7. Интегралом произведения 6-функции б (х —х0) на произвольн непрерывную функцию ф (х):
Ь
| Ф (х) б (х — х„) dx,
а
мы будем называть предел
ь
Пт ( ф (х) б„ (х —х0) dx, rt^oo Ja
где {б„ (х — х0)} — любая 6-последователыюсть, определяющая 6-функ цию б (х — х0). Покажем, что этот предел существует и что справед лива формула *)
|
|
|
|
Ф (%), |
если |
х0 (= (а, |
Ь), |
О) |
|
Sф (х) б (х— хп) dx = |
О, |
если |
х0 |
ф [а, Ь]. |
|
а |
|
|
|
|
Пусть х0 ф [а, |
Ь]. Тогда найдется такое п0, |
что для |
всех |
п > л 0 |
имеем |
< min { | х0 — а \ , |
\х0 — Ь \ } . |
Следовательно, |
для |
п > п0 |
имеем бп (х — хо) = |
0 на [а, |
Ь]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому ^ ф (х) Ьп (х—x0)dx = 0. Следовательно, |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ф (х) б (х — х0) dx = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
х0 е ( в , |
Ь). |
Тогда найдется |
такое |
п0, что |
для |
п > п0 |
интер |
валы |
(х0 — еп, |
х0 + |
е„) будут целиком лежать на |
отрезке |
[а, Ь\. Сле |
довательно, для таких п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
х0+гп |
|
|
|
|
|
|
|
|
(х) 6п (х — х0) dx = |
^ |
ф(х) 8п (х — x0)dx. |
|
|
|
а |
|
|
х° ~ еп |
|
|
|
|
|
|
Применим к последнему интегралу теорему о среднем значении. Получим
*о + еп |
хо + гп |
|
$ ф (х) Ьп (х — х0) dx — ц>( |л) |
$ |
&n (xr-x0)dx = q>(tn), |
где 1п е [ х 0 — еп, хй-\-гп]. При |
п —>со |
имеем \ п —' хо- Поэтому, |
*) Можно полагать, что функции б„ (х —х0), составляющие б-после- довательность, четны относительно х = х0. Тогда для х0 = а или х0 = Ь
(доказать!).
учитывая непрерывность функция ф (х) на [а, Ь], получим
|
ь |
|
|
|
|
|
йх = Нш ф (£„) = ф (х0). |
|
|
|
Нш $ ф (х) 8„ (х — |
|
|
|
Утверждение доказано. В частности, |
для |
ф (х) = 1 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
х0 е [а, |
Ь\, |
|
|
|
|
|
§ 8 ( x - x 0) d x = { ’ Х° |
Ф [а, Ц- |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
v u i |
|
|
|
|
Совершенно аналогично доказывается формула |
|
|
|
|
|
$ф(М)8(Л(, |
M0)diM = |
Ф (М0), |
если |
e D , |
|
(*) |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
О, |
|
если |
|
Мо Ф D, |
|
для всякой непрерывной в D функции ф (М ). |
|
|
|
{f„}, |
З а м е ч а н и е . |
Если |
обратиться |
к |
последовательностям |
{фп}, {г|)„} примеров 2—4, определяющим |
8-функцию б(х), то |
уви |
дим, что |
каждая |
из них |
сходится |
к н у л ю |
в любой точке x j t O |
и к бесконечности в точке х = |
0. Имея это в виду, |
можно написать, что |
|
|
|
8 |
|
|
|
О , |
х |
О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со, |
х = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом |
6 (х) в точке |
х = |
0 |
обращается |
в бесконечность |
так, |
что |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ б (х) dx = 1 для любого а > |
0. |
Часто выражение (*) кладут в основу |
— а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определения б-функций как функционала *). |
|
|
|
|
8. |
Функцию ш (х) |
будем |
называть |
финитной, если она тожде |
