Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Для стационарного процесса, как следует из (7.18), среднее зна­ чение не зависит от времени, а автокорреляция зависит только от раз­ ности т — tx— 1%. Если процесс стационарен, принято записывать ав­ токорреляционную функцию, как функцию одного аргумента т.

Итак, мы имеем

kxx (т) — Е [х (t -f-т) х (£)]) не зависят от t

х = £[х(^)] /для стационарных процессов.

[цМ-уа+тЩ

т

Рис. 7.1. Типичные реализации (а), автокорреляционные функции (б), средний квадрат флюктуаций (в) для быстро и медленно флюктуиру­ ющих процессов.

Если условие (7.21) выполняется независимо от более сильного усло­ вия (7.18), мы говорим, что процесс стационарен в широком смысле.

Из симметрии и неравенства Шварца следует, что

kxx{^)^kxx{~x) и I kxx(т) | ^ kxx(0) = х2.

Представляется естественным, что автокорреляционная функция характеризует частотные свойства случайного процесса. Предполо­ жим, что х — стационарный в широком смысле процесс, и мы инте­ ресуемся средним квадратом его изменения за время т:

179

Если процесс флюктуирует быстро (содержит высокие частоты), от­ счеты, взятые через относительно малый интервал, будут иметь малую корреляцию. Автокорреляционная функция окажется в этом случае сравнительно узкой. Напротив, процесс с медленными флюктуациями (содержащий только низкие частоты) будет иметь относительно протя­ женную автокорреляционную функцию. Это иллюстрируется на рис. 7.1.

Сравнивая (7.22) с (2.39), можно видеть, что автокорреляционная функция стационарного процесса вполне аналогична временной функ­ ции неопределенности детерминированного сигнала конечной энергии. Более подробное описание частотных свойств стационарных процессов дано в следующем параграфе.

7.4.ДВУМЕРНЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Вэтом параграфе мы попытаемся распространить предыдущие понятия на свойства двух случайных процессов, каждый из которых может быть комплексным. Комплексный случайный процесс х есть,

всвою очередь, совокупность двух вещественных случайных процес­ сов хя и X/.-

Чтобы автокорреляция комплексного процесса х соответствовала ска­ лярному произведению в комплексном линейном пространстве, один из сомножителей должен быть взят комплексно-сопряженным. Поэто­ му мы вводим определения

Два процесса образуют двумерный случайный процесс, если они опре­ делены на одном и том же пространстве выборок. Важной общей харак­ теристикой двух процессов является корреляция между всеми парами случайных значений разных процессов. Эта корреляция называется

Если х и у совместно стационарны в широком смысле, то кросс-кор­ реляция зависит только от разности т = tx—у в этом случае мы опре­ деляем кросс-корреляционную функцию в виде

180

Фильтрация случайных процессов

Наибольший интерес представляет случай, когда х и у связаны линейным преобразованием. Пусть стационарный в широком смысле процесс х пропускается через фильтр с постоянными параметрами,

Фи л ь т р

Спостоянными параметрами

y(t) =fb(i-d)x(&)t£6

b(t)

bax(T )= fh (z-6 )k J 6 )d 6

%y M =fh*(6-z)k^(6Jc(6

Рис. 7.2. Фильтрация стационарного в широком смысле процесса.

Мы получили интересный результат. Кросс-корреляционная функция процессов на входе и на выходе фильтра связана с автокорреляцион­ ной функцией входного процесса тем же линейным преобразованием свертки, которое преобразует сигналы на входе в сигналы на выходе. В свою очередь, автокорреляционная функция выходного процесса также связана с автокорреляционной функцией входного процесса интегралом свертки. Действительно,

кп (T)= £ [y (* + T)y*W] =

— OP

181

где Н (f) — частотная характеристика фильтра.

Спектральная плотность мощности

Преобразование Фурье от автокорреляционной функции имеет большое значение для характеристики частотных свойств стационар­ ных случайных процессов. Это преобразование Фурье называется

спектральной плотностью мощности процесса, так как оно определя­ ет долю общей мощности (среднего квадрата флюктуаций), связанную со спектральными компонентами в каждом интервале частот. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим фильтр того же типа, что на рис. 7.2, но физически нереализуемый, имеющий узкую полосу пропускания Af и среднюю частоту / (рис. 7.3)

Подсчитаем средний квадрат процесса на выходе фильтра. Используя соотношение

Подставляя (7.32) в (7.31) и (7.33), для достаточно узкой полосы на­ ходим

Итак, мы можем интерпретировать Кхх какфункцию'плотности, причем fz

I Кхх ('v)dv есть доля среднего квадрата процесса х, обусловленная ft

частотными компонентами между /у и /V Определенная таким образом функция плотности содержит компоненты как при положительных, так и при отрицательных частотах. В случае вещественных процессов kxx (т) действительна и четна, следовательно, Кхх (/) также действи-

182

тельна и четна, т. е. структура спектра одинакова для положительной и для отрицательной полуосей.

Теперь поясним, почему мы связываем плотность Кхх с мощно­ стью процесса х. Такая терминология удобна, но не всегда удачна. Во многих важных случаях можно принять, что стационарный про­ цесс обладает также свойством эргодичности. Эргодический процесс [2] — это такой стационарный процесс, для которого среднее по вре­ мени от квадрата любой реализации равно (с вероятностью 1) среднему квадрату процесса (при усреднении по ансамблю):

н м

1-

Рис. 7.3. Гипотетический фильтр для определения частотного состава стационарного процесса в узкой полосе вблизи f.

Выражение в левой части (7.35) представляет собой мощность детер­ минированного сигнала х (t, со). В большинстве задач, рассматривающих случайные процессы, предположение эргодичности не используется. Но важным исключением являются задачи, связанные с использова­ нием результатов измерения сигналов, ограниченных во времени, в качестве оценок спектральной плотности мощности [4]. Мы будем ши­ роко пользоваться термином «спектральная плотность мощности» при­ менительно к произвольному стационарному в широком смысле про­ цессу. Особым стацинарным процессом, часто используемым как при­ ближенная модель реального процесса, является белый шум, харак­ теризуемый постоянной спектральной плотностью мощности, т. е. Кхх (Ь — К0 (em/гц). Автокорреляционная функция этого процесса есть Кхх (т) = N08l(x). Поэтому различные отсчеты х (7,) и х (t2), сколь бы они ни были близкими во времени, некоррелированы. Заметим, что средний квадрат такого процесса бесконечен.,

Упражнение 7.1. Показать, что сечение функции неопределенности вдоль оси времени любого вещественного сигнала ограниченной энергии может быть автокорреляционной функцией вещественного случайного процесса с конечной дисперсией и нулевым средним.

183