ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 167
Скачиваний: 1
Упражнение 7.2. Для стационарного в широком смысле процесса с конеч ным средним квадратом показать, что kxx (т) — непрерывная функция т.
Указание. Применить неравенство Шварца к скалярному произведению
Е [{х (t + |
т + |
е) — х (/ + т)} х* (01- |
|
|
||
Упражнение 7.3. Пусть х (t) — вещественный |
стационарный |
ограничен |
||||
ный по полосе процесс [в том смысле, что Кхх (/) = |
0 для \fi\> W], |
Показать, |
||||
что средний квадрат |
вариации |
Е [{х (t) — х (t + |
т)}2] |
ограничен |
величиной |
|
(2nWT)'2E [х2 (<)]. |
что |
|
|
|
|
|
Также показать, |
|
|
|
|
|
|
kxx (т) > |
kxx (0) cos 2nWx для | т | |
< |
1/4 W |
|
||
и что |
|
|
|
|
|
|
kxx (т) > 1/2 [kxx (0) + kxx (2т)] для I t | < HAW.
Упражнение 7.4. Предположим, что на входе линейного фильтра с посто янными параметрами, имеющего импульсную реакцию h (t), действует стацио нарный в широком смысле процесс. Показать, что средний квадрат выходного процесса есть квадратичный функционал от h (t). Написать соответствующий опе ратор и показать, что он самосопряжен и неотрицательно определен.
Упражнение 7.5. Для фильтра, представленного на рис. 7.2, показать,
что
00 |
|
kyy (Т) = J |
h* ( а — т) kyx (о) da. |
— ОО |
|
Упражнение 7.6. Предположим, |
что стационарный в широком смысле про |
цесс подвергается линейному преобразованию (не обязательно инвариантному во времени), характеризуемому импульсной реакцией h (t, s). Выразить автокор реляционную функцию сигнала на выходе и кросс-корреляционную функцию сигналов на входе и выходе как линейные преобразования входной автокорре ляционной функции kxx (т)-
Упражнение 7.7. При определении автокорреляционной функции комп лексного стационарного в широком смысле процесса мы могли бы принять
kxx W = Е [х (t) х* (t + т)].
Дать физическую интерпретацию преобразования Фурье от kxx (т)> поясняю щую необходимость определения автокорреляционной функции в виде (7.25).
7.5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
В этом параграфе мы рассматриваем вопрос не только имеющий самостоятельное значение, но важный своими приложениями [5, 6]. Он в равной мере затрагивает обсуждаемые далее проблемы: 1) опти мизации, 2) проектирования на конечномерные подпространства из L2 (Т), 3) геометрических понятий (выражаемых через ожидания), связанных с пространством случайных величин, и 4) спектрального представления операторов.
Этот вопрос формулируется просто. Мы хотим найти оптималь ный п-мерный базис (в L2 (7)) для представления отдельных реализа ций случайного процесса, такой, что норма ошибки в L2 (Т), усреднен ная по ансамблю реализаций, минимальна. Мы покажем, что для ре шения этой задачи нужно лишь, чтобы автокорреляционная функция процесса была известна. Эвристически имеется близкая аналогия меж-
184
ду этой задачей и задачей, обсуждавшейся в § 6.8. Тогда мы искали оптимальный базис для класса сигналов, полученных в результате отображения пространства L2 (— оо, оо) компактным оператором. Теперь сигналы задаются своей автокорреляционной функцией. Для полноты аналогии можно считать, что эта функция задает процесс, полученный путем линейной фильтрации (с неизменными во времени параметрами) белого шума. Мы не требуем, чтобы оператор фильтра ции был компактным, требуется лишь, чтобы он был инвариантным во времени. Вместо этого мы получим компактное множество сигналов, рассматривая представления только для ограниченных интервалов времени. Причина такого ограничения связана с тем, что многие важ ные процессы (например, стационарные) имеют достаточно характер ные реализации, ограниченные по времени. Поэтому не имеет смысла проектировать эти реализации на конечномерные подпространства, состоящие из функций, определенных на всей оси времени.
