ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 158
Скачиваний: 1
весовые функции различны по форме, решение может оказаться про ще в одной области, чем в другой. Если же весовые функции одинаковы, то оптимальный сигнал и его преобразование Фурье будут удовлетво рять одному и тому же уравнению. Заметим также, что при различных весовых функциях, если решена одна задача неопределенности, мы легко получим решение и другой задачи, применяя частотно-времен ную дуальность к (6.95) и (6.96).
Вводный пример из § 6.1, очевидно, является задачей неопреде ленности с весовыми функциями w (/) = t2 и U (/) = /2. Вместо того, чтобы минимизировать произведение 1Хи / 2, мы могли бы ограничить один из функционалов 1Х или / 2 некоторой константой, и миними зировать второй (сохраняя 13 — 1).
Поскольку
необходимое условие (6.95) принимает вид
М 2*^) — |
(f) + *M = 0. |
(6.97) |
Приведя его к виду
х (0 + (а2 + b2t2) х (t) = 0, |
(6.98) |
получаем дифференциальное уравнение второго порядка, известное как волновое уравнение Шредингера для гармонического осциллято ра с параболической потенциальной ямой; его решение хорошо извест но. Можно показать [17], что для граничных условий х (±оо) = О, коэффициенты в (6.98) должны удовлетворять условию
а2 = (2п + 1)6; п = 0, 1, 2, ..., |
(6.99) |
асоответствующие ортонормированные решения есть
---i- bt2
H n ( S b t ) e 2 . |
(6.100) |
|
( V bt) |
|
|
(2nn\71^2У/2 ’ |
|
|
здесь Нп — полиномы Эрмита; |
— нормированные |
функции |
Эрмита (3.45). Кратность стационарных точек, типичная для однород ных необходимых условий, видна из (6.100). Абсолютный минимум про изведения длительности на ширину полосы легко находится подста новкой (6.100) в (6.4); в результате имеем
T^n W^n = j - ( 2 n ^ r iy, п = 0,1,2,...; |
(6.101) |
следовательно, ф0 (Vbt), т. е. гауссов импульс глобально оптимален. Это соответствует (6.8).
Другим примером может служить задача из примера 6.2, которая представляет собой разновидность проблемы неопределенности при ус ловиях: Ix = 1, w (t) — прямоугольная весовая функция, задавае-
156
мая согласно (6.52), а V (/) = К (/) = | Я (/) |2 соответствует (6.35).
Установление принципа неопределенности для этого случая состоит в нахождении наибольшего собственного значения и соответствующей собственной функции из (6.56) для заданных Я (/) и Г. В частности, для Я (/) однозвенного /?С-фильтра минимальная величина f0T, которая обеспечивает заданную долю энергии / 2, проходящую на вы ход, находится из (6.61) и (6.62):
|
f0T > ^ ~ arctga, |
|
(6.102) |
|
где |
|
2я |
|
|
а2 = |
/ 2/(1—/ 2). |
|
|
|
|
|
|
||
xlt) |
Идеальный |
y(t) |
v(f)=j \ l +sign(W-]f\^ |
|
фильтр |
||||
Ограниченная |
ниэки% |
|
|
|
частот V(f) |
°гР“Т * Т аЯ |
sinZKWt |
||
Олительность |
|
|||
|
|
полоса |
"'ло=. |
'ctt |
\
Рис. 6.7. Ограничение по полосе сигналов с ограниченной длительностью.
Более жесткий критерий концентрации в частотной области ввел Чок [3], рассматривая прямоугольную весовую функцию не только во временной, но также в частотной области, т. е. предполагая, что имеется идеальный фильтр низких частот с полосой W, как показано на рис. 6.7. Необходимое условие минимума / 2 при ограничении / х — / 3 = 1 полу чается из (6.36) в виде
Г - ш—^ I t l l х (Т) dx = Хх (t) для | / | < Г ; |
(6.103) |
||
J |
л(<—Т) |
|
|
заметим, что левая часть (6.103) есть |
свертка сигнала ограниченной |
||
длительности и импульсной реакции |
идеального фильтра. |
Такой ре |
|
зультат получился из-за особого свойства данной весовой функции:
К(П = | Я (/) |2 = Я(/).
