ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 160
Скачиваний: 1
Очевидно, классы, соответствующие некоторым операторам, нельзя считать конечномерными ни в каком смысле. Рассмотрим, например, тождественный оператор; для любого конечномерного подпростран ства всегда можно найти х в L2 (—о о , о о ) , ортогональный этому подпро странству. С другой стороны, широкий класс операторов порождает сигналы, близкие к конечномерному подпространству в том смысле, что
П
|
|
у— 2 |
|
а*ф* |
'п, |
(6.130) |
|
|
k~ i |
|
|
|
|
где у = Л х, || х || = |
1 и е„ |
может быть сделано сколь угодно малым при |
||||
конечном п. Это компактные операторы, обсуждавшиеся в § 5.5. |
||||||
Пусть (фь (t)\ |
k = 1, |
2, ..., |
п} — ортонормальный базис для ин |
|||
тересующего нас подпространства; тогда мы, естественно, должны вы брать a k = (у, <pft) в (6.130), чтобы минимизировать норму ошибки для каждого конкретного у. После того, как это сделано, расстояние между у и его ортогональной проекцией на подпространство будет иметь вид
НУ) = (У, У)— £ I(У, <Pfe)|2 = (^x, dx) — £ |
|(Ах, <pft)|2 = |
|
k=l |
k= 1 |
|
ft |
|(x, A 'y h) I2. |
|
= {A'Ax, x)— 2 |
(6.131) |
|
k=1 |
|
|
Теперь будем искать такой базис {фь; k = 1, |
2.......п }, который |
|
минимизирует максимум величины I |
(у) при || х || = |
1. Это эквивалентно |
задаче аппроксимации оператора вырожденным оператором («-го по рядка), поскольку
/ (у) = (®Х, х) С$п х, х) = ([#—&п]х, х )<
|
< 1 « - « в 1 ||х |М |« - « пЦпри ||х||=:1, |
(6.132) |
|||
где |
|
|
^ = А ’А |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
%nx = |
\ |
cn(t, T)x(x)dx, |
(6.133) |
|
|
|
|
|
|
|
|
с n{t, т )= |
2 gk{t)gt{v), |
|
||
|
|
|
k=i |
|
|
причем согласно (6.131) мы положили: gfe = |
A ’(pk- |
|
|||
|
Теперь предположим, что |
оператор $ = |
А 'А имеет дискретное |
||
спектральное представление вида |
|
|
|||
|
С (t. т) = |
i2=Iь* М О *?(*). |
(6.134) |
||
где |
и — ортонормализованные собственные функции и собствен |
||||
ные значения оператора %, т. е. %х = Хх. Поскольку $ |
= Л 'Л — |
||||
165
неотрицательно определенный самосопряженный оператор, его соб ственные значения вещественны и неотрицательны. Предположим, что эти собственные значения упорядочены таким образом, что они
образуют неубывающую последовательность Хг ^ Х2 ^ |
Х3 ~^ ... |
^ 0 . |
||
Можно показать [20], что для произвольного |
вырожденного |
ядра |
||
Dn (t, т) (ранга п) норма оператора %— 3)п не может быть |
меньше Яп+1 |
|||
1 « -2 Ц > [« -« п|| = Яп+1. |
|
(6.135) |
||
Равенство достигается, если мы выберем |
|
|
|
|
_i_ |
|
|
|
|
А \ fe = gft = v ’JV’ |
k = l, 2,..., |
п, |
(6.136) |
|
так как тогда оператор %— %п имеет ядро |
|
|
|
|
с(t, т)—сп(t, т) = |
00 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k = n + 1
и норма оператора задается наибольшим собственным значением (5.113).
Теперь |
нужно |
показать, |
что существует ортонормальный базис |
||||
{<pft; k |
= 1, ..... |
п), удовлетворяющий (6.136). Пусть |
|
||||
|
|
|
|
__i_ |
|
|
|
|
|
|
|
Фь = Ч 2 |
|
|
(6.137) |
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_L |
j_ |
k = |
|
n |
и |
8k = |
= ^h |
12 |
= Ч У» |
2 ,..., |
||
|
__1 |
|
|
__1_ |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
(Фл. <pj) = (K h) |
2 |
-Mi) = |
(K h) |
2 |
4v) = |
|
Резюмируя, можно сказать, что норма погрешности п-мерной аппроксимации сигнала, представленного в виде у = А х при ||х || =1,
ограничена величиной Я,(2 + 1), |
т. е. |
|
П |
1 |
(6.138) |
у— 2 |
«ft <pft |
|
k= i |
|
|
где a h и <pft определены в виде |
_\_ |
|
|
|
|
«й = (у. Фь); ч>н = К 2 |
|
|
а Х„ + 1 есть п + 1-е собственное значение оператора А 'А . |
||
Если добавить требование, |
что оператор |
% должен иметь ядро с |
интегрируемым квадратом, т. е. быть оператором Гильберта — Шмидта,
166
а следовательно, компактным (5.72) |
|
|
|
оо |
оо |
|
|
ОО> § | с(t, т) |2 dt dx = |
2 |
| К I2, |
(6.139 |
—00 |
l= |
1 |
|
то должны стремиться к нулю с увеличением i, и погрешность (6.138) может быть сделана сколь угодно малой путем выбора достаточно боль шого п.