ственно равна нулю вне некоторого интервала (а, Ь). Финитную |
функцию будем называть вполне гладкой, |
если она |
всюду непрерывна |
и имеет всюду непрерывные производные всех порядков. |
|
|
Определим понятие |
с в е р т к и |
двух |
функций, имеющее много |
численные |
применения. |
Пусть |
f |
(х) — непрерывная или |
локально- |
интегрируемая (т. е. интегрируемая на всяком конечном промежутке) |
функция. |
Тогда сверткой f (х) |
с ф (х) называют функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°о |
f{x — t) ф (/) dt. |
|
|
|
|
|
/ (х) * ф (х) = |
|
jj |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
— |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
f (х) * ф (х)=ф (х) * f (х )= |
|
f (t) ф (х — t ) d t . |
|
(3) |
|
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку ф (х) —финитная функция, то свертку можно также запи |
сать в виде интеграла |
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f*(p = § f( x — t)q>(t)d( |
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*) См. |
Г е л ь ф а н д |
И. |
М. |
и Ш и л о в |
Г. Е., Обобщенные функ |
ции и действия над ними, Физматгиз, |
|
1959. |
|
|
|
|
по промежутку, вне которого <р (х) = 0. Отметим простейшие свойства свертки.
С в о й с т в о 1. |
Если функция ф(х) имеет |
всюду |
непрерывные |
производные до k-го порядка, то и свертка |
f * ф имеет |
всюду произ |
водные до k-го порядка и |
|
|
|
|
[f (х) * ф Wl = |
[f * ф](Р> = f (х) * ф'Р) (х) |
(р = |
1,2........k). |
(5) |
Это прямо следует из формулы (3) и финитности функции ф(х). Если функция f (х) имеет непрерывные всюду производные до k-го порядка, а ф (х) интегрируема и финитна, то
|
|
|
(f * rp)<P> = f<P>(jc) • ф fjc) |
|
(р = |
1,2........ k). |
(6) |
|
С в о й с т в о |
2. |
Если |
последовательность |
непрерывных функций |
{fn(x)\ |
равномерно |
сходится |
на |
отрезке а0 — Ь ^ х ^ Ь |
0 — а к функ |
ции f (х), то для всякой непрерывной |
финитной функции ф (х), тож |
дественно |
равной |
нулю вне |
интервала |
(а, |
|
Ь), |
последовательность |
{fn (х) * Ф (х)} |
равномерно |
сходится |
на |
отрезке |
[а0, |
Ь0] к функции |
f(x)*<p{x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справедливость этого непосредственно следует из формулы (4). |
|
Обозначим через (А', |
В ’) |
интервал, |
состоящий из таких точек х', |
что отрезок |
[х’ — Ь, |
х' — a\cz{A , |
В). |
|
|
|
|
{fn (x)\ |
фундаментальна |
|
С в о й с т в о |
3. |
Если последовательность |
|
на (А, |
В), |
а ф {х) — финитная и непрерывная |
функция |
(ф(х) = 0 вне |
(а, |
b)), |
то |
последовательность |
{fn (х) * ср (х)} |
фундаментальна на |
(А \ |
В'). |
|
|
|
|
Пусть |
[а, |
[5] с |
(А', |
|
В'), |
Тогда отрезок |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
[а — Ь, |
р —а] принадлежит (Л, В). |
Так |
как |
|
\fn (х)} —фундаменталь |
ная последовательность, то существует |
целое |
число |
|
и другая |
последовательность {Fn (х)} такие, |
|
что F^ |
(x )= fn (x) и {Е„(л:)} равно |
мерно сходится на отрезке[а —Ь, р —а]. Вычислим /л (х)*ф(х). Имеем
fn (x)*<p(x) = F<£) (х)*ср(х).
