Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1.

б (— х) = 6 (X).

 

 

 

2.

б (ах)

б (х).

 

 

 

3.

б (ф (х)) = ^

’ если ^

имеет только простые нули х„.

 

 

 

 

П

 

 

 

4.

хб (х) = 0,

ф (х) 6 (х) = ф (0) б (х), ip(a 1 х) б (х) = ф (и) 6 (х).

 

00

 

 

 

 

 

5.

j ф (х) б (х —х0) dx = ф (х0).

 

 

 

*

00

 

 

 

 

 

 

со

б (х —t) б (s —t)dt = 6(x — s).

 

 

6.

^

 

 

7.

6'( * ) = ^ S ( * ) .

 

 

 

8.

^

ф (x) 6' (x—x0) dx = — ф' (x0),

если ф '(x)

непрерывна при

x = x0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

6' (x —t) 6 (s —t) dt = 6' (x —s).

 

9.

^

 

 

— CO

 

 

 

 

 

10- £

M*) =

~

6 (x).

 

 

11.

fOO

Ф (x) q~h 6 (x — s) dx = (—1)л ф'«’ (s), если

cp,n>(x) непре-

\

—00

рывна при * = s.

со

12. $ $ $ ф (М) б (М, м 0) dxM = cp (М0).

—СО

13. Фурье-преобразование б-функции б(х —х0) имеет вид

00

— со

'едьно,

 

с о

оо

 

>-77=

$

J

^

г

— СО

— со

 

399

Для

трехмерного случая

 

 

 

 

 

 

 

6 ( М ,

М 0 ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

ОО

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

1 \ 3

^

^

^ е—*[£ (х—дг0)+ П(г/—№)+ £(2-г0)1 дъ ^ ^ _

 

2я!

— СО — со — со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2l

jj

e-< 6( * - * .) d|.^ L

^

е- И 1(у —Уо) dT1 х

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*-

^ e- lliz ~

Zo) с11 =

Ь(х — хй)-Ь (у — уъ) ■б(г —г0).

 

 

Х 2я

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 (М, Л40) = б (х — х0) 6 (у — у0) 8 (г — г0)

 

 

в декартовых

координатах.

 

 

 

 

 

 

 

14. 6 (М,

М0) =

у б (г — г0) 6 (ф — ф0)

в

полярных

координатах

на плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. 6 (М , Л40) =

б (г — r0)

б (0 — 60) б (ф—фр)

в сферических

координатах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. б (М ,

М 0) = ^ - ^ — ^

^

^

 

— —

в

произвольных

 

 

 

 

 

“1 ■«2 ' “з

 

(qlt

q2, <73)-

Здесь ht , h.2,

ортогональных

криволинейных

координатах

h3 — коэффициенты Ламэ.

 

 

 

 

 

 

 

Встречаются также обобщенные функции 8+ (д:) и б_ (х), которые мы определим формально с помощью представления

оо 0 оо

Очевидно, 8+ (х) -j-6_ (х) = б (л:) и 6+ (— дг) = 6 _ (ж).

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

а)

«1т,—0,5 -|-и» = 0

= ху,

 

т]— ~1'.

 

 

б) А и — и^ — и-ц — О

(1= у2,

ч=х*у, в)

илл= о ( i = ~ ,

л =

1/);

г)

 

 

 

 

 

=

= 0

в

области

у <

0

(£ = * +

 

2 |/г— у,

г\ = х — 2 У — у);

Аи = 0

в области

( /> 0

 

{%= х,

г\ — 2 ] / у ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

а) упл—2Dg= 0,

 

« = [>ei4+vn,

р = 1,1875,

v = 0,25

(%— y — x,

T) =

«/+

*);

б) у|п + ^

и==0’

M=

t)-e^+vri>

ju.=

—- 0,25,

v = —^

il = y — 3jc,

j]= y — xy,

в)

Я|$ + алл— 1,5d= 0,

 

u = v - e ~ ^

 

(5 =

= 2y—x,

 

i)= x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава

II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

a2uxx -\-g = utt',

ы (*. 0) = 0,

u/(x,

0) =

ро;

 

и (0, t) = ux (l,t) — 0.

 

2.

a2u xx— $ut = utt',

u(x,

0) =

cp(x),

ut (x,

0) = фх (д:);

и (0,

t) ~

= u(l,

t) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-

^ ( Е ■S ■uxx) = pSuti;

 

 

u(x,

0) =

ф(*),

 

ut (x,

0) =

фх (лс);

«iux (0, 0 —Pi«(0, 0 = 0, a.2ux (l,

 

t) +

$.2u(l,

0 = 0.

 

 

 

 

4-

gx W —x)ux] =

- u tt\

 

u(x,

 

0) =

<p(x),

 

ut {x,

0) =

фг (дс);

и (0,

0

=

0,

! И (/,

О I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

g ^ [ ( / —х) и*Н-со2и — и.ц,

 

дополнительные

условия

задачи 4.

