ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 112
Скачиваний: 1
функцией автокорреляции сигнала х (/)*'. Функция автокорреляции будет определена в гл. 7, а в гл. 8 даны некоторые соотношения между функциями автокорреляции случайных процессов и сечениями функ ции неопределенности вдоль оси времени. Для вещественных сигналов легко найти преобразование Фурье от (2.40):
оо |
|
* * (/)= j гя (т)е-/2"/М т = ! * ( /)Iя. |
(2.41) |
Мы видим, что сигналы с одной и той же функцией автокорреля ции имеют преобразования Фурье, которые могут отличаться произ вольным фазовым множителем (см. упражнение 1.5).
Упражнение 2.13. Показать, что функция автокорреляции произвольно го сигнала с ограниченной энергией есть непрерывная функция т. Для действи
тельных сигналов |
с ограниченной |
энергией показать, что гх (—т) = |
гх (т) и |
|||
и гх (т) < |
гх (0). |
|
|
и изобразить графически функции |
автокор |
|
Упражнение 2.14. Определить |
||||||
реляции для |
следующих |
функций: |
|
|
||
а) х (0 = |
1, 0 < / < 7 \ |
|
|
|||
| |
за пределами этого интервала; |
|
||||
|
|
0 |
|
|||
б) х (t) — sin 2nWt |
— оо < / < о о ; |
|
||||
|
|
2nWt |
|
|
|
|
в) х |
(0 |
e ~ at, |
0 , |
|
|
|
0 , |
* < 0 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
Указание: |
может оказаться полезным (2.41). |
|
||||
Представление элементов векторного пространства со скалярным произведением
Наиболее важное свойство пространства сигналов, в котором оп ределено скалярное произведение, состоит в том, что имеется прямая связь между сигналом и его представлением. Предположим, что М — произвольное n-мерное пространство, натянутое на базис {иг; i = = 1, 2, ..., п}, тогда для х £ М^имеем
x = |
2 |
“ i un |
(2-42) |
|
г = 1 |
|
|
*> Сечением функции неопределенности вдоль оси времени (автокорреля ционной функцией сигнала) часто называют комплексную функцию
ОО
г*(т)= J х (t) х* (/ + т) dx,
а не ее вещественную часть, как в (2.40). Тогда соотношение (2.41) справедливо для любых сигналов, не только вещественных. —Прим. ред.
41
Умножим скалярно левую и правую части на иу
П
(х, и,) = 2 (и ,и ^а,; /= 1 , 2 ,..., п. |
(2.43) |
i= 1 |
|
Мы получили систему линейных скалярных уравнений, и их решение относительно вектор-строки а = {а^аа, а„) дает представление х в пространстве Сп относительно базиса {и,}. Для удобства введем но вые базисные векторы { v j, попарно ортогональные к {иД, так что
|
|
(U|, V;) = |
6fJ, i, |
/= 1 , |
2 ,..., n, |
|
(2.44) |
|||
где Ьц — символ Кронеккера, |
Ьи = |
1 |
для |
i = |
/ и би = 0 для |
i Ф j. |
||||
Теперь из (2.42) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, |
Vj )= |
2 a i (ui> Vj)=><*j = (x. vi); |
/ =1 . 2....... |
n. |
(2.45) |
|||||
|
|
i = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Базис, |
удовлетворяющий |
(2.44), |
называется взаимным |
базисом, |
||||||
и мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = 2 |
(X, |
v,) иг= |
2 |
(х, |
Иг)у г |
|
(2.46) |
|
|
|
1—1 |
|
|
|
i ~ 1 |
|
|
|
|
для любого х 6 М и любой пары взаимных базисов для М.
Другой удобный способ состоит в использовании в качестве ба зиса вМ ортонормальной системы. Система векторов {иг; г = 1,2, ... п} называется ортонормальной, если взаимным базисом для нее является она сама, т. е. если векторы взаимно ортогональны, и норма их равна единице:
(щ, Uj) = 6t]. |
(2.47) |
Тогда для любого х (М имеем |
|
П |
|
х = 2 ( х , и;)цг. |
(2.48) |
i = 1 |
|
Используя ортонормальный базис, мы не только получаем взаимно однозначное соответствие между векторами в М и их представлением
вСп, но и равенство скалярных произведений в обоих пространствах.
