ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 1
ОО |
1 |
оо |
Ф_21т_ _т£ |
|
б) *<0= 2 |
( - 1 )* 5 (;- ^ ) = > * (/)= — |
2 |
У |
|
&=—те |
Т |
'/_= —~00 ' |
|
|
Упражнение 4.4. Используя соотношение из упражнения 4.3, проверить следующие формы формулы суммирования Пуассона-.
а) 2 |
А (Ь) = -^- 2 |
|
||
k = |
— 00 |
1 = — 00 |
I \ I 2лН |
|
оо |
оо |
|||
|
||||
б) 2 |
h ( t - k x ) = — 2 |
Н { - |
||
k — —-ОО |
I — — оо |
' |
||
0 0 |
|
ОО |
||
в) 2 А (* т)е-/2Я*^ = — |
2 |
|||
k — — 00 |
|
l = — со |
||
Базисные ядра, зависящие от разности аргументов
Развивая упомянутое в § 4.1 предположение о представлении с по мощью сдвинутых во времени функций, мы можем образовать базисное ядро из одной функции путем всевозможных ее сдвигов во времени. Итак, применяя несколько нестрогую запись, положим
ф(7, s) = y(t — s), |
(4.15) |
так что ядро есть в действительности функция одной переменной — разности (t —s). Если Т, S = (—оо,оо), то х (t) есть свертка плотно сти ее распределения и базисной функции
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
x{t)= |
[ |
u(s)y(t — s)ds. |
(4.16) |
|||||
|
—00 (I |
. о |
? |
' |
+■"' |
|
|
|
Сопряженное ядро, если оно существует, |
можно просто найти, |
|
взяв |
|||||
преобразование Фурье от (4.16). В силу теоремы свертки |
|
|
||||||
X (/) |
= |
U (/) |
Ф (/), |
' |
(4.17) |
|||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
U ф = в ф Х |
(/), |
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(/) = — |
, |
|
(4.18) |
||||
|
|
Ф(/) |
|
|
v |
' |
||
и сопряженное ядро также зависит от разности аргументов*’
*> Обратное преобразование Фурье от (4.18) формально дает
Ь4 ге'2""“л
-----ОО
Но если Ф (I) £ L2 (— оо, оо), то 1/Ф (f) не интегрируема и последний интеграл должен, по крайней мере, пониматься в некотором особом смысле. Это еще раз
указывает на необходимость применения здесь обобщенных функций. —Прим,
ред.
76
|
u(s)= |
оо |
x(t)Q(s — t)dt. |
(4.19) |
|
^ |
|||
Например, |
пусть |
|
|
|
|
cp (t—s) = 6 (t—s), |
(4.20) |
||
тогда |
ф (/) = |
l = @ (/) |
|
|
и |
oo |
|
|
|
|
x(t)6(s— t)dt = x(s). |
|
||
|
w(s) = ^ |
(4.21) |
||
Мы получили тривиальный результат, что функция времени может быть представлена ею самой. Однако рассмотрение сигнала в виде плот ной последовательности 6-функций часто оказывается полезным. Оно иногда используется, например, для пояснения физического смысла интеграла свертки, описывающего реакцию линейной системы.
Значительно более интересен случай, когда выбрано ядро
ф(, _ |
8) = __=1_ |
(4.22) |
|
Я (/—S) |
) |
Тогда с учетом обозначения sign f = f/\f\ |
получаем |
|
Ф (/) = / sign / => 0 (f) = |
—j sign f=>Q(s— t) = - - 1-- • (4.23) |
|
|
|
я (s—t) |
Соответствующая пара преобразований называется парой преобра зований Гильберта. Принято обозначать преобразование Гильберта
от х через х*>. Применяя такое обозначение, имеем:
о° Л
x(t) = — |
Г |
^ - d s , |
(4.24а) |
Я |
J |
S —t |
|
|
— СО |
|
|
|
ОО |
|
|
x(s) = — |
Г |
^ - d t . |
(4.246) |
Я |
J |
S —t |
|
-----ОО
Поскольку подынтегральные функции в (4.24а) и (4.246) имеют особую точку, необходимо уточнить понятие интеграла. В обоих слу чаях интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, т. е.
в (4.24 б),
S— 8 ОО |
|
S => 8Нш—►О ,—$оо +S-5J-8 |
е > 0. |
*> По контексту нетрудно отличить преобразование Гильберта от ортого нальной проекции, которая обозначается так же.
77
Сравнивая (4.22) и (4.23) с (4.9), мы видим, что базис самосопря женный, такчто
(х, у) = (х,у). |
(4.25) |
Интересное и полезное свойство преобразования Гильберта со стоит в том, что преобразования Фурье от пары преобразований Гиль берта просто связаны друг с другом:
X{f) = l—/ sign f] X (/), |
(4.26а) |
X (/) = [/ sign f] X (/). |
(4.266) |
В теории сигналов эта связь чаще всего используется для образования
комплексного аналитического сигнала z(t), имеющего одностороннее
преобразование Фурье. Положим
|
z(t) = x{t) + jx(t). |
(4.27) |
|
Тогда в соответствии с (4.26 а) |
|
|
|
Z (f) |
= 2Х (/) при/ |
> 0 , |
|
Z |
(/) = 0 при / < |
0. |
(4.28) |
Практическое применение этого свойства мы обсудим в § 4.4.
