ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 162
Скачиваний: 1
предыдущей задачи, где минимизировалась энергия, содержащаяся вне заданного временного интервала, при условии, что энергия за пределами некоторой полосы частот не превосходит нужного уровня. Но, поскольку оптимальный импульс, полученный в предыдущей задаче, асимптотически убывает как 1 It, можно построить такую длинную последовательность импульсов, которая дает произвольно большие межсимвольные искажения в некоторый момент времени. Чтобы исключить такой эффект, нужно увеличить скорость спада ния «хвостов» одиночного импульса за счет подходящей весовой функции во временной области, например, положив w (t) = t2. В со ответствии со сказанным, мы формулируем новую задачу, выбирая
w(t) = t2 для всех t, |
(6.115) |
V if) — [1 sign(U^—|f |)].
Рис. 6.11. Импульсы с минимальным вторым моментом при заданной внеполосной энергии.
Требуется найти форму импульса с заданной долей энергии вне поло сы | / 1^ W, имеющего минимальный второй момент.
Необходимое условие (6.96) сводится здесь к простому дифферен циальному уравнению второго порядка в частотной области
-(2 я )2^ Х " (f) + X (/) = |
0 при |/| < W. |
|
||
. —(2я)2ц1Х " if) + |
(р2 + 1)Х if) = |
0 при | / 1> W. |
(6.116) |
|
Решение (6.116), удовлетворяющее граничным условиям х (±°°) = |
||||
— О и X (1Р+) = X (W~), |
которые необходимы, чтобы все функциона |
|||
лы были ограниченными, имеет вид |
|
|
|
|
A cos 2я —- для |
| f I ^ |
W, |
|
|
Х ф = |
W |
1 |
|
(6.117) |
|
|
|
||
Ле2яР (cos 2зта) е |
Р ^^ для |f |> W. |
|
||
Константы: А, а и р |
определяются подстановкой (6.117) |
в функ |
||
ционалы 1Ъ / 3 и / 3 и минимизацией / х при |
условиях / 2 = у и / 3 = 1. |
|||
6 Зак. 527 |
161 |
Это приводит к соотношениям
Y = ■----------------- |
cos2 2па |
, |
(6.118) |
1+ |
2па tg 2па |
|
|
|3 = |
a tg 2яа. |
|
|
В частности, для 7 = 0 получается а = 1/4, т. е. преобразование Фурье от импульса с ограниченной полосой и минимальным вторым моментом имеет вид «полукосинусоиды». Сам импульс (функция вре мени) состоит из двух сигналов вида (sin 2nWt)/Wt, раздвинутых на 1/2W сек. Как видно из рис. 6.11, сравнительно небольшое увеличение допустимой внеполосной энергии приводит к заметному укорочению и уменьшению величины «хвостов» оптимальных импульсов.
Синхронные импульсные последовательности, критерий Найквиста, теорема отсчетов
Если импульсная последовательность (6.113) синхронна в том смысле, что xk = kx0\ k = 0, ± 1 , ±2, ..., можно выбрать такие им пульсы, что межсимвольные искажения будут произвольно малыми даже при ограниченной полосе. Пусть амплитуды ak в (6.114) могут принимать произвольные значения. Тогда межсимвольные искажения
равны нулю в том и только в том случае, если х (kx0) = |
0 для k = ± 1, |
||
± 2 ... Это эквивалентно условию |
|
||
2 |
х2(£т0) = |
со |
(6.119) |
У x2(kx0)—x2(0) = 0, |
|||
k ; k j ^ 0 |
k ~ |
— оо |
|
которое может быть записано в виде квадратичного функционала от х
где |
(Лх, х) = 0, |
|
|
00 |
|
||
А Ц, х ) = |
(6.120) |
||
2 6(*-£т0)8(т—Лт0)-8(06(т). |
|||
k = |
— оо |
|
Согласно (6.24) соответствующий оператор в частотной области имеет вид (см. упражнение 4.3)
S ( / .v ) = — |
2 |
8 (f |
v —'j 1. |
(6.121) |
Х о |
m = |
— оо \ |
Го / |
|
Следовательно, квадратичный функционал в частотной области может быть записан так:
(53Х,Х)= f -L |
|
То |
\Х* if) df—J j X* if) X (v) dvdf. |
(6.122) |
J То |
|
|
|
|
Ясно, что (6.122) обращается в нуль, если |
|
|||
оо |
|
|
00 |
|
2 |
x ( f — — ' \ = т 0 j” X (v )< fv = T0 x ( 0 ) . |
(6 .1 2 3 ) |
||
m=—ot> V |
Г0/ |
2-ао* |
|
|
162
Условие (6.123) известно как критерий Найквиста [18] устранения межсимвольных искажений для последовательности с равноотстоя щими импульсами (см. также упражнение 1.11) Преобразование Фурье типичного сигнала, удовлетворяющего этому критерию, показано на
рис. 6.12. Заметим, что X (/) должно |
обладать |
нечетной симметрией |
||
относительно точки f = 1/2т0, чтобы сумма всех |
сдвинутых X (/) да |
|||
вала постоянную величину, согласно требованию (6.123). |
||||
Если рассматривать импульсы с |
ограниченной полосой W, кри |
|||
терий может быть удовлетворен |
при W > — — . Для W = 1/2т0 |
|||
» |
|
2т0 |
||
критерии удовлетворяется только при прямоугольной форме X (/): |
||||
X(f) = x0x(0) |
при |
1 / К - ! - , |
|
|
|
|
2т0 |
(6.124) |
|
X (/) = 0 |
при |
] f ] > ——. |
||
|
||||
|
|
2т0 |
|
|
Рис. 6.12. Преобразователь Фурье типичного импульса, удовлетворяю щего критерию Найквиста.