пп
Для х =- 2 а гиг и У = 2 P /Ui имеем i~ 1 i= 1
(X, |
у) = ( 2 |
агиг, |
2 р ,и ,) = |
|
||
|
|
\»= 1 |
|
/=1 |
1 |
|
п |
п |
|
|
П |
|
|
= 2 2 |
|
«iP;(uo |
uj)= |
2 |
ajp? = (сс, Р). |
(2.49) |
i=l/=l |
|
|
i'=l |
|
|
|
Представляют интерес способы построения ортонормальных ба зисов. Одним из них, наиболее предпочтительным с точки зрения вы числений, является способ ортогонализации Грама — Шмидта,
удобный в силу своего итеративного характера. Если задана система п
42
линейно независимых векторов в М, {v;; i — 1, 2, п), то система ортонормальных векторов {иг} получается путем нормализации век торов {w;}, определяемых следующей схемой:
w1 = v1>
|
w 2 = V 2 — (V 2, U j ) ^ , |
|
|
||
|
w3 = v3 —(v3, |
U2)u2 —(Vg, щ)щ, |
(2.50a) |
||
|
|
|
|
|
|
|
i—l |
|
|
|
|
|
Wi=V;— 2 |
(Vj, |
ufc)uft> |
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
где |
11; |
l ■ |
2,..., |
n. |
(2.506) |
|
W; |
|
|
|
|
|
Заметим, что при перестановке |
векторов |
{ v j метод |
Грама — |
|
Шмидта приводит к различным ортонормальным системам. |
|
||||
Упражнение 2.15. Показать, что процедура Грама—Шмидта (2.50) при водит к получению ортонормальной системы.
Указание. Доказать по индукции, что если на г'-м шаге система {щ, и2, ...
Uj> — ортонормальна, то вектор Wj-i-! ортогонален каждому из этих векторов. Кроме того, доказать соотношение
1—1
W; •== ViP- ■2 1(уь “*> I2 *=i
Упражнение 2.16. Переход от одного базиса к другому.
Пусть |
вектор х £ М имеет представление |
а £ Сп относительно базиса {иц |
||||
i = 1, |
2, .... п}. Пусть {Wj; i = |
1, |
2, ..., |
п} |
— другой базис в М и пусть вектор |
|
х имеет в нем представление Р £ |
Сп, т. |
е. |
|
|
||
|
|
п |
|
|
п |
|
|
х = |
2 |
a i “ г = |
2 |
f5i wi • |
|
|
|
/= I |
г |
= i |
||
Показать, что строка Р получается из строки а умножением на матрицу перехода Г:
п |
|
Р= Га Р,- = 2 Vijaf ’ 1 = 1 .2 ....... |
п, |
/= 1
где элементы квадратной матрицы Г порядка я 7г;-=(иу-, z;), a {z;; 1=1, 2,..., и}— взаимный базис для {w;-; / = 1, 2, ..., я).
п
Упражнение 2.17. Найти представление Р£СЛ вектора х = 2 a i ui в базисе
/= 1
{wf; 1 = 1, 2, .... я}, где
w1 = u1; w2= u 2+ u 1;
w;= 2 ur
/ = i
для i 2.
43
2.6. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
Мы ввели различные виды линейных пространств' сигналов. Те перь рассмотрим отображение этих пространств в числовые величины. Такие отображения представляют большой практический интерес в силу их соответствия физически измеряемым параметрам сигналов. Для представления и идентификации сигналов особенно важны линей ные измерения. По сути дела главной для нас причиной введения линейных пространств сигналов и наделения их определенными гео метрическими свойствами было то, что при этом достигается замечатель ное соответствие между результатами различных линейных измерений, проводимых над сигналами, и самими сигналами. Ниже обсуждаются различные аспекты этого вопроса.