Мы видим, что ограниченные по времени (финитные) функции, удовле творяющие (6.103), обладают весьма любопытным свойством: если пропустить такую функцию через идеальный фильтр с ограниченной полосой (превратив таким образом в финитную в частотной области), то на интервале \t\<i Т сигнал на выходе фильтра совпадает по форме с входным сигналом
у (i) = Хх (t) при 1t\ < Т. |
(6.104) |
Заметим, что в этом случае выходная энергия |
имеет значение |
(У. У) = (Y, Y) = (V X, Y) = (vx, у) = (х, у) |
(wx, у) = |
— X(wx, wx) = Х(х, х). |
(6.105) |
Следовательно, X — это та доля энергии сигнала х: (t), которая при-
157
ходится на полосу | / | ^ W. Сказанное означает, что все собственные значения (6.103) меньше единицы, и что максимум энергии на выходе
равен максимальному собственному значению Я0. |
по |
отношению |
||||||||||||||
Интересно |
рассмотреть |
|
задачу, |
|
дуальную |
|||||||||||
к предыдущей, |
т. е. |
максимизировать |
|
/ х = |
(wx, х) |
при |
условии |
|||||||||
/ 2 = (VX, |
X) |
= |
1 |
и |
/ 3 = |
(х, |
х) = |
1. |
|
Другими |
|
словами, |
мы |
|||
хотим найти сигнал с ограниченной полосой, равной W, максималь |
||||||||||||||||
ная часть полной энергии которого содержится |
в интервале времени |
|||||||||||||||
| f | ^ 7 \ |
Ограничение |
/ 2 = |
1 |
можно |
|
учесть |
прямым |
способом |
||||||||
(х = у ®х ), |
взяв |
свертку |
общего |
необходимого |
|
условия |
(6.95) |
|||||||||
с v (/); для нашего случая это дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р.х |
Г |
sin |
|
т)_ w (Т) х (т) dx + |
(1 -f р,2) х (t) = |
0. |
(6.106) |
||||||||
Поскольку |
w |
(() — прямоугольная |
функция, |
это |
выражение |
|||||||||||
упрощается: |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
для |
всех |
^ |
|
(6.107) |
|||
|
|
Г £ш2я^ Д —т)_ х ^ |
|
|
||||||||||||
|
|
J |
n ( t —т) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
—т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I If npu/2 --1, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°~yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
для прямоугольного импульса |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
или If для импульса Рида, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin Zct W t |
|
|
|
|
|
|
|||
c=ZctWT
Рис. 6.8. Наибольшее собственное значение уравнения (6.Ю7).
Мы получили тоже интегральное уравнение (6.ЮЗ), но теперь оно справедливо для всех t. Таким образом, если ф0 (t) — импульс с огра ниченной полосой, оптимальный для данной задачи, то w (t) ф0 (t) есть оптимальная форма сигнала, ограниченного по длительности для дуальной задачи. Не следует поэтому удивляться, что и в более общих случаях, когда обе весовые функции прямоугольные, но зна чения Д и / 2 произвольны, оптимальные сигналы тоже есть решения уравнения (6.107). В статьях Слепяна, Поллака и Ландау [Ю—12]*> показано, что решениями уравнения (6.107) являются сфероидальные волновые функции, и они дают важную зависимость между предель но достижимыми значениями 1Хи / 2 и параметром WT. Ниже при водятся основные результаты этих работ*).
*> Переводы см. «Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике» под ред. М. К. Размахнина и В. П. Яковлева, изд. «Сов. радио», 1971. — Прим. ред.
