Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 166

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

выход фильтра будет пропорционален импульсной реакции h (/) при любом входном сигнале, прошедшем стробирование.

Для больших значений f0T

имеется много

собственных значений,

близких к единице, и для п «

4f0T получится

кп 4* 1

1/2. Это гово­

рит о том, что для хорошей аппроксимации сигналов этого класса мо­ жет потребоваться п в несколько раз большее, чем 4/0Т. Из выражений в (6.148), указывающих границы для Яп + 1, видно, что сравнительно медленное убывание Яп вызвано, в частности, постепенным спадом /((/) = | Я (/) |2 на высоких частотах. Если это рассуждение верно, то для идеального фильтра низких частот [прямоугольная К (/)] значения

должны убывать очень быстро после некоторого л.

Рис. 6.15. Графическое

определение

Рис. 6.16. Собственные значения

собственных

значений

уравнения

уравнения

(6.146) для

случая

(6.146).

 

 

идеального

фильтра

низких

 

 

 

частот.

 

 

Пример 6.8. Собственные значения (6.146) для случая

 

tf(/)=“

[l+sign(117-|/l)]

(6.149)

вычислены и табулированы [21]

для широкого диапазона

значений

п и с = 2itWT. Эти зависимости

изображены на рис. 6.16,

где ясно

виден быстрый спад при больших с.

 

Как отмечалось, собственные функции есть сфероидальные вол­

новые функции, которые

и являются базисными для этой задачи

[см. (6.104)]. Вопрос о приближенной размерности соответствующего пространства сигналов подробно рассмотрен в [12] при несколько ме­ нее жестких условиях, наложенных на длительность и ширину полосы. Ниже мы приводим один из существенных результатов этой работы. Пусть у (t) — сигнал, удовлетворяющий условиям

h =

(w

у,

у) =

1

ef,

/а =

(V Y,

Y) =

1 —

 

1а =

(У,

У) =

1,

(6.150)

170

где w (0 и V {f) — прямоугольные весовые функции:

 

“'(*) = -j-[l +

sign (Т— |f|)],

 

 

 

V(f) = ± -[\ + &ign(W -\f\)].

 

(6.151)

 

 

 

Тогда

можно найти п констант {ak; k = 0, 1,

п— 1}, таких, что

 

п— 1

II2

 

 

 

 

у — 2

«йФй

<

12(ег+ Лг)2 + 111’,

(6.152)

 

k=o

||

 

 

 

 

где

— сфероидальные

волновые

функции, а п — наименьшее це­

лое число, превышающее 4WT.

 

 

 

Упражнение 6.12. Проверить,

что

есть самосопряженный неот­

рицательно определенный оператор. Нарисовать блок-схемы устройств, реа­

лизующих операторы (ё 1 и

из (6.141) и (6.144).

Упражнение 6.13.

Показать, что для

указанных ниже схем собственные

функции

операторов ^

 

и

одни и те же, если Я2 ф =

—wx (af)

и w2 (t) = Н х

(t/a),

где а — вещественная положительная константа.

y = A f x

wf (t)

у = А г *

w

I w (t)

Упражнение 6.14. Если на выходе схемы, состоящей из стробирующего устройства с последующим фильтром, поставить еще одно стробирующее уст­ ройство, то можно ожидать, что «размерность» выходных сигналов уменьшится. В качестве конкретной иллюстрации этого показать, что в случае прямоуголь-

УвА,*

w(t)

171

^ - * ( х ) -------

* H(f) —

w(t)

H(f)= 4j-[f+sign (zv-\f\)]

ных w (t)n H (f) собственные значения оператора

суть просто квадраты соб­

ственных значений оператора

— (ё 1 =

 

 

 

 

 

 

 

Указание. Показать, что

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

G a b o r

D. Theory

of communication. — «J.

1ЕЕ»,

1946, pt. Ill,

v. 93,

2.

p. 429—457.

и

Г и л ь б е р т Д. Методы математической физики. М.—Л.,

К у р а н т

P.

3.

ГИТТЛ,

1951.

 

Н.

The Optimum pulse-shape for pulse communication. —

C h а 1 k

J.

Н.

4.

«Ргос. 1ЕЕ», 1950, Pt. Ill,

v. 97,

p. 82—92.

constrained

inputs to

linear

P i e r r e

D. A.

Optimal time-limited energy

 

systems. Symposium on signal Transmission and

Processing. — «IEEE

Con­

5.

ference Record 4С9».

 

 

 

 

 

 

digital

Transmission. —

L a e m m e 1

A.

E. Optimum pulse shape for

 

«Proc. Symposium on Modern Network Synthesis». Polytechnic Institute of

6.

Brooklyn,

1955, p. 211—220.

 

J.

R. Data

transmission. McGraw-

B e n n e t t

W.

R.

and

D a v e y

7.

Hill, 1965.

