Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

где и (s) есть непрерывное представление х (t), аналогичное а г в (3.2). Функция и (s) — это функция «плотности», характеризующая рас­ пределение х (t) относительно ср (t, s) на различных участках области 5. Применяя обычную для интегральных уравнений терминологию, мы говорим, что ср (/, s) есть базисное ядро интегрального преобразования, используемого для представления сигнала. Продолжая аналогию, попытаемся представить и (s) для каждого значения s как линейный функционал от х. Тогда (3.7) принимает вид

где функция 0 (s, t) называется сопряженным базисным ядром. Если сопряженный базис существует, то соотношения (4.1а) и (4.16), рас­ сматриваемые совместно, есть пара преобразований.

Мы не требуем, чтобы ф (/, s) и 0 (s, t) были функциями с интегрируемым квадратом. Именно в этом вопросе аналогия нару­ шается. Как будет показано, необходимо расширить наши представ­ ления о функциональном пространстве, если мы хотим включить в него базисные и сопряженные базисные ядра. Это верно даже тогда, когда класс рассматриваемых сигналов ограничен L2 (Т). Расширяя про­ странство, мы постараемся, однако, сохранить форму линейного функ­ ционала в виде скалярного произведения, как это было определено для

L2 (Т).

Подставив (4.16) в (4.1а) и изменив порядок интегрирования, получим условие, которому должны удовлетворять сопряженные ядра:

х (t) = § § х (т) 0 (s, г) ф(t, s)dxds= § / (t, г) х (г) dx = f/ (х), (4.2а)

Рассматривая (4.2a) как линейный функционал от х при фиксирован­ ном t, мы видим, что это есть функционал выборки, обсуждавшийся в связи с (2.63). Там мы отмечали, что такой функционал не ограничен (или не непрерывен); следовательно, нельзя ожидать, что в L2 (Т) найдется функция (от т), удовлетворяющая условию (4.2а) при всех х. Больше того, кет ни одной функции в обычном смысле слова, удовле­ творяющей (4.2а) при произвольном х. Мы преодолеем это затруднение, если будем понимать скалярное произведение, представляющее функ­ ционал /у, лишь как символическую запись. На такой трактовке осно­ ваны современные теории распределений и обобщенных функций [3—6], которые строго определяют рамкщ, нужного нам расширенного про­ странства.

Итак, символически запишем

71

где б (t) — обобщенная функция, называемая 8-функцией Дирака. Несмотря на некоторую нестрогость, физическая интерпретация б-функции как идеальной импульсной реакции не нуждается в защите и давно используется инженерами и физиками. Алгебраические опе­

Будем рассматривать соотношение (4.4) как определение произ­ водной от обобщенной функции. Применяя интегрирование по частям, можно показать, что это определение согласуется с определением для

это свойство б-функции и ее производных часто будет использоваться в последующих главах.

Упражнение 4.1. Для любой действительной константы а показать, что

б (at —10) = - ^ — 8 i t — — ] .

Теперь, возвращаясь к (4.2), потребуем, чтобы при заданном ба­ зисном ядре сопряженное ядро удовлетворяло условию

£

72

Аналогичным образом, подстановка (4.1а) в (4.16) приводит к до­ полнительному условию:

которому должны удовлетворять <р (t, s) и 0 (s, t), чтобы быть сопря­ женными базисными ядрами. Соотношение (4.7) есть непрерывный аналог (3.5). Соответствующие величины для дискретных и непрерыв­ ных представлений сведены в табл. 4.1.

Т а б л и ц а 4.1

Соответствующие величины при дискретном и непрерывном представлении

Дискретное Непрерывное

i

Анализ условия (4.7) показывает, что функции ф и 0 не могут од­ новременно принадлежать L2 (Т) или L2 (5) (как функции t или s соответственно). Это можно пояснить так. Предположим, что 0 в неко­ тором смысле «хорошая»функция, т. е. непрерывная и интегрируемая, тогда и (s) в (4.1 б) —-это «сглаженная» функция х (/). Сглаживание должно быть устранено при обратном преобразовании (4.1а), что воз­ можно лишь при достаточно сильной нерегулярности функции <р. Яс­ но, что одна из функций, <р или 0, или обе должны быть сингулярными, они могут содержать б-функции и их производные или быть неинтегрируемыми, как в случае преобразования Фурье.

Часто полезно рассматривать дискретное представление как част­ ный случай интегрального. Если х лежит в подпространстве, натя­ нутом на

{ф {t, sO; i = 1, 2 , ...},

73

s = st. Для некоторых сигналов функция плотности может содержать и 6-функции, и обычные функции. В этих случаях удобно разбить сиг­ нал на «дискретную» и «непрерывную» части.

Некоторые базисные ядра обладают тем свойством, что преобра­ зование функций от t, принадлежащих L2 (Т), всегда порождает функ­ ции от s, принадлежащие L2 (5). Полное соответствие между функция­ ми, определенными в областях t и s, обеспечивается самосопряженными ядрами, т. е. такими, что

эти ядра соответствуют ортонормальному базису в дискретном случае. Пусть и (s) и v (s) — преобразования от х (t) и у (t) соответственно. Тогда

(u, v) = § и (s) v*(s)ds= § § § х (t) у* (т) 0 (s, t) 0* (s, т) dxdtds .

Таким образом, величина скалярного произведения не изменяется при переходе из области t в область s. Этим свойством обладают многие часто используемые преобразования.

4.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ, ГИЛЬБЕРТА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Преобразование Фурье

Для Т = (— оо, оо) и 5 = (— оо, оо) базисные ядра

порождают пару преобразований Фурье. Из интегральной теоремы Фурье [2] следует, что, для обобщенной функции имеет место следую­ щее предельное соотношение

W

74

Из (4.12) ясно, что функции (4.11) удовлетворяют требованиям (4.7 а и б), предъявляемым к сопряженным базисным ядрам. Параметр s характеризует частоту каждой базисной функции и обычно обозначает­ ся /. Применяя употребительные обозначения, запишем пару преобра­ зований Фурье в виде

Здесь учтено, что для преобразования Фурье обычно применяют заглав­ ную букву, соответствующую той, которой обозначена функция вре­ мени.

Сопоставляя (4.11) с (4.9), мы видим, что базис самосопряженный, и, следовательно, согласно (4.10).

Это соотношение, широко используемое в дальнейших главах, изве­ стно как равенство Парсеваля. Оно очень часто применяется для уста­ новления частотно-временной двойственности, дуальности.

— oo

б) x(t)=b(t )=>X(f ) = l,

в) x ( t ) = y ( t - t o) =>X( f ) =Y (f) e-*2nt°f,

r) x (t) вещественное =>X(f) = X* ( —f),

Д) (x(n>, x) = (Y,X ), где Y (f) = (j2nf)nX (f).

Записать дуальные соотношения для этих утверждений. Упражнение 4.3. Показать, что

Каково дуальное соотношение? Приведенное соотношение (и дуальное ему) чрезвычайно полезно в задачах анализа последовательностей импульсных сигналов. Используя полученное соотношение, установить следующие свойства бесконечных последовательностей 6-функций:

75