Применяя формулу (6), получим |
|
fn (х) * ф (х) = [Fn (х) * ф (*)]'*’• |
(?) |
По свойству 2 последовательность {Fn (х) * ф (х)} равномерно сходится
на отрезке [а, |
[5]. Отсюда |
и из соотношения |
(7) |
следует, |
что после |
довательность |
{f„ (х) * ф (х)} фундаментальна. |
|
функция, |
то фор |
З а м е ч а н и е . |
Если |
ф (я) — вполне гладкая |
мулу (7) можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn (*) * ф (х) = F„ (х) * ф 'й' (х). |
|
|
|
(8) |
Поскольку |
последовательность |
{Fn (х)} равномерно |
сходится |
на |
всяком отрезке |
[а, |
(3] с (А , В), то |
по свойству 2 |
последовательность |
{Fn (х) * ф(*1(х)} |
равномерно сходится на всяком отрезке [а + |
Ь, Р + а ], |
принадлежащем |
{А В ' ) . |
Таким образом, справедливо |
|
|
|
С в о й с т в о |
4. |
Если последовательность {/„(*)} фундаментальна |
на (А, В), а ф (х)— вполне гладкая финитная |
функция (ф (х )= 0 |
вне |
(а, Ь)), то последовательность |
\fn (x)* ф(х)}. |
равномерно сходится |
на |
всяком отрезке |
[а', |
Р'] с: |
(Л', |
В'). |
|
|
|
|
|
|
Теперь естественно принять следующее |
обобщенной |
функции |
О п р е д е л е н и е . |
Сверткой произвольной |
f(x), определяемой фундаментальной последовательностью |
\fn (x)}, |
с финитной непрерывной функцией <р (х) будем |
называть обобщенную |
функцию f (х) * <р (х), |
определяемую фундаментальной последователь |
ностью {fn (х) * ф (х)}. |
|
|
|
Очевидно, |
f (х) * <p(x)=q>(x) *1(х). |
|
|
|
|
|
Так же определяется свертка обобщенной функции f (х) с произ вольной финитной интегрируемой функцией ф (х). При этом справед лива формула для производных (f * ф)'Р' = / (Р> * ф, где фР> — произ водная р-го порядка обобщенной функции. В частности, определена свертка 6-функции и произвольной финитной всюду непрерывной функции ф (х):
6 (х) * ф (х) = ф (х) * 6 (х).
С в о й с т в о 5. Для финитной и всюду непрерывной функции
ф(х) справедливо тождество
Ф{х) * 6 (х) = ф (х).
Предварительно докажем лемму. |
|
|
|
|
|
|
|
Л е м м а . |
Пусть {8„(л:)} |
есть |
б-последовательность, а ср(х) — не |
прерывная на (А, В) функция. |
Тогда последовательность {ф (л;) * 6„ (лг)} |
сходится к ф (х) равномерно на всяком отрезке [а, |
р] cr (А, |
В). |
О |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть [а, |
Р] cr |
(А, В). |
Для любого е > |
найдется такое я0 (е), что ПРИ |
п > |
по |
Для |
всех х |
из [а, р] |
и всех |
t |
из (—ел, е„) |
выполняется -неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
| ф (х — t) — ф {х) | < в. |
|
|
|
|
Оценим разность ф (х) * 6п (х) — ф (х): |
|
|
|
|
|
|
|
| ф( х ) * 6„ ( х ) - ф ( х )| = j |
ф (х — t) 6n (t) dt — ф (л:) |
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
$ ф (x — t)6n (t) dt— |
$ |
ф (х) Ьп (t) dt |
|
|
|
—оо |
|
|
|
— со |
|
|
|
|
|
К \<f(x — t) — y ( x ) \ S n (t)d t= |
ел |
I ф ( х — 0 —ф ( х ) Ь п (0 dt. |
$ |
Для указанных выше я > я 0(е) и любых х е |
[а, |
Р] последний инте |
грал меньше, |
чем |
Е« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
^ |
bn (t)dt = &. |
|
|
|
|
|
Таким образом, для я > я 0(е) и * е [ а , |
Р] |
|
