ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 1
8. |
В а н |
Т р и с |
Г. |
Теория обнаружения, |
оценок и модуляции, f. |
1, |
«Сов. ра |
||||||
|
дио», |
1972. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
S 1 е р i a n D. Estimation |
of |
signal |
parameters |
in the |
presence |
of |
noise. — |
|||||
|
«Trans. IRE», |
1954, v. |
IT-3, p. 68—89. |
|
|
|
|
|
|||||
10. |
Д а в e н п о p т |
В. |
Б. |
и |
Р у т |
В. |
Л. Введение |
в теорию |
случайных |
||||
|
сигналов и шумов. ИЛ, М., 1960. |
|
|
|
|
|
|
||||||
11. |
K a i l a t h |
Т. Some |
integral equations with |
«Nonrationab |
kernels. — |
||||||||
|
«Trans. IEEE», |
1966, IT-12, № 4, p. 442—447. |
|
|
|
|
|||||||
8
МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
8.1.ВВЕДЕНИЕ
Вгл. 7 дано описание случайных процессов с помощью корреля ционных функций. Ниже, в гл. 9 мы продемонстрируем возможности такого описания в решении разнообразных задач. Но предварительно полезно рассмотреть корреляционные свойства некоторых процессов. Прежде чем постулировать какую-то корреляционную функцию изу чаемого процесса или выявить ее путем соответствующих тщательных измерений, часто целесообразно сконструировать математическую модель изучаемого физического процесса. Это целесообразно потому, что физический механизм, порождающий различные реализации про цесса, нередко можно понять, анализируя природу явления, и тогда
статистические характеристики процесса выявляются аналитически, ос таются неизвестными только численные значения соответствующих физических параметров. Такие параметры, как правило, измерить лег че, чем корреляционную функцию в целом. Обычно математическая модель, включающая лишь несколько наиболее важных параметров, обеспечивает подходящее описание процесса. Корреляционная функ ция может быть определена из такой модели аналитически, в резуль тате чего задача физического исследования существенно упрощается
Подробное изучение способов моделирования процессов, очевидно, выходит за рамки этой книги. Мы лишь рассмотрим модели тех про цессов, которые в силу физического механизма, их порождающего, представляют собой случайные во времени последовательности им пульсных сигналов. Мы найдем средние значения и автокорреляцион ные функции этих процессов. Некоторые результаты будут использо ваны в гл. 9.
8.2. ИМПУЛЬСНЫЕ СИГНАЛЫ СО СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДОЙ
ИСЛУЧАЙНЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРИХОДА
Внекоторых системах, скажем в радио-и звуколокации, сигналь ные импульсы достаточно далеко разнесены во времени, так что модель сигнала представляет собой одиночные импульсы известной формы, отраженные от цели. Поскольку отражающая поверхность цели и ее
7* |
195 |
дальность не известны, амплитуда й время прихбда отраженного им пульса могут рассматриваться как случайные величины. В некоторых случаях, например при наличии нескольких целей, сигнал состоит из нескольких импульсов со случайной амплитудой и случайными мо ментами прихода. Эта простейшая модель рассматривается в следу ющих примерах.
Одиночный импульс
Пусть
x(t) = as(t—10), |
(8.1) |
где а и t0 — статистически независимые случайные величины. Среднее значение этого процесса пропорционально свертке импульса и плот ности вероятности для величины t0:
оо
х (t) = |
Е [X (01 = |
a (j s ( t — o ) p t 0 ( o ) d o . |
(8.2) |
|
|
—ОО |
|
Автокорреляционная |
функция |
имеет вид |
|
kxx(t + т, *) = ,Е[х(* +т)х(/)] = |
|
||
|
ОО |
|
|
= а2 |
^ s (/ + t —o)s(t — o)pto (а) do. |
(8.3) |
|
Из (8.3) видно, что в общем случае процесс нестационарный. Если вре мя прихода t0 известно, то р(о (о) = д (о — t0), и тогда
х(0 = as(t — 10),
(8.4
kxx(t+x, t) = a2 s (t + %— t0) s ( t ~ t 0).
По мере того как время прихода становится все более и более неопре деленным, ширина функции pto(а) увеличивается, и процесс прибли жается в некоторых отношениях к стационарному в широком смысле.
Если положить плотность постоянной в интервале | А>I ^ |
то |
||
_ |
г |
|
|
* w = W |
J s ^ ~ G^do’ |
|
|
|
—т |
(8.5) |
|
_ |
т |
||
|
|||
kxx{t + %, t) = ~ - |
j” s(f + T —o)s{t — a)da. |
|
|
—г |
|
||
Когда T велико по сравнению с длительностью импульса s (t), интегра лы в (8.5) не зависят от ^для всех) t \ ^ Т. Впрочем, этим не обеспечи-
196
вается строгая стационарность процесса, так как средний квадрат его стремится к нулю при Т -> оо. Другая интересная особенность этого случая состоит в том, что в соответствии с (2.40) автокорреляционная функция приблизительно пропорциональна временной функции не определенности rs (т) = (s, sT) для импульса s (t).