Пример 4.1. Предположим, мы хотим представить функции вре мени относительно смещенных по времени двусторонних экспоненци альных функций, т. е.
ср(^— s) = e -aH r s|, a > 0 .
Поскольку
2а
Ф (f) |
(2я/)а 4-a2 |
|
мы получаем |
||
|
||
1— |
|
Следовательно, для рассматриваемого базиса пара преобразований имеет вид
|
x(t)= |
^ |
и (s) е~аI t-s I ds, |
|
|
|
— оо |
|
|
|
“ (s) = - f - [* (s )— ^ * ( s ) . |
|
||
Для случая а = 1 характерные пары преобразований |
показаны на |
|||
рис. 4.1. |
|
|
|
|
Упражнение 4.5. Используя |
(4.26), показать, что: |
|
||
а) преобразование Гильберта от преобразования Гильберта есть исходная |
||||
функция |
со знаком минус, т. е. х = |
—х, |
ортогональны, |
|
б) |
вещественный сигнал и его |
преобразование Гильберта |
||
т. е. (х, х) = 0.
78
Упражнение 4.6. |
Вычислить преобразования |
||
а) |
х (t) = cos 2nfat\ |
— oo<t<oc, |
|
б) |
х (t) -- |
1 |
|
— oo </ < o o , |
|||
|
|
1-И2 |
|
в) |
* (t) = |
sin 2nWt |
— oo < t < OO, |
|
|
2nWt |
|
г) |
x (t) = l; \ t \ ^ T , |
||
|
* (0 = 0 ; \ t \ > T . |
||
x(t)
Гильберта от функций:
u(s)
О 1 |
t |
0 |
s |
Рис. 4.1. Пары преобразований для базисного ядра ц>((—s ) = e —
Базисные ядра, зависящие от произведения аргументов
Другой способ построения базиса из одной функции состоит в не прерывном изменении ее ширины. Если
Ф (0 s) = «р (sQ, |
(4.29) |
то параметр s есть величина, обратная ширине базисной функции. Ясно, что ядро Фурье относится к этому типу. Вообще, самосопряжен ные ядра, являющиеся функциями одной переменной st, называются ядрами Фурье [21. Известный пример этого типа дает пара преобразова ний Ханкеля:
оо
*(*)=§ U(s) (st)1/:2 Jv(st) ds, |
(4.30а) |
о |
|
оо |
|
M(s) = § x(t) (st)1/2 Jv(st) dt, |
(4.306) |
о |
|
где J v — функция Бесселя порядка v.
79
Если Т, S= (0, оо), то в общем случае пара преобразований имеет
вид
х (t) = |
^ и (s) (р (st) ds\ |
t ^ 0, |
(4.31а) |
|
о |
|
|
|
оо |
|
|
u(s)= |
^ x{t)Q(st)dt\ |
s^ O . |
(4.316) |
|
о |
|
|
Интересно, что сопряженное ядро, если оно существует, может быть найдено аналогично тому, как это делалось для ядер, завися щих от разности. Соотношение, подобное (4.18), для ядер, зависящих от произведения, выражается через преобразование Меллина [21:
Л (х; v) = ^ x{t)tvxdt, |
|
(4.32а) |
|
|
С + 1 < х > |
|
|
x(t) = — |
{ Л (x;v) i~vdv; |
0. |
(4.326) |
2я/' |
о |
|
|
|
С— /оо |
|
|
Взяв преобразование Меллина от (4.31а), получим
|
оо |
оо |
|
|
Л (х; v) = |
^ и (s) ^ ф (st) Г -1 dt ds = |
|
|
|
= ^ u(s)s~'vds^ |
cp(a)ov_1 do = Jt{\\\ 1— |
p;v). |
(4.33) |
|
Аналогично, проделав преобразование Меллина над (4.316), найдем
Л (u; v) — M (0; v) Л (х; 1 —v). |
(4.34) |
|||
Из (4.33) и (4.34) следует тождество |
|
|
||
Л (ф; v) Л (0; 1—v) = 1, |
(4.35) |
|||
в силу которого*’ |
|
|
|
|
|
С+/оо |
|
|
|
в « ) - 1 |
f |
Л |
' Л . |
(4.36) |
2я/ |
J |
(?; 1—V) |
|
|
|
С — /оо |
|
|
|
Пример 4.2. Пусть мы хотим представить сигнал х (t) на интервале (0, оо) распределением прямоугольных импульсов различной ширины. Тогда, полагая
Ф ( 0 |
= |
1 |
при 0 |
< t < 1, |
|
Ф ( 0 |
= |
0 |
при t |
> |
1, |
*) См. примечание на стр. |
76. |
Интеграл |
(4.36) может не существовать в |
||
обычном смысле. — Прим, ред
80