Дальнейшее, более глубокое, понимание критерия Найквиста
дает формула суммирования |
Пуассона |
[19], |
согласно которой для |
||||
произвольного х (/) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
_ 1_ |
|
= |
2 |
х |
е |
j 2 n k % 0 f |
(6.125) |
2 |
То |
|
|||||
|
|
||||||
То /=- |
|
k — — оо |
|
|
|
|
|
Следовательно, значения отсчетов х (/гт0) являются просто коэф фициентами Фурье для периодической функции
/
То То
Для того чтобы межсимвольные искажения отсутствовали, долж но выполняться условие х (кх0) = 0, k Ф 0, для чего необходимо, что бы левая часть (6.125) была константой. Эти соображения связаны с представлениями ограниченных по полосе сигналов с помощью рядов во временной области. Пусть х {t) и s (t) — сигналы, ограниченные по лосой W = 1/2т0. Тогда, как можно показать,
оо |
со |
(6.126) |
2 |
s{kxQ)x (t— kxQ) = V X{kx0)s{t—kx0). |
|
k = — оо |
k — — оо |
|
6 * |
|
163 |
Этот результат становится яснее, если взять преобразование Фурье от обеих частей (6.126) и применить формулу суммирования Пуассона (6.125). Мы получим
_1_ X(f) |
2 |
S |
1_ |
|
S(f) 2 |
x(f |
(6.127) |
То |
1 = |
— оо |
То |
То |
l = |
— оо |
|
что, очевидно, удовлетворяется, если X (/) = 0 и S (/) — 0 при / >
> Теперь положим, что s (/) — произвольный сигнал с ограничен- /То
ной полосой, а х (t) удовлетворяет условию Найквиста (6.123). В этом случае, положив ещех (0) = 1, находим из (6.126)
s(/)= 2 |
s(kx0)x(t- -kx0)= 2 |
s(kт0) sin (jt/Тр) (t — kт0) |
(6.128) |
|
k — — ОО |
(я/To) ( t — k To) |
|
Таким образом, мы получили теорему отсчетов для сигналов с ог раниченной полосой, которая обсуждалась в гл. 1. Мы показали, что произвольный сигнал, ограниченный полосой W, можно единствен ным образом представить своими отсчетами, взятыми через интервал II2W сек. Для сигнала конечной энергии только конечное число этих отсчетов существенно отличается от нуля. Если значащие отсчеты со средоточены на интервале 2Т= пх0, то их число равно п — ATW. Можно поэтому сказать, что класс сигналов с шириной полосы и дли тельностью, приблизительно равными W и Т, расположен в подпро странстве, имеющем 4TW измерений. Более полный анализ этого пред положения приведен в следующем параграфе.
Упражнение 6.10. Возьмем точку на линии с = 0 |
(см. рис. |
6.10) или ниже |
||||
ее. Нарисовать сигнал, обладающий соответствующей |
концентрацией |
энергии |
||||
в частотной и временной областях для очень малых значений с. |
|
сигнала |
||||
Упражнение 6.11. Найти |
преобразование |
Фурье |
вещественного |
|||
с единичной энергией, ограниченного по полосе и имеющего |
минимальный чет |
|||||
вертый момент, т. е. положить в (6.94) |
|
|
|
|
|
|
W (0 = <*, V (/) = \ |
[1 + sign (W - |
|J5 J)], |
/ 2 = |
I 3 = |
1. |
|
6 .8 . ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧИСЛО ИЗМЕРЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА СИГНАЛОВ
К проблеме неопределенности непосредственно примыкает во прос о возможном разбиении сигналов на классы, исходя из ограниче ний, наложенных на их длительность и ширину полосы. Более конкрет но мы постараемся определить такой базис конечномерного подпро странства, который позволяет получить представления всех сигналов из некоторого ограниченного класса. Предположим, мы можем клас сифицировать сигналы с помощью линейных операторов Л. Класс сигналов задается при этом так:
{у; У = Л х для всех x6L2(— оо, с»)}. |
(6.129) |
164