T. Design of line-lource

antennas

for

narrow

beamwidth and

T a y l o r

 

 

low side-lobes. — «Trans. IRE-PG

on

Antennas and

Propagation»,

1955,

8.

v. AP-3, №

1,

p. 16—20.

 

J.

Note sur

un signal de duree finic et

V i 1 1 e J.

A. and

В о u z i t a t

 

d’energie

filtree

maximum. — «Cables et

Transmission», 1957, v. 11, № 2,

p.102—127.

9.Г у p e в и ч M. С. Сигналы конечной продолжительности, содержащие

 

максимальную

долю

энергии

в

заданной полосе частот. — «Радиотехника

10.

и электроника»,

1956, т. 1, №

3,

стр.

313.

 

 

 

 

 

functions.

S 1 е р i a n

D.

and

P o l i a k

Н. О. Prolate spheroidal wave

 

Fourier analysis and uncertainty — I. — «Bell sys. Tech. Jour.»,

1961, v. 40,

11.

№ 1, p. 43—63.

 

and P o l i a k

H.

O. Prolate spheroidal wave

functions.

L a n d a u

H. J.

 

Fourier analysis and uncertainty — II. — «Bell sys. Tech. Jour.»,

1961,

v 40,

12.

№ 1,

p. 65—84.

and P o l i a k

 

H.

O. Prolate spheriidal wave functi­

L a n d a u

 

H.

 

J.

 

 

ons. Fourier

analysis

and uncertainty — III.

The dimension

of

the

space

 

of essentially

time

and band-limited

signals. — «Bell

sys.

Tech.

Jour.»,

 

1962, v. 41, № 4.

 

of definitions

of duration (or «uncertainty»)

and the

13AZ a k a i

M. A

class

 

associated uncertainty relations. — «Information and

control»,

1960,

v. 3,

14.

№ 2, p. 101—115.

 

 

R.

A. On

the

uncertainty

relation

for

real

К а у

I.

and

S i l v e r m a n

 

signals. — «Information and control»,

1957,

v.

1, № 1,

p.

64—75.

 

 

15.В о u r r e t R. A Note on an information theoretic form of the uncertainty principle, — «Information and control», 1958, у, 1, № 4, p. 398—401.

16. L e i p n i к

R. Entropy

and

the

uncertainty

principle. — «Information

 

and control»,

1959,

v. 2,

№ 1,

p. 64—79.

 

 

 

17. Д ж e ф ф p ис

Г.

и

Д ж e ф ф p ис

Б. Методы математической физики.

18.

M., «Мир», 1969—1970, вып. 1—3.

 

 

transmission

theory. — «Trans.

N у q u i s t

H. Certain

topics

in telegraph

 

А1ЕЕ», 1928, v. 47, p. 617—644.

 

and

its

applications. McGraw-Hill,

19. P a p о u 1 i s

 

A. The

Fourier

integral

 

1962, ch.

3.

and

S z.-N a g у

В. Functional

analysis.

Frederick Ungar,

20. R i e s z

F.

21.

1955.

 

D.

and

S o n n e n b l i c k

E. Eigenvalues associated with

S 1 e p i a n

 

prolate spheroidal wave functions of

zero order. — «Bell

Sys. Tech. Jour»,

 

1965, v. 44, №

8, p. 1745—1759.

 

 

 

 

 

7

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

7.1. ВВЕДЕНИЕ

Часто случается, что в физических системах некоторые из источ­ ников сигналов способны вырабатывать одну из большого (часто не­ счетного) множества возможных функций времени. Для удобства ана­ лиза полезно ввести вероятностный закон, описывающий случайные появления каждого элемента такого множества. Множество (вместе с законом вероятности) есть ансамбль сигналов, вырабатываемых ис­ точником. Мы будем говорить, что такой источник вырабатывает сиг­ нал х, называемый случайным или стохастическим процессом. Опи­ сание случайного сигнального процесса должно быть совершенно от­ личным от описания точно известных, детерминированных сигналов. Однако некоторые из понятий, связанные с пространством сигналов (расстояние, норма, скалярное произведение, ортогональность), по­ лезны и для описания случайных процессов.

В наиболее интересных задачах два способа описания (детермини­ рованный и случайный) встречаются одновременно и жестко взаимо­ связаны. В этом мы убедимся, рассматривая задачу оптимальной филь­ трации в гл. 9, а также задачу нахождения оптимальных базис­ ных функций для случайных сигналов, рассматриваемую далее в этой главе.

Более точно определим случайный процесс как совокупность слу­ чайных значений, каждое из которых относится к своему моменту вре­

мени:

 

х = {х (0; *6 П-

(7Л)

Если Т — счетное множество, мы говорим, что х

процесс с дискрет­

ным временем, если Т — вещественный интервал, то х— процесс с непрерывным временем.

173

Смотрите также файлы