Последовательность импульсов
Пусть
х ( 0 = S |
a* s ( * ~ '4л). |
(8.6) |
*= 1 |
|
|
где 2п случайных величин {ак} и {tft} предполагаются статистически независимыми. Предположим также, что распределения величин {afe} и { U одинаковы для всех импульсов и не зависят от k. Тогда
х (0 = |
2 |
E[ak]E[s(t-tJ] = |
|
|||
|
|
k=i |
|
|
|
|
па |
^ |
s(t~o)p(o)do = na s(t), |
(8.7) |
|||
kxx(t -f т, /) = 2 |
2 |
E \ahay] E [s(t + t- tk) s (*-t,)], |
|
|||
* = i/= i |
|
|
|
|
||
причем |
|
|
|
|
|
|
£ |а,а,1 = (?: |
» “ |
k =J: |
(8.8) |
|||
|
|
|
a |
для |
k =f=]. |
|
Рассматривая отдельно n слагаемых c k = / и n2— n слагаемых c k Ф /, получаем
оо |
|
|
kxx(t-{-т, t) = na2 (j S(^ + T—o)s(t —а) р (a) dcr+ |
|
|
~f (n2—n) a! s (t -f x) s (t). |
(8.9) |
|
Если p (a) постоянна в интервале |a | |
T, и мы положим п = Х,2Г, |
|
то в пределе, при Т -> |
оо, получается стационарный в широком смысле |
||
процесс. В этом случае |
|
|
|
х = Яа q, kxx{x) — Ka2r{x)+{‘kaq)2, |
(8.10) |
||
Здесь |
тхх(т) — ^ |
2г (х>- |
|
|
|
|
|
q = ^ |
s(t)dt, г (т) = |
^ s(tJr x)s(t)dt. |
(8.11) |
197
Из (8.10) ясно, что автоковарйаЦионная функция пропорциональ на временному сечению функции неопределенности для s (/). Будем далее обозначать эту функцию через г (т). Параметр X есть средняя частота появления импульсов. Спектральная плотность мощности рас сматриваемого процесса имеет вид
Кхх (f)=Xa?R (/) +(А,а g)2б (/), |
(8.12) |
где R (f) = \ S (f) |2.
Наличие б-функции в (8.12) указывает на то, что в общем случае имеется конечная мощность постоянной составляющей процесса.
Рассмотренная модель часто используется для описания дробового шума в электронных приборах. В этом случае ak = 1 и s (t) — импульс тока, несущий заряд q и возникающий во внешней цепи при пролете отдельной частицы. Формула (8.10) в этом применении часто называет ся теоремой Кемпбела [1]. В § 8.7 мы более подробно рассмотрим этот тип процесса и дадим другой вывод формул для среднего значения
идля автокорреляционной функции.
8.3.ПРОЦЕССЫ С ЦИКЛИЧЕСКОЙ СТАЦИОНАРНОСТЬЮ
Ксчастью, многие случайные процессы, встречающиеся в физи ческих системах, могут рассматриваться как стационарные. С другой стороны, часто встречаются процессы, которые были бы стационар ными, если бы они не подвергались некоторому повторяющемуся воз действию. Эти периодические возмущения обычно делаются умышлен но, например для калибровки времени при наблюдении сигналов. При таких возмущающих воздействиях образуется определенный тип не стационарного процесса. Рассмотрим, например, выходной сигнал при емника, подключенного к локационной антенне, имеющей узкую диа грамму направленности и сканирующей по углу. Если интенсивность отражений изменяется с углом визирования, то статистические характе ристики выходного сигнала приемника будут изменяться периодически
скаждым оборотом антенны. Подобно этому, телевизионный сигнал, получаемый при прямоугольной развертке кадра со случайным рас пределением яркости, будет обладать периодически изменяющимися статистическими параметрами. Все виды развертки (за редким исключе нием тех, которые сами управляются случайными процессами) вносят некоторую периодичность в сигнальный процесс. Учитывая распро страненность подобных возмущений в системах обработки сигналов, необходимо более полно изучить их статистические свойства.
Операция дискретизации
Часто бывает невыгодно наблюдать сигнал непрерывно. Чтобы преодолеть это затруднение, проще всего периодически отсчитывать значения сигнала и запоминать величину предыдущего отсчета до сле дующего отсчетного момента. Такая операция может быть представле на символически схемой дискретизации, показанной на рис. 8.1.
198
Будем |
предполагать, |
что |
моменты отсчета |
есть |
{th= kT\ k — |
— О, ±1, |
±2, ...} и выходной процесс х связан с дискретизируемым |
||||
процессом у соотношением |
|
|
|
|
|
|
х (0 = |
со |
|
(8.13) |
|
|
s |
у (kT)s(t-kT), |
|||
где |
|
k—— 00 |
|
|
|
|
f 1 |
для 0 |
|
|
|
|
|
|
(8.14) |
||
|
| 0 в других случаях. |
||||
|
|
||||
|
y(t) |
|
Схема. |
x(t) |
|
|
иискреглиза цаа |
|
|
||
Синхро низатор
Рис. 8.1. С хем а дискретизации ( а ); типичная р еали зация (б ).
Предположим также, что у — стационарный в широком смысле процесс, тогда
_____ |
оо |
|
|
__ |
со |
__ |
(8.15) |
х (/)= |
2 E[y{kT) ]s (t - kT) =y |
2 |
s (t —kT) = у, |
||||
k = |
— оо |
|
|
k — |
— ОО |
|
|
kxx(t + x,t) = |
оо |
оо |
Е 1У(кТ)УИт) ^ ^ + х— kT)s(t— jT). |
||||
2 |
2 |
||||||
|
k = |
— оо / = — оо |
|
|
|
|
|
Обозначив / = |
k + |
m, |
имеем |
|
|
|
|
kxx{t + %,f)= |
оо |
kw(mT) |
оо |
|
|
(8.16) |
|
2 |
2 s(t + x - k T ) s ( t - k T - m T ) . |
||||||
m |
= — oo |
|
k ~ |
— оо |
|
|
|
Сумма no k в (8.16) имеет период Т. Можно представить автокорреля ционную функцию через вспомогательную периодическую функцию q (t, т), показанную на рис. 8.2. Для О <С т ■< Т
kxx(t+x,t) = 2 |
kyy(mT)q(t, T + mT), |
m — — о о |
|
199