ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 165
Скачиваний: 1
приводит к однородному дифференциальному уравнению с постоян ными коэффициентами, решение которого содержит некоторое число произвольных постоянных. Последние можно найти путем подстанов ки полученного решения в интегральное уравнение. Подробнее этот метод изложен в [9] и [10]. Методы решения для случаев некоторых «нерациональных» ядер имеются в [11].
Упражнение 7.8. Стационарный с нулевым средним белый шум, имеющий плотность N0 = 1/jt/o (вт/гц), фильтруется ДС-цепочкой с функцией передачи
1
Я(/) =
1+ ; ( Ш ‘
а) Показать, что профильтрованный процесс имеет единичную дисперсию. б) Показать, что математическое ожидание энергии для реализации про
цесса в интервале \ t ] < Т равно 2Т.
в) Найти оптимальную систему базисных функций для я-мерного разло жения реализации процесса при \ t \ < Т.
г) Определить примерное число членов разложения, такое, что при ис пользовании оптимального базиса средний квадрат нормы ошибки Е (s, е) будет меньше 0,01 (2Т).
Указание. Покажите, что при больших я собственные значения уравне ния (7.50) в этом случае приближенно составляют
4f0T
^П+1 ; я/о
д) Для сравнения рассмотреть разложение по функциям типа прямоугол ных импульсов. Пусть я четно, а импульсы ортонормированны:
{?;; Фг(0 = ф V — ЯТ/п + Т), i = 1, 2, ..., я},
как показано на рисунке.
Сколько членов (по сравнению с оптимальным базисом) нужно взять, чтобы получить ту же среднюю точность?
Указание. Покажите, что в данном случае
2Т
П |
|
kxx (t — s) Фi (s) (/) dtds = 2n J e—2nfot |
dt |
о
и получите разложение последнего интеграла по степеням (f0T/ti), после чего используйте (7.41).
189
7.6.УЗКОПОЛОСНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Вэтом параграфе мы рассмотрим некоторые описания стационар ных узкополосных процессов, т. е. процессов, спектральная плотность мощности которых концентрируется около некоторой центральной ча стоты. Потребность в специальном рассмотрении таких процессов точ но такая же, как для детерминированных узкополосных сигналов, рас смотренных в § 4.4. Для случайных процессов мы также хотим вос
пользоваться преимуществами, присущими узкополосным |
сигналам |
|
и узкополосной операции фильтрации. |
|
|
Мы начнем, как и в § 4.4, с рассмотрения комплексного процесса, |
||
связанного с вещественным процессом х соотношением |
|
|
ф = х + / х , |
(7.56) |
|
где |
|
|
|
оо |
|
x(f) = — |
J t — S |
(7.57) |
Я |
|
|
|
----- СО |
|
— преобразование Гильберта от х (t). |
нулевым |
|
Пусть х стационарный в широком смысле процесс с |
||
средним. Тогда х также стационарный в широком смысле процесс с ну
левым средним. Компонента антным к временному сдвигу реляционную функцию, как
х, связана с х преобразованием, инвари (сверткой). Можно поэтому записать кор функцию одного аргумента:
&ФФ(т) = Е [ф (t + т) ф* (*)] = £[{х (*+ т) + / х (t + т} {х (*)— /х (*)}] =
= kxx{%) + kxx (*) + /[* « (т)—&2 (*)]■ |
(7.58) |
Каждую из корреляционных функций в (7.58) можно выразить через kxx (т). Например,
kx£ (т) = £ [х(Н-т)х(/)] =
оо |
|
|
оо |
оо |
(6) dl |
==± r C E [ x ( s ) x ( o ) l _ d a ds = ± |
Г ----!----- |
Г |
|||
я2 JJ (Н-т—s)(t—а) |
|
я 2. |
J t —s + t |
J |
t —s—l |
---ОО |
|
|
— оо |
— оо |
|
или, учитывая (4.246), |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
= — |
f |
1 , |
kxx(t— s)ds. |
|
|
Я |
J |
t — S + T |
|
|
|
|
—00 |
|
|
|
|
Теперь, используя (4.24а) и тот факт, что автокорреляционная функ ция действительного процесса четна, находим