Стробирование и фильтрация
Чтобы связать эти результаты с ограничением длительности и
полосы сигнала, рассмотрим оператор |
вида |
|
|
A (t, т) = |
h [t — t )w |
(т ) . |
(6.140) |
Стробирование |
Фильтрация |
|
|
y(t)
Рис. 6.13. Оператор ограничения длительности и по лосы.
Этот оператор можно интерпретировать физически как последова тельные операции стробирования и фильтрации (рис. 6.13). Строби рующая (весовая) функция w (т) обусловливает, в некотором смысле, ограничение длительности входного сигнала, а передаточная функция фильтра Я (/) — аналогичное ограничение ширины полосы. Если каждая из функций w и h интегрируема в квадрате, то условие (6.139) удовлетворяется, и мы можем, анализируя собственные значения опе ратора в ы я с н и т ь , какая размерность необходима для представ ления с заданной точностью выходных сигналов оператора
Заметим, |
что, как указывалось в §5.5, операторы стробирования |
и фильтрации |
порознь не удовлетворяют условию (6.139). Действи |
тельно, они не имеют дискретного спектрального представления, и число их ненулевых собственных значений бесконечно. Поэтому, учи тывая обсуждения в конце предыдущего параграфа, мы подошли к мысли о том, что сигнал можно считать конечномерным лишь тогда, когда одновременно существуют некоторые ограничения на длитель ность и ширину полосы.
Оптимальные базисные функции дкя представления у (t) полу чаются из (6.137), если решения уравнения (6.141), соответствующие
167
п наибольшим собственным значениям, подвергнуть последовательно стробированию и фильтрации:
оо
$ |
w*(t)w(x)k(t—т) х (х) dx = Хх (t), |
(6.141) |
—оо |
|
|
где |
|
|
оо |
|
|
k(t) = $ |
h(o)h*(o— t)do^K (}) = \H(f)\2. |
(6.142) |
Если поменять местами стробирование и фильтрацию, как показа но на рис. 6.14, то
|
А 2 (t, т) = w (t)h (t — т), |
(6.143) |
||
|
Фильтрация |
Стробирование |
|
|
x(t) |
hit) |
*\ |
y(t) |
|
H(f) |
||||
|
|
|||
w(t)
Ч.
V ”
Аг (t,z) =w(t)h(t-z)
Рис. 6.14. Другой способ ограничения длительности
иполосы.
иуравнение для собственных значений, соответствующее (6.141), бу дет иметь вид
^ |
С2(/, х)х(х)dx~Xx(i), |
(6.144) |
где |
|
|
C2{t, х)= |
§ | w (а) |2 h* (о—t)h(a—x)da. |
|
—оо
Вчастотной области это уравнение имеет ту же форму, что и (6.141), так как (6.144) эквивалентно уравнению
оо
5 H*(f)H(v)Z(f—v)X(v)dv = XX(f), |
(6.145) |
—ОО
где
оо
Z ( f ) = l ^*(r1~ /)ir (r 1)dT1^ z (0 = k W |2.
— ОО
168
Из этой частотно-временной дуальности можно заключить, что если функции стробирования и фильтрации имеют одну и ту же фор му, т. е. Н (f) = w (а, /), где а — вещественная положительная кон станта, то интегральные уравнения (6.141) и (6.145) имеют одни и те же собственные значения и приближенное число измерений пространства не зависит от последовательности операций. Однако базисные функции для этих двух случаев получаются разными.
Более общее следствие дуальности (6.141) и (6.145) состоит в том, что для любого оператора, соответствующего рис. 6.13, существует оператор, подходящим образом изменяющий функции стробирования и фильтрации и меняющий их местами (рис. 6.14), такой, что собствен ные значения Л 'Л одни и те же в обоих случаях (см. упражнение 6.13).
Пример 6.7. Если перед фильтрацией мы осуществляем стробиро
вание прямоугольной функцией w (0 = y Cl + sign (Г —| ф ],т о (6.141)
принимает вид: |
|
г |
|
§k{ t —т) х (т) Фг = Ях (f) для |/ |< Г ; |
(6.146) |
—т |
|
это совпадает с (6.56) в общей постановке задачи Чока (пример 6.2). В частности, если функция фильтрации соответствует однозвенному RC-фильтру низкой частоты, то упорядоченные собственные значения уравнения (6.146) имеют вид
(2я/0 Г)»
(6.147)
а®+(2л/0 7)2 ’
где
2nf0 Т
ДЛЯ 1=1, 3, 5, ... ,
<4
—at для i = 2, 4, 6,...
2iifoТ
определяются из (6.61) и (6.62). Графическое решение уравнения (6.147), показанное на рис. 6.15, дает
/ 1 v л зх
(п— I) — < Й „ < П — .
Следовательно, |
|
|
|
|
----------5---------- |
< к п+1< --------- |
5------- |
. |
(6.148) |
1 + [ ( я + |
1 ) / 4 / о Л 2 |
|
Т)2 1 + |
( я / 4 / о |
Когда f0T -> О, -> 2я/0Т есть максимальное собственное значение, поскольку %2-> (4/0Г)2 ит. д., то для представления выходного сигна ла фильтра пригодно одномерное пространство. Это и понятно; в этом случае длительность импульсной реакции фильтра очень велика по сравнению с 2Т, и входной сигнал фильтра (после стробирования) можно рассматривать как импульсивное возбуждение. В результате,
169