерывной в окрестности

Ф (х) на S-функциго 8(х — х0)

будем,

называть

обобщенную

функцию

Ф (х) 6 (х — х0),

определяемую

фундаментальной

последовательностью

6.

Т е о р е м а

5. Среди эквивалентных фундаментальных послед

вательностей, определяющих обобщенную функцию f (х),

имеются фун­

даментальные последовательности дифференцируемых функций

(поли-

номов\).

■

Докажем сначала лемму.

суще­

Л е м м а . Для любой непрерывной на (А, В) функции F (х)

ствует последовательность

полиномов {Рп (х)}, которая равномерно

сходится к F (х) на всяком отрезке [а, р] а

(А, В).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть \А п }—убывающая последователь­

ность чисел, сходящаяся к

А,

{Вп} —возрастающая

последователь­

ность чисел, еходящаяся к

В.

По теореме

Вейерштрасса существует

такой

полином Рп (х),

что

j F (х) — Рп (х) \

< \/п для

всех точек х

~п < е и [а, Р] с [Ап, Вп).

Тогда

по

самому выбору

полиномов

Рп (х)

для всех п > л 0 и для

всех х е

[а,

р] будет выполняться неравенство

\ P n ( x ) - f ( x ) \ < - - < e ,

означающее

равномерную

сходимость

последовательности

{Рп (х)}

к функции F (х) на отрезке

[а, р]. Лемма доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы .

Пусть {/„ (х)} — фундамен­

тальная

последовательность, определяющая

обобщенную

функцию

тальных последовательностей

последовательность полиномов

{Рп (*)},

где рп (х) = Р ^ (х),

определяемая

фундаментальной последовательностью производных

т-го порядка

(х)}. Так, в частности, б-функция 6 (х)

имеет про­

изводные всех

порядков. Например, б' (х) определяется

фундамен­

тальной

последовательностью |б ^(х )|. Производная единичной функ­

ции г|(х)

есть обобщенная

функция, равная 6 (х):

Г)' (х) = 6 (х),

так как

последовательность

примера 1 эквивалентна

последова­