Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Полосовая фильтрация

Преимущества представления сигналов с помощью комплексной огибающей были бы в значительной мере утрачены, если бы воздей­ ствие на сигнал полосового фильтра нельзя было непосредственно опи­ сать через комплексную огибающую. Мы покажем, однако, что поло­ совая фильтрация узкополосного сигнала может быть интерпретиро­ вана как фильтрация комплексных низкочастотных сигналов комплекс­ ными же фильтрами. Рассмотрим полосовой фильтр (рис. 4.4) с пере­ даточной функцией R(f).

Входной сигнал имеет вид

Рис. 4.4. Полосовая фильтрация узкополосного сигнала.

Следовательно,

Передаточную функцию фильтра можно представить аналогично:

где

Л (/ — /о) = (1 + sign /) R (/).

Это эквивалентно утверждению, что фильтр описывается комплексной огибающей X(t) его импульсной реакции r(t). Для выходного сигнала имеем

М2 (/) = R (/) Хг(/) = ± A ( f - f 0) Гх (/- /о ) +

+ “7"А* (—/ —/о) Г* (—/ —/о) =

4

87

Здесь учтено, что при умножении (4.53) на (4.54) два члена из че­ тырех обращаются в нуль вследствие односторонности Г\ (f) и Л (/) (рис. 4.5).

Из (4.55) очевидно, что

и, таким образом, комплексная огибающая сигнала на выходе фильт­ ра получается просто как свертка комплексной огибающей входного сигнала и комплексной огибающей импульсной реакции фильтра:

стотных фильтров. Для этого рассмотрим синфазную и квадратурную компоненты порознь. Прежде всего уточним: мы называем фильтр вещественным, если его отклик на вещественный сигнал веществен. В частности, это означает, что импульсная реакция фильтра вещест­ венна, а это, в свою очередь, предполагает передаточную функцию сим­ метричной относительно начала, т. е. Н* (—/) = #(/).

Теперь разложим %(f) на действительную и мнимую части:

как импульсные реакции вещественных низкочастотных фильтров. Соответствующие передаточные функции имеют вид:

88

Af(/) = -L[A(/) + A *(-/)],

т. е. они представляют собой симметричную и несимметричную части (в указанном выше смысле) комплексной передаточной функции Л (/). Поэтому M(f) и N(f) непосредственно связаны с симметричной и не­ симметричной относительно «центральной» частоты f0 компонентами узкополосной функции R(f).

Рис. 4.6. Эквивалентная низкочастотная филь­ трация.

Теперь, подставив в (4.57) вещественные низкочастотные функции, получим

фильтры, но с двумя входами и двумя выходами, причем эта схема ха­ рактеризует преобразование синфазной и квадратурной компонент сигнала, рассматриваемых порознь.

Блок-схема эквивалентной низкочастотной системы показана на рис. 4.6. Каскадное .соединение полосовых фильтров имеет прямой

89

эквивалент, состоящий из низкочастотных фильтров, как показано на рис. 4.7.

Заметим, что, если характеристика полосового фильтра симмет­ рична относительно /0, то N (/) = 0, и перекрестных связей между синфазной и квадратурной составляющими нет. Это один из возмож­ ных видов передаточной функции, при которой исключаются преобра­ зования амплитудной модуляции узкополосного сигнала в фазовую.

Рис. 4.7. Низкочастотный эквивалент каскадного соединения полосовых фильтров.

Следующие примеры поясняют полезность понятия комплексной огибающей в различных задачах модуляции. Предполагается, что чи­ татель знаком с основами однополосной и двухполосной амплитудной модуляции.

Пример 4.3. Понятно, что наиболее простой способ сформировать однополосный AM сигнал состоит в том, чтобы вначале путем умноже­ ния сформировать двухполосный AM сигнал, а затем пропустить его через полосовой фильтр с частотой отсечки /0, чтобы устранить одну боковую полосу. Эти операции схематически изображены на рис. 4.8.

Для передаточной функции R (/) полосового фильтра, показанного на рис. 4.8, из (4.54) имеем

Л (/) = 1 + sign f,

и, следовательно, согласно (4.59)

М(/) = -~ ; M(/) = ^isign/.

90

Предположим, что модулирующий сигнал u0(t) не содержит ча­ стот выше /0 [U Ц) = 0 для | / 1> /0]. Тогда yx{t) = u0{t) + /О и, используя (4.61) совместно с (4.26), находим

Y a ( 0 = ~ “o ( 0 + / - j - “o (О-

Это значит, что модулирующий сигнал (половинной амплитуды) пере­ дается однополосной AM с верхней боковой полосой, причем он содер­ жится в сигнале в качестве синфазной компоненты. К последней добав­ ляется в качестве квадратурной компоненты преобразование Гиль­ берта от модулирующего сигнала, и

*2 (0 = и0(t) cos 2я/01— uQ(t) sin 2n/01.

C0s2orjHt I

R(f) U

\0 8 остальной ойлхстш

Рис. 4.8. Реализация однополосной AM с помощью полосового фильтра.

Если же фильтр срезает верхнюю боковую полосу и формирует од­ нополосный AM сигнал с нижней боковой полосой, то выходной сиг­ нал имеет вид

х2(t) = ~ и0(t) cos 2зх/0t-]——l и0(t) sin 2nf01.

Пример 4.4. Стандартная запись однополосного AM сигнала, при­ веденная в примере 4.3, наводит на мысль о другой схеме модулятора, в котором полосовой фильтр заменен низкочастотной фазосдвигающей цепью. Такой модулятор показан на рис. 4.9, он называется модулято­ ром Хартли.

Пример 4.5. На рис. 4.10 показан подобный модулятор, содержа­ щий две ветви с одинаковыми низкочастотными фильтрами вместо фазо­ сдвигающего устройства. Из схемы ясно, что

x(0 = cos2n (f0- f -уЛ t ^ h(x)u0(t—х) cos nf1{t—x)dx +

—00

£0°

-f sin 2я ^/o -f 2 )* § h(x)u0(t—x) sin nf1(t —x)dx.

91

После обычных тригонометрических преобразований можно переписать это выражение в более удобной форме:

оо

л: (t) = cos 2я/01 ^ h(x)u0(t—x) cos nfxxdx—

*—oo oo

—sin2n/0^ C h(x)u0(t — x) sin nfj^xdx,

из которой видно, что комплексная огибающая сигнала х есть просто

Y = u0 ® g,

где

g(t) — h(t) eWi*.

Такая схема формирует однополосный AM сигнал, если Н (f) —

нал с верхней боковой полосой. Такой модулятор называется модуля­ тором Вивера.

92