ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 161
Скачиваний: 1
где
q (/, т) = |
00 |
2 s{t + x — kT)s{t — kT). |
|
k = |
— oo |
Заметим, что q (t, т) обращается в нуль при | т | ^ Т . Процесс х, очевид но, не стационарный, но он принадлежит к процессам, обладающим
периодичностью в том смысле, |
что для любых tx и /2 |
х (^i”b Т) — х (/]), |
|
|
(8.18) |
kxx |
t2-\-T) = kxx {tb /2). |
Рис. 8.2. Вспомогательная периодическая функция, входящая в выра
жение для автокорреляционной функции процесса на выходе схемы дискретизации.
Процессы, удовлетворяющие условиям (8.18), называются процессами с циклической стационарностью (в широком смысле). Их называют так же периодически стационарными или циклостационарными.