kx х (т) = kxx (—т) = kxx (т). |
(7.59) |
Подобным образом можно получить также
AS*(t)= £**(T)f |
(7.60а) |
190
kXx(r) = \ x (— т )= |
—kxx(%). |
(7.606) |
Подставляя (7.59) и (7.60) в (7.58), мы видим, что |
(т) сама имеет |
|
форму аналитического сигнала (4.37) |
|
|
kФФ(т) = 2kxx(т) + |
/2 kxx (т). |
(7.61) |
Этот результат показывает, что спектральная плотность мощности ком плексного процесса однополосна, т. е. отлична от нуля только при по ложительных частотах. Этого и нужно было ожидать, учитывая однополосность аналитических сигналов, обсуждавшуюся в § 4.4. Из
(4.28) имеем
„ ... |
(4/С**(/) |
для |
/ > 0 , |
(7.62) |
|
^ • ф(/) = |
\0 |
для |
/ < 0 . |
||
|
Комплексная огибающая процесса
Теперь определим комплексную огибающуюпроцесса у (относительно выбранной «центральной» частоты /0) выражением
(7.63)
причем у = u + / v. Таким образом, узкополосный процесс собразуется из двух узкополосных процессов —квадратурных компонент и и v:
x(t) = u (t) cos 2nf0t — v (t) sin 2nf01• |
(7.64) |
Так как сомножители в (7.63) и (7.64) зависят от времени, представляет ся неочевидным, что и и v есть стационарные в широком смысле про цессы. Чтобы убедиться в их стационарности, заметим, что
u (t) = Re у (t) = |
[ф (t) e~i2nf<>1-f ф* (t) |
*] |
(7.65) |
и, следовательно, |
|
|
|
E [u (t + t) u {{)} = |
-j- {E [ф (t + т) ф* (*)] e -i2ltf«* -f |
|
|
-f- E [ф* (t + т)ф (^)] е'2я^ T + E [ф (t + т) ф (^)l e~i2nf»W+x) |
|_ |
||
-\-E [ф* (Н-т) ф* (^)] ei2nf«(2<+t)}. |
|
(7.66) |
|
В (7.66) последние два члена (зависящие от t) равны нулю в силу условий (7.59) и (7.60):
Е [ф (t + х) ф (/)] = Е[{х (t + т) + / х (t + т)} |
(х (/) + / х ({)}] = |
|
= Kx(x)—k*x (t) + ilkxx (x) + |
fe«(T)] = 0. |
(7.67) |
Таким образом, автокорреляционная функция процесса и не зависит от t и, кроме того, и имеет нулевое среднее значение (поскольку мы предположили, что х имеет нулевое среднее значение). Это означает, что и — стационарный в широком смысле процесс, и (7.66) дает
К и (т) = -7ft - [ £ « (т )е -/2л?«' + й; ф(т) e'2ltf»'] =
191
= kxx (т) cos 2я/о х + kxx (т) sin 2я/0х. |
(7.68) |
Аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что |
|
Е [v (гЧ-т) v (/)] = kvv(х) = kuu (т), |
(7.69) |
Е [v (t 4-т) и (/)] = kvu (т) = — kuv(т) = |
|
= kxx (т) cos 2я/0 х—kxx (т) sin 2я/0 т. |
(7.70) |
Окончательно находим |
|
kyy (т) = /Цф (х) e~i2n?o г = 2kuu (х) + j2kBU(х). |
(7.71) |
Рис. 7.4. Спектральная плотность комплексной огибающей про цесса.
Спектральная плотность мощности комплексной огибающей про цесса образуется путем сдвига (по частоте) односторонней спектральной плотности процесса if, как показано на рис. 7.4,
^ |
^ |
(/ “Ь/о)= ^Кхх (f ~Ь /о) |
при f |
/0, |
(7 72) |
VT |
1 |
0 |
при / < |
—/о- |
|
Заметим, что если Куу (/) — четная функция (Кхх (/) симметрична от носительно /0), то kyy (т) — вещественна, и, как следует из (7.71), квадратурные компоненты процесса некоррелированы.
Полосовая фильтрация
Применяя результаты § 4.4, рассмотрим воздействие на процесс полосового фильтра с постоянными во времени параметрами, причем будем искать адекватное описание оператора фильтрации через низко частотные компоненты, низкочастотные эквиваленты полосовых про цессов. Для случайных процессов важно найти линейное преобразова ние, связывающее автокорреляционные функции (7.30) и (7.31) на входе и выходе фильтра. Мы получим низкочастотный эквивалент это го преобразования.
