ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 131
Скачиваний: 1
имеем
i
Л( ф ; v ) = ^tw~l dt =
оv
Следовательно,
Л (0, v) = l — v=>Q(t) — b (t— 1)-
Последнее следует из того, что
б ( t~ 1) tv~ l dt — ---- |
j- |
= 1 - 'v. |
Рис. |
4.2. Пары преобразований для базисного ядра: cp(s, t) — 1 при 0 < £ < l/s , |
tp(s, |
i ) = 0 в остальное время. |
В результате получаем выражение для плотности прямоугольных импульсов
|
|
оо |
|
|
и (s) — ^ х (t)6 (st— 1)dt. |
||
|
|
о |
|
Положив здесь st = о, |
окончательно найдем |
||
|
|
оо |
|
*Ф) = - М |
б(а — 1) da = |
||
|
s |
о |
|
_LJL X |
а |
||
s JJa—l |
|||
s |
da |
||
Ha рис. 4.2 показаны некоторые пары преобразований, полученные для этого примера.
81
4.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ*'
Комплексная огибающая сигнала
В этом параграфе рассматриваются некоторые практические воп росы, хорошо иллюстрирующие применение преобразований Фурье и Гильберта в теории сигналов. Узкополосные сигналы используются во многих системах. Уточним, что узкополосным мы называем сигнал, преобразование Фурье которого концентрируется около частоты, уда
ленной от начала координат. |
1 |
|
В отличие от |
них, сигналы, основная полоса которых включает |
|
начало координат |
(нулевую |
частоту), называются низкочастотными. |
Одна из причин широкого распространения узкополосных сигналов состоит в том, что реальная среда, в которощпроисходит передача сиг налов, всегда обладает дисперсионностью, ее коэффициент передачи неравномерен, изменяется с частотой. Чтобы использовать среду, не допуская значительных частотных искажений, канал передачи обычно разбивается на достаточно узкополосные субканалы, в каждом из ко торых дисперсионность минимальна. Такой прием используется как в радиоканалах, так и в волноводных. Он реализуется, в частности, когда исходным низкочастотным сигналом модулируют амплитуду или фазу синусоидального несущего колебания, частота которого выбрана подходящим образом, с учетом необходимой полосы пропускания.
В случае строгой амплитудной модуляции гармонического сиг нала (т. е. синусоиды с постоянной частотой /0 и постоянной фазой 0), нетрудно найти, интересующее нас низкочастотное представле ние. Действительно, если узкополосный сигнал имеет вид х (t) — u(t) X Xcos (2зх/0^+9), причем u{t)—низкочастотный сигнал (огибающая), то представление сигнала х очевидным образом связано с представлением огибающей и. Однако если сигнал передан по каналу с дисперсион ностью, то в общем случае уже не удается найти его низкочастотное представление столь простым способом. Можно сказать, что дисперсион ность канала производит частичное ;преобразование амплитудных изменений в фазовые, и мера этого преобразования нуждается в уточ нении.
Предметом данного параграфа является обобщение на сигналы общего вида указанного выше способа получения низкочастотных пред ставлений. Этот способ является общим и не требует для обоснования
приближения «узкополосности» (по соотношению средней |
частоты |
||
и ширины спектра). Предварительно мы скажем |
несколько слов |
||
о причинах, побуждающих искать |
низкочастотные |
представления. |
|
Методы получения представлений, |
развитые в предыдущих |
главах, |
|
*> Мы переводим английский термин «bandpass signal» как «узкополосный сигнал», хотя точнее было бы здесь употребить «полосовой». Последний термин редко применяется в русском тексте, видимо, из-за некоторой неблагозвучности. Нужно иметь в виду, что далее под узкополосным не обязательно понимается сигнал, ширина спектра которого весьма мала по отношению к несущей частоте.
Из контекста ясно, в каких случаях такая малость также подразумевается. _
Прим. ред.
можно непосредственно применить к узкополосным сигналам, |
одна |
||
ко получаемые |
при |
этом представления обычно весьма неудобны. |
|
Например, если |
мы |
применим представление в виде ряда |
(1.34), |
взяв отсчеты узкополосного сигнала с частотой, в два раза пре вышающей верхнюю границу его спектра, то, очевидно, нам потребует ся значительно больше отсчетов на каждом отрезке времени, чем нужно для представления соответствующего низкочастотного сигнала. Дру гая причина связана с тем, что все широко известные базисные функ ции, приведенные в § 3.3, имеют низкочастотный характер. Ортонормальные системы, рассмотренные в этом параграфе таковы, что п-я базисная функция п раз пересекает нулевую линию. Значит, в под пространстве, натянутом на первые п базисных функций, можно наи лучшим образом аппроксимировать те функции, которые мы называем низкочастотными сигналами.