Разложение Карунена — Лоэва
п-мерное представление для отдельной реализации хш имеет вид
П |
|
|
|
|
|
х (t, ю) « 2 |
а, фг (t); |
\t |
| < Т. |
(7.36) |
|
i=i |
|
|
|
|
|
Мы полагаем для удобства, что |
{фг (^)) — ортонормальный |
базис в |
|||
L2 ( - Т ; Т), т. е. |
|
|
|
|
|
$ Фг(*)ф/ (t)dt = bu . |
(7.37) |
||||
—г |
|
|
|
|
|
Тогда норма ошибки в L2 (—Т, |
Т) |
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
8Щ= хм |
|
2 |
ф; |
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
принимает минимальное значение |
для выбранной реализации, если |
||||
коэффициенты а г удовлетворяют |
условию |
|
|
||
|
г |
|
|
|
|
«г = (хш. фг) = |
|
§ * (t, ®) Ф* (t) dt. |
(7.38) |
||
|
—т |
|
|
|
|
Квадрат нормы минимальной ошибки имеет значение |
|
||||
|
|
|
П |
|
|
(е<о, еш) = (хи, хш)— 2 |
I «г |2- |
(7.39) |
|||
|
|
|
i = 1 |
|
|
Заметим, что^(еи, еа) и {аг }"случайны, это есть реализации соот ветствующих случайных величин, причем их статистические свойства зависят от выбора базиса {срг}. Мы попытаемся так выбрать п базисных функций {<рг}. чтобы математическое ожидание случайной величины
185
(г, г) было минимальным. Обозначим через / ф среднее значение квад рата нормы, т. е.
/ Ф= Е [(е, е)] = Е [(х, х)] —Е 2 |
I «г I2 |
(7.40) |
i—1 |
|
|
Изменив порядок усреднения и интегрирования, с учетом (7.38) по лучим
/ Ф= jj Е [х (*) х* (*)] dt — |
^ |
J $ Е Iх М х* (s)l Ф* (0 9i («) Л ds = |
||
|
|
i= l |
|
|
= J £,,(*. 0 * |
— |
2 |
$$***(*• s) Ф* (О Ф * (« )^ 5 . |
(7.41) |
—V |
г = 1 —Т |
|
||
Первое слагаемое в (7.41) не зависит от |
{фг}. Поэтому задача состоит |
||
в том, чтобы найти п ортогональных функций, |
максимизирующих ве |
||
личину |
|
|
|
n Т |
п |
|
|
s) Ф* W Ф* (s) d t ds = 2 |
М* Ф*. Ф;)- |
(7-42) |
|
i= 1 —Г |
i= 1 |
|
|
Максимизируемая величина (7.42) есть сумма квадратичных функцио налов. Условия максимума нетрудно выявить, если учесть, что ядром интегрального оператора А х.
т |
|
A x y{jt)= ^ k xx(t,s)y(s)ds |
(7.43) |
—т |
|
является автокорреляционная функция процесса с конечным средним квадратом. Это позволяет сделать ряд заключений о свойствах опера тора. Легко видеть, что А х есть оператор: 1) типа Гильберта — Шмид та, 2) самосопряженный и 3) неотрицательно-определенный. Свойство 1 следует из квадратичной интегрируемости ядра (5.72), которая, в свою очередь, следует из того, что kxx (t, s) ограничена, а интервал интегрирования конечен. Свойство 2 следует из симметрии kxx (t, s) = = k*xx (s, t), соответствующей (5.95). Для доказательства свойства 3
заметим, |
что для всякой функции ср (Ах tp, 9) |
= Е [|х, ф |2] ^ 0 . |
Учитывая указанные свойства, можно заключить, |
что: |
|
1. |
Собственные значения образуют счетную квадратично-суммир |
|
емую последовательность. Они вещественны и неотрицательны. Мы можем расположить их в порядке убывания:
К > •••■ (7.44)
2.Ядро может быть представлено равномерно сходящимся рядо
по собственным функциям {фг} |
оператора А х- |
|
|
kxx(t,s)= |
оо |
|
(7.45) |
2 |
ф|(ЭД>*(«)• |
||
|
i=i |
|
|
186
3. Собственные функции могут быть ортонормированы так, что
|
( X Фп %) = (*л Фп Фу) = К |
|
(7-46) |
||
Далее нетрудно показать [7], что, |
применяя оператор |
Л х к произволь |
|||
ной системе функций {<pj, получаем |
|
|
|
||
п |
п |
|
п |
К- |
|
2 |
(Л < Ь Ф * Х 2 |
(Х Ф п Ф Х |
2 |
(7.47) |
|
»=1 |
1=1 |
|
/ = 1 |
|
|
Мы убедимся в этом, если будем почленно максимизировать выражение в левой части (7.47). Сначала найдем функцию tpx единичной нормы, которая обращает в максимум квадратичный функционал {Лхф, ф). Из (6.47) следует, что = фг. Далее найдем функцию ф2, также еди ничной нормы, такую, что она ортогональна к фх и тоже дает макси мум функционалу (Лхф, ф).Мы приходим к ф2 = ф2 и, продолжая этот