Пусть полосовой фильтр имеет передаточную функцию R (/), низ кочастотный эквивалент которой есть Л_(/). Согласно (7.31) линейное
192
преобразование, связывающее входную и выходную корреляционные функции, имеет вид
**.*,(/) = ! * ( /) № ,* ( /) • |
(7-73) |
Из (4.57) мы знаем соответствующую связь комплексных огибающих процесса
КугУг if) — |
-Л(/) *ViV, (f)- |
(7-74) |
Узкополосное преобразование
* х (t)
*г *г
if
Рис. 7.5. Низкочастотный эквивалент преобразования, связывающего авто корреляционные функции на входе и выходе.
Чтобы выявить корреляционную функцию вещественного низкочастот ного процесса, нужно в соответствии с (7.71) определить вещественную и мнимую части автокорреляционной функции комплексного процес са. Они соответствуют, в свою очередь, четной и нечетной частям спек тральной плотности мощности комплексного процесса. Выполним раз биение (7.74) на четную и нечетную части:
Кигиг(/) = |
Чет |
-Л(/) |
' Кщиш(/) + / Нечет |
КЩиЛП, |
|
|
|
|
(7.75) |
Kv2\u, (/) = —/ |
Нечет |
— Л (/) KulUl(f) + Чет ~ M f ) KvlU. (f), |
||
причем согласно рис. 4.6 |
|
|
||
Чет |
i Atf) |
А (/) |
■А(—7)]|2[ |
|
|
|
= |
I 44 (/) |3 + 1А (/) |г, |
(7.76) |
7 З ак . 527 |
193 |
Нечет i A ( f ) |
■Л(/) |
i A ( - / ) |
(7.77)
Линейные преобразования автокорреляционной и кросс-корреляцион- ной функции (а не самих сигналов) символически показаны на рис. 7.5. Видно, как при несимметричной характеристике полосового фильтра возникает корреляция между разными квадратурными компонен тами процесса. Это важно учитывать, например, при анализе работы разного рода когерентных демодуляторов, примеры которых были в § 4.4.
Упражнение 7.9. По аналогии с (4.48) можно выбрать «центральную» частоту вещественного полосового процесса как центр тяжести односторонней спектральной плотности мощности, т. е.
оо
JfK.xx (/) 4/
J к хх (/) df
о
В гл. 4 было показано, что величину /0, определенную согласно (4.48), можно интерпретировать как среднее по времени значение мгновенной частоты сигнала, причем весовой функцией является огибающая сигнала.
Показать, что аналогичная интерпретация применима для стационарных случайных процессов, если f0 определено в виде
_ |
E[w2 (t) f; (Q] |
|
° |
E [ю*«)] |
’ |
где |
|
|
fi (0 = ■grcJa |
[x (0 X (0 —X (0 X (/)], |
|
w2 ( 0 = x 2'(0 + x 2 (0-
Указание. Дифференцирование по времени и преобразование Гильберта следует трактовать как операции фильтрации при неизменных во времени пара метрах фильтра.
|
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
|
|
|
|
||
1. |
L o e v e |
М. Probability Theory. Van Nostrand, Ch. X, |
1955. |
функций |
||||
2. |
Я г л о м |
А. |
М. Введение в |
теорию |
стационарных |
случайных |
||
3. |
«Успехи математических наук», |
вып. 5, |
1952. |
and |
Stochastic |
process. |
||
Р а р о u 1 i s |
A. Probability |
random |
variables, |
|||||
4. |
McGraw-Hill, |
1965. |
The measurement |
of power spectra, Dover, |
||||
B l a c k m a n |
a n d T u k e y . |
|||||||
|
1958. |
|
|
|
|
|
|
|
5.J o r d a n K- L. Discrete representations of random signals, — «MII-RLE Report», 1961, № 378.
6. |
B r o w n J. |
L. |
Mean square truncation error in series expansions of random |
7. |
functions. — «J. |
SIAM». 1960, v. 8, № 1, p. 28—32. |
|
К у р а н т |
P., |
Г и л ь б е р т Д. Методы математической физики, т. 1, |
|
|
Гостехиздат, |
1951. |
|
194