Наконец, нам часто нужно моделировать работу узкополосной системы на аналоговых вычислительных машинах. Из-за присущего этим машинам ограниченного быстродействия они значительно успеш нее могут оперировать с низкочастотными эквивалентами сигналов. Мы покажем, каким образом узкополосную систему можно эквивалент но смоделировать с помощью двух взаимно связанных низкочастотных систем.
Исходным пунктом для построения нужного нам низкочастотного представления является понятие аналитического сигнала [7—91, со ответствующего вещественному узкополосному сигналу х (/). Аналити
ческий сигнал — это |
комплексный |
сигнал, который |
образуется, |
|
если к вещественному сигналу х (/) добавить в качестве |
мнимой части |
|||
его преобразование Гильберта: |
|
|
||
ф (0 - |
x{t)■+ jx(t). |
(4.37) |
||
Вспомнив, что ||х[| = |
|| х || |
и (х, х) = |
0, получим следующее полезное |
|
соотношение: |
|
|
|
|
|
|
11ФН —У 2 ||хЦ. |
(4.38) |
|
Наиболее важным свойством аналитического сигнала является то, что преобразование Фурье от него — «одностороннее»; т. е. отлично
от нуля только при положительных частотах. Согласно |
(4.28) имеем |
|||
4(f) |
= |
2Х (J) при / |
> 0, |
(4.39) |
Ч*- |
(/) |
= 0 при f < |
0. |
|
К счастью, понятия огибающей и фазы, вводимые с помощью аналитиче ского сигнала, не только не противоречат обычным понятиям, инту итивно ясным в узкополосном случае, но такой подход позволяет дать общее определение, применимое к любым сигналам.
Под огибающей w (t) понимается модуль аналитического сигнала
® W = | Ч»(*)1 = V xi(t) |
(4.40) |
83
При достаточной узкополосности сигнала эта величина близка к на
пряжению на выходе детектора |
огибающей. Очевидно, огибающая |
|
w (t) не дает полного описания сигнала. |
Дополнительная информация |
|
содержится в аргументе ф, фазе, |
т. е. |
в мнимой части логарифма ф. |
С точки зрения физической |
интерпретации часто более полезна |
|
производная фазы, чем она сама. Мы определяем мгновенную частоту ft (t) произвольного сигнала следующим образом:
fi<t) = — Im |
— I n Ф ( t ) = — Im Ф(0 |
|
|||
/JW |
2л |
dt |
2ix |
Ф(0 |
|
_ |
1 |
|
[x (t)x(t)- *(*)*(*)]• |
(4.41) |
|
|
2nw2 |
(t) |
|||
|
|
|
|
||
Эта функция приблизительно |
соответствует |
выходному |
сигналу ча |
||
стотного дискриминатора*'. |
|
|
|
||
Теперь, чтобы получить эквивалентное низкочастотное представ ление сигнала, мы просто сдвинем преобразование Фурье от ф так, чтобы оно оказалось сцентрированным около нулевой частоты (рис. 4.3) и представляло собой низкочастотный сигнал.
Мы полагаем, по определению, |
|
Г ( / ) = ¥ ( / + /0), |
(4.42) |
так что |
|
у(г!) = ф(^) e—i2nfott |
(4.43) |
аисходный вещественный сигнал х (t) связан с комплексным сигналом
у(t) соотношением
x(0 = Re[y(^)e/2llf»t]. |
(4.44) |
Ясно, что комплексное представление является прямым развитием известного символического метода, позволяющего представлять сину соидальные колебания комплексными числами. Сигнал у называется комплексной огибающей сигнала х. Согласно (4.44) узкополосный сиг нал следующим образом выражается через вещественную и мнимую части у:
х |
(t) — и (t) cos 2я f0t — v(t) |
sin 2я f0t, |
(4.45) |
где |
|
|
|
|
v (0 = « (0 + / v (О- |
|
|
*> Автора |
можно истолковать в том смысле, |
что главное обоснование опре |
|
делений огибающей и фазы, вводимых с помощью аналитического сигнала, состоит в том, что при достаточной узкополосности эти определения согласуются с общепринятыми; автор ссылается, в частности, на приближенное соответствие вводимых понятий результатам радиотехнических измерений. Такой довод представляется недостаточным, поскольку известны другие определения огибаю щей и фазы, согласующиеся с общепринятыми в узкополосном случае.