|
|
|
|
I ф (х) * $п (х) — ф (■?) | < |
в. |
|
|
|
Лемма доказана. |
с в о й с т в а |
|
5. |
Поскольку |
функции |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
ф (х) * Ь„ (х) |
непрерывны на |
(А, В) |
и |
по |
лемме |
последовательность |
{ф (х) * б„ (л:)} |
равномерно сходится к функции |
ф (л:) на всяком от |
резке |
[а, р] а |
(А , В), |
то по теореме |
1 она |
фундаментальна и опре |
деляет |
обобщенную |
функцию, |
равную ф (х). |
|
С |
другой |
сто |
роны, по определению свертки |
фундаментальная |
последовательность |
{ф (х) * бп (х)} |
определяет свертку |
ф (х )* 6 (л:). Поэтому |
|
|
|
Кроме того, |
|
|
Ф (х) * б (дс) == ф (х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (х) = |
Нш [ф (х) * Ьп (х)] = |
|
|
СО |
ф (х — /) 6п (t) dt = |
|
|
|
lim |
f |
|
|
|
|
п - + ОО |
|
|
|
|
СО |
_ оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с о |
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
= |
^ |
<f(x — t)b(t)dt = |
^ |
If (t) &(x — i) dt. |
|
|
|
|
|
— CO |
|
|
|
— CO |
|
|
|
Мы при этом воспользовались |
определением |
интеграла |
от произведе |
ния непрерывной функции на 6-функцию. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, свертка 6-функции с произвольной непрерывной |
функцией ф (х) |
может быть записана в виде интегралов: |
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
Ф (дг) * 6 (х) = |
^ |
ф (х — |
t ) б (t) dt — ^ |
ф ( t ) b(x —t ) |
d t . |
|
|
|
|
— СО |
|
|
|
— со |
|
|
|
|
|
С в о й с т в о 6. |
Свертка |
произвольной обобщенной функции |
f (х) |
с вполне гладкой функцией ф (дг) имеет |
непрерывные |
производные всех |
порядков. |
|
|
|
Пусть |
обобщенная функция |
f (х) |
опре |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
деляется фундаментальной последовательностью {f„ (лг)}. По свойству 4
|
|
|
|
|
|
последовательность |
{/„ (х) * ф (х)} равномерно |
сходится |
на |
всяком |
отрезке [а ', (У ]с (Л ', В') |
к непрерывной функции. Из формулы (8) |
и свойства 4 следует, что |
последовательности |
{(/я*ф )'''} |
из |
произ |
водных i-го порядка (t = l, |
2, ...) также равномерно сходятся к непре |
рывным функциям. |
Тогда по теореме о почленном дифференцировании |
последовательностей *) отсюда и следует свойство 6.
Можно определить свертку произвольной обобщенной функции f(x) и 6-функции как обобщенную функцию f (дг) * 6 (дг), определяемую фундаментальной последовательностью
{/(*) * 6,г (*)},
Где {6„ (дг)}—произвольная 6-последовательность. При этом справед лива формула
f(x )* b (x )= f(x ) .
Приведем сводку наиболее употребительных формул и соотношений, содержащих 6-функцию. Доказательство многих из них читатель легко проведет самостоятельно или найдет в специальной литературе **).
*) См. Ф и х т е н г о л ь ц |
Г. М., |
Основы математического ана |
лиза, т. II, гл. XVI, изд. 5-е, «Наука», 1968. |
Обобщенные функции |
**) Г е л ь ф а н д И. М. и |
Ш и л о в |
Г. Е., |
и действия над ними, Физматгиз, изд. 2-е, 1959; |
М и н у с и н с к и й |
Я., |
С и к о р с к и й Р., Элементарная теория обобщенных функций, вып. |
II, |
ИЛ, 1963. |
|
|
|
|