Отображение комплексного линейного пространства ЗС в множе
ство комплексных скаляров f : SC |
С, обладающее следующим свой |
|
ством: |
|
|
f («х 4- ру) = |
аf (х) + pf (у), |
(2.51) |
для любых а, |3 в С и любых х и у 6 «2?, называется линейным функцио
налом. Если ЗС — пространство со |
скалярным |
произведением, то из |
свойства б) (2.28) следует, что |
|
|
Ы х ) = |
(х, ?) |
(2.52) |
есть линейный функционал*’. Кроме того, если норма || уЦ ограничена, т. е. || ф || < К, то /ф — непрерывный линейный функционал. Это прямо следует из неравенства Шварца: для любого х„ 6.3С
1М Х)—/ф(х0)| = |(х —х0, 9) | < | | х —х01|||ср||</С|]х—х0||. (2.53)
Тот же результат был получен в примере (2.7) для более общего случая. Важно, что для полного, т. е. гильбертова пространства ЗС любой непрерывный линейный функционал можно трактовать как скалярное произведение (2.52), причем каждому непрерывному линейному функ
ционалу соответствует единственный |
вектор 6 <2?- Доказательство |
этого утверждения имеется во многих |
курсах функционального ана |
лиза [3, 4]. Существенным моментом доказательства является установ ление того факта, что множество векторов, которые отображаются в нуль линейным функционалом, есть линейное подпространство про
странства ЗС. Обозначим это подпространство для оператора / |
через |
|||
Mf, т. е. Mf = {х; |
f (х) = |
0}. Возьмем ненулевой вектор х0, ортого |
||
нальный к Mf: |
|
|
|
|
(у, |
х0) = 0 |
для любого у 6 Mf. |
(2.54) |
|
Если такого вектора х0 не существует, то мы заключаем, что / |
= 0. |
|||
В противном случае / |
(х0) Ф 0, и для любого х 6<2? вектор |
|
||
|
|
у = |
f (х) х0 — / (х0)х |
(2.55) |
*> Обоснованность |
написания f как векторной величины вскоре |
станет |
||
очевидной. |
|
|
|
|
44
принадлежит |
Mf, так как |
/ (у) = / (х) f (х0) — / (х0) f |
(х) = 0. |
||
Умножив скалярно (2.55) на х0 и учитывая (2.54), найдем |
|
||||
|
|
г м |
|
х0) = (х, ф ). |
(2.56) |
|
U(хо)]*„ |
(Хо, Хо) |
|
||
где ф |
|
|
|
||
-------- |
Aq |
|
|
|
|
|
(*0, Хо) |
|
|
|
|
Пример такого построения линейного функционала в R2 показан |
|||||
на рис. |
2.5. |
|
|
|
|
Мы рассмотрим более глубоко соответствие между линейными |
|||||
функционалами и векторами, |
заметив, что множество линейных функ- |
||||
Рис. 2.5. Линейный функционал f в R2.
ционалов в линейном пространстве S0 само образует линейное про странство. Векторное сложение и умножение на скаляр определяются для функционалов условием:
/ = a/i + 13/2 => / (х) = oc/i(x) + Р/2 (х) Для всех х £30. (2.57)
Это пространство можно нормировать, если ввести следующие опре деления нормы:
llfl!= sup{|f(x)j-; |х ||< 1 , х££0} |
(2.58) |
или, что эквивалентно,
II Л1 = inf {К\ |/(х)[</б||х|[, хб 30}. |
(2.59) |
Функционал с конечной нормой называется ограниченным. (Заметим, что при этом |/ (х) | не обязательно ограничено.) Ограниченный линей ный функционал непрерывен, так как |/ (х) — f (х0) | = / (х — х0) <
^ 11/11 IIх — хо II Для любого х0 б SO. Непрерывность в точке х0 означает непрерывность функционала, так как ||/|| от х0 не зависит. Обратно, непрерывный линейный функционал ограничен, так как из непрерыв ности в начале координат следует
1|хЦ <6=Н /(х)|<е=Н /(у)| < - у
45