158
1. Для любого значения с = 2nWT существует счетное множество вещественных собственных функций (фп (с, t); п = 0, 1, 2, ...}, ко торым соответствуют положительные собственные значения
1 > Х0 (с) > Я, (с) > %г(с) > .... |
(6.108) |
причем их порядок сохраняется при всех с. |
|
2. фп(с, t) образуют ортонормированную систему |
функций с ог |
раниченной полосой, заданных на интервале (— оо, оо), полную в под
пространстве функций с ограниченной полосой из L2(— оо, |
оо) |
оо |
|
= |
(6.109) |
3.В интервале 11| ^ Т функции ф„ (с, t) тоже ортогональны и обра
зуют систему, полную в L2 (— Т, Т):
|
= |
( 6. 110) |
|
—г |
|
Теперь |
мы имеем решение частной задачи неопределенности: |
|
среди всех |
функций заданной ограниченной длительности |
(/х = 1) |
функция w (t) ф0 (с, t) содержит наибольшую часть своей энергии вну три полосы |/ | sg; W. Эта часть равна / 2 = Х0 (с). На рис. 6.8 показана зависимость А0 от с и дано сравнение степени концентрации энергии в заданной полосе для оптимального сигнала и прямоугольного им пульса с длительностью 2Т.
|Среди всех функций, ограниченных по полосе (/2 = 1), функция ф0 (с, i) содержит наибольшую часть своей энергии в интервале вре мени 11 \^ Т. Эта часть равна Л0 (с). Рис. 6.8 дает также сравнение сте пени концентрации во временной области для оптимального сигнала и для импульса формы (sin 2nW t)lnt. Некоторое представление о фор ме оптимальных сигналов можно получить из рис. 6.9, где приведе ны графики ф0 (t) для положительных значений t (ф0 — четная функ ция) при различных значениях с.
Наконец, решение общей задачи неопределенности для прямо угольных весовых функций, когда оптимальный сигнал не ограничен
159
ни по длительности, |
ни по полосе (Ilt / 2 < |
1). имеет вид |
|
|
х (0 = рф0 (с, () + qw (ОФо (с. 0. |
|
|||
где |
|
|
1—h V I 2 |
|
1 - / Л 1 / 2 |
( A V - |
(6.111) |
||
1 |
- ^ |
U* ! |
1-Л* |
|
Этот результат дает удобную фор мулировку принципа неопределенно сти, он указывает максимальное дости жимое значение функционалов или / 2, когда второй функционал имеет за данное значение. Соотношение между ними имеет вид
|
|
arccos l \ /2 + |
arccos / 2/2 ^ |
arccos Яо/2 (с), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 6. 112) |
|
|
|
причем равенство достигается |
только в |
||||||||
|
|
случае, |
когда |
сигнал |
удовлетворяет |
||||||
Рис. 6.10. Предельно дости |
уравнению (6.111). |
Кривые, |
соответст |
||||||||
вующие (6.112), для |
|
некоторых |
значе |
||||||||
жимая концентрация энергии |
|
||||||||||
во |
временной и частичной |
ний с = 2nWT показаны |
на рис. |
6.10. |
|||||||
областях. |
Линия |
/х + |
/ 2 |
= 1 |
(с — 0) |
отра |
|||||
гий, |
|
жает |
тот факт, |
что |
если сумма энер |
||||||
содержащихся в частотном |
и |
временном |
интервалах, меньше |
||||||||
полной энергии сигнала, то ограничений на величины этих интерва лов не существует. Только если сумма 1Х+ / 2 больше единицы, име ется нижняя грань для произведения WT.
Межсимвольные искажения
Несколько иные задачи неопределенности возникают в связи с синтезом сигналов для систем связи, в которых информация содержит ся в амплитудах импульсов. Информация извлекается из принятого сигнала
s{i) = ^ a hx(t — xh) |
(6.113) |
k |
|
в виде отсчетов, взятых в определенные моменты времени xk\ при этом получаются оценки а для истинных значений амплитуд ah:
ak= s(rk) = ahx (0) + 2 * ( 4 ~ Ч)- (6-1 И)
Последняя сумма в (6.114) характеризует погрешность за счет меж символьных искажений, так как она обусловлена соседними импуль сами. Чтобы эти искажения были малыми, нужно взять импульсы х (t) достаточно узкими, так что все значения х ( tft — ту) при k Ф j будут достаточно малыми. При наличии ограничений на ширину поло сы сигнала может показаться, что в данном случае подходит решение
160