процесс, к фг = |
фг для всех i = 1,2, |
..., п. Для найденного оптималь |
|||
ного базиса формула (7.41) дает |
п |
|
|
||
|
г |
|
|
|
|
|
7ф= ^ |
Kx{t,t)dt— 2 |
(ХФпФ;)- |
(7.48) |
|
|
- Г |
i |
= |
l |
|
Подставив (7.45) |
и (7.46) в (7.48), получим далее |
|
|||
|
оо |
п |
|
оо |
|
|
/♦ = 2 |
Л.* (Ч>1, Ч»|)— 2 |
Л.* = 2 К |
(7.49) |
|
|
1= 1 |
{= |
1 |
/= л + 1 |
|
Резюмируя все предыдущее, можно заключить, что n-мерное под пространство в L2 (—Т, Т), оптимальное для представления реализа ций случайного процесса на инвервале | / 1^ 7\ натянуто на л собст венных функций уравнения
т
J ***(*. s) iMs) ds = Я* фДу), |
(7.50) |
—г |
|
соответствующих л наибольшим собственным значениям Аг. Средний квадрат нормы ошибки есть сумма остальных собственных значений. Этот результат очень полезен, так как мы легко можем установить, сколь много можно выиграть, если добавить еще несколько членов раз ложения. Естественно, с увеличением Т собственные значения в об щем возрастают и нужно больше членов разложения, чтобы получить приемлемую точность [8].
Разложение случайного процесса, использующее оптимальный базис,
*(*)« 2 « X W; \t\< T , i= 1
называется разложением Карунена — Лоэва [3, 51. Коэффициенты этого разложения есть ортогональные случайные величины, поскольку
Е [ог а*] = £[(х, фг) (х, ф/)*] =
187
= jj 5 Kx (t, s) Ф* (t) (s) dt ds = XJ8U. |
(7.51) |
—T |
|
Если x —процесс с нулевым средним, то коэффициенты а г также име ют нулевые средние значения и они некоррелированы (линейно не
зависимы).
Когда среднее значение процесса отлично от нуля, можно улучшить качество представления, не увеличивая числа членов, если добавить некоторое слагаемое р, (t) к разложению каждой реализации. Покажем, что мы выберем р (t) наилучшим образом, если просто добавим сред
нее значение процесса х (t) независимо от базиса |
{<рг}. Представление |
|||||||
|
X (t)« 2 |
«г Фг U) +и-(f); |
\t | < |
т |
(7.52) |
|||
|
|
(=i |
|
|
|
|
|
|
эквивалентно тому, что в |
(7.36) |
для |
случайного процесса |
у (t) = |
||||
= х(0 —р (t) мы выбрали для каждой |
реализации а г = (Хо,—р, фг) и |
|||||||
|
( |
|
П |
|
|
П |
|
|
|
Х(0— р — 2 а г Фг. Хш — р — 2 «гф« |
|
||||||
|
|
|
1 |
п |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(Ха |
р . Хщ |
р) |
2 |
|(Ха —р,фг)|2. |
(7.53) |
||
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
Математическое ожидание квадрата нормы ошибки рацно |
|
|||||||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
/ ф = £[(е, е)] = |
£[(х, х)]— 2 Е [|(х, фг)|3]—(х,х) + |
|
||||||
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
+ 2 |
|(х,фг)|2 + |
Цх—р | Г — 2 |
|(х —р,фг)|2. |
(7.54) |
||||
i—1 |
|
|
|
i—1 |
|
|
|
|
Здесь только два последних члена зависят от р (t). Из неравенства Бесселя (3.21) следует, что для любого р (/)
II х —р ||2— 2 I(x — Р, фг)|2> 0 - |
(7.55) |
• /—1 |
|
Ясно, что минимум /ф достигается при р (t) = х (t). Следовательно, если мы вычтем среднее значение процесса, оптимальный я-мерный ба зис будет образован собственными функциями (с наибольшими я соб ственными значениями). Этот базис соответствует автокорреляционной
функции процесса у = х —х, или, что эквивалентно, автоковариационной функции процесса х. В этом случае коэффициенты разложения Карунена — Лоэва имеют нулевые средние значения и некоррели рованы.
Что касается методов решения уравнения (7.50), то для стационар ных процессов, спектральные плотности которых есть рациональные функции, обычно используется обобщение дифференциального метода, примененного нами для решения уравнения (6.58). Такой метод
188