Но в этом вопросе имеются более глубокие результаты. При наложении некоторых естественных условий определения (4.40) и (4.41) оказываются един ственно непротиворечивыми, все другие определения непригодны. Важно,что соответствующие условия имеют не только техническую, но и физическую основу
— см. Коржик В. И. «Радиотехника», 23,4, 1968, также Вакман Д. Е., «Радио’ техника и электроника», 17, 5, 1972. — Прим. ред.
84
Вещественные низкочастотные сигналы и и v называются соответ ственно синфазной и квадратурной компонентами узкополосного сиг нала. Очевидно, огибающая есть просто 1V (0 | и не зависит от выбора /0:
®(t) = I Ф (01 = I УWl = V «2 W + v2{t). |
(4.46) |
Мгновенная частота выражается через комплексную огибающую
так:
h (0 = /о+ тг_ Im |
' Т(0 1 |
(4-47) |
|
. Y (О J ' |
|||
|
Рис. 4.3. Преобразование Фурье узкополосного сигнала и его комплексной огибающей.
Во многих случаях частоту /0 выбрать нетрудно. Например, для модулированного синусоидального сигнала естественно и удобно взять /0 равной частоте немодулированного несущего колебания. В других случаях /о можно выбрать более или менее произвольно, и тогда она выбирается с тем, чтобы минимизировать ширину полосы Г (/); это дает некоторое упрощение представления. Один из способов такого рода состоит в выборе в качестве f0 «центра тяжести» вещественной положительной функции | "Чг (/) | 2 [7]. Такое значение /0 минимизирует величину
со
$ ( / - / 0т ( / м .
о
Положив производную по /о равной нулю, найдем |
|
||
J f\V(fWdf |
1 (/2я/Ф, Ч>) |
|
|
о________ |
(4.48) |
||
/о = |
2л j (Ч*. Ч<) |
||
|
|||
J |^Ш124/
о
85
Применяя к (4.48) равенство Парсеваля (4.14), получаем
, |
1 (Ф Ч») _ |
1 (х, х) |
(4.49) |
|
Г° ~ |
2nj\\ Ч» р ~ |
2я || х Р |
||
|
Такое определение центральной частоты допускает также физическую интерпретацию: /0 есть взвешенное среднее по времени мгновенной частоты. Действительно, из (4.41) и (4.49) с учетом (4.40) находим
оо |
оо |
|
J a P ( t ) md t = ± |
$ [x(t)x(t)-x(t)x(t))dt = |
|
= — |
(х, х) = 2 [| х I)2,f0. |
(4.50) |
л |
|
|
Замечая, что согласно (4.40)
w%t) = х2 (/) + х2(/),
и, следовательно,
IIwF — II х |Р+ II х f = 2 1х f. |
(4.51) |
Мы можем объединить (4.50) и (4.51), и привести наше определение сред ней частоты /о к интуитивно подходящей форме средневзвешенной по огибающей*):
W3 (() |
(4.52) |
|
Упражнение 4.7. Показать, что для произвольного вещественного сигнала ий (t) комплексная огибающая сигнала х (t) *= и0 (t) cos 2nf0t имеет вид
Y (0 = «о (0 + JW o (/) e/2lt(f~ 2 |
(/) e~ |
df . |
|||
Отсюда следует, что если u0 (t) — сигнал с ограниченной полосой, причем |
|||||
верхняя граничная частота ниже |
так |
что U0 ® = |
0 при |
/0, то у (t) = |
|
— wo(0+/0- Для этого случая показать, что х |
(F) = |
к0 (t) sin 2nf0£, и что комп |
|||
лексная огибающая х (<) есть 0 — ju0 (f). |
|
|
узкополосные |
||
Упражнение 4.8. Пусть хг (t) |
и |
х2 (t) — вещественные |
|||
сигналы с комплексными огибающими у* (t) |
и у2 (<). Показать, что |
||||
(Хь X s ) = Y Re (Vi. Ya).
(хх, xa)= -jInuY i, Ya)-
Показать также, что х 2 (0 есть сигнал д:2 (t), сдвинутый по фазе на 90°, т. е. его
комплексная огибающая есть у2 (t)e 2 = —/у2 (t).
*> Эквивалентность (4.48) и (4.52) впервые показана Л, М. Финком «Про блемы передачи информации», 2, 4, 1966. — Прим. ред.
86