 

6.

(а2 ^х [(12 — х2) их ] — риц, дополнительные

условия задачи

4.

 

7.

a2bx x = btf,

в ( х ,

0) = ф(х),

6, (*,

0) = фх(дс);

6(0, 0 = 6(0 0 = °-

 

8.

a2uxx+ ~ I { t ) = utt, и(х,

0) =

 

и/(х„

0) = 0;

и (0, 0 = «(0

0 =

= 0, с—скорость света.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*)

Большая

часть

задач

заимствована

 

из

[2]

и [13],

(см. Лите­

ратуру

в конце

книги).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14 В. Я. Арсенин

401

9. „

( « -.

О

Ul

l)’

,

< :

"-

( U^ x x ( Ui)l l

Г

C 9);

 

 

l i/2

(x,

t),

X >

0 ,

a '

и (x, 0) =

Ф (x),

uf (x,

0) = ф! (jc);

a] =

E-

(г = 1, 2); Uj (0,

==Й2 (0> t)t

ElUlx{0, ^) = £^2^2v(^» O'

0," ф<' к

,( и1(*, О, -К< Хп,

 

 

1}~ { и , ( х .

 

I),

х > х „

 

 

 

 

 

 

 

M

. ! J ,

■

 

 

 

 

 

 

 

и (х, 0) = q>(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Щ(х, 0)=ср1 (х);

щ(0,

0 = 0,

и2 (1, 0 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

Ui(x0, t) = u2 (x0,

t),

T [u2x(x0,

t) — ul x (x0,

t)} = m0uu (x0, t).

 

11.

Tuxx + F ( t) 8 ( x — v0t) = putt;

u(x,

0) = ut (x,

0)==0.

 

ш|'х)

 

12. vx -\-L ■i(-{-R ■i =

0,

ix -\-C ■Vt-\-Gv=0;

 

о(лг,

0) =

‘(*, 0)= «Pi(лг).

 

 

гд.+ С ' 11^ = 0;

 

v (x,

0) =

ф(*),

 

i (x,

 

 

4 U ’

 

13.

yv-f-L -(, = 0,

 

 

0) — m.txy

— i>(0,

t)=xRoi(0,

0 ,

cot)/!/,

t) = i(l,

t).

 

 

 

 

 

У

’

 

™ W>

 

14.

vx + L • // =

0, .

ix + Cvt = 0;

 

v (x,0) = y(x),

i(x ,

0) =

®, M-

-t.(0,

1 ) = Ы 0(0, 0,

v(t,

t ) - E ( t ) = L *

0(0

t).

 

 

}

, .

4 l U '

 

15.

 

.

 

 

‘h

* <

 

0

’

 

;

\

i2 lx,

i f

0

(rOO+

O* (0)/ +

' 0; =

0 .

* > < > .

 

C* (г,.0^ =

i) ,

л > 0 -

 

0,

('fc).v+

0,

 

t. (л:,

0 )= ф (х )’

*'(*,

0)=rf1 (x),

0 (0,

0 = 0 (0. 0 ,

 

% ( 0, 0 —^ ( 0,

o =

--

0 (0, o

( k = \,

2). Для силы тока i (я, /):

 

 

 

 

 

 

 

 

С°

 

 

 

 

(ik)xx==^kLkUk)ti + CflRi!iil;

0 (0, 0 =

0 (0,

t);

 

 

 

 

~£~ O.v (0,

0 - - ^

 

0 .v(o,

0 = - ^ -

ОЮ,

0 ;

it,(x,

0) = <p(x),

 

 

 

 

 

iu(x,

 

 

 

L/t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kiix

16.

k ^ u xx — h[u — ф (0 ] = cput;

 

и (x,

0)= /(* );

'

и (0, t) =

ft (t),

/) — Cf it'j.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

k ■uxx — hu + Q • / 2= cpu/f U (x, 0 )= / (*);

 

(О, 0 =

С1мг<(0, 0,

kux (l, t) = C2tit(l, 0 ,

где

(0 , Ca —теплоемкости

клемм.

 

 

 

18.Д (0>ид) ~ ^ x (v- u) = cut. dx

,9‘

a)

 

P « = « o ;

б) gx (D-ux)+fiu=:cut.

20.

U ( x , 0 =

( M * . 0 ,

* < o ,

„, %

\

иг {х, 0,

л: > О,

a‘" (“»)**—

(‘ = 0 2);

 

 

«(*, °) = ф(-«);

«i(o, 0 = «г(о,

0;

a) k2uZx (0,

0

^iuix (0,

0 =

0;

6) k2u2x(0,

0 —£iui.v (о, о :

: Q t o

( 0 ^ t).

 

 

 

 

 

 

21‘

§х (ких>="сРи‘> u (x> 0) = 0;

U(vt, 0 = ф (0 -

402

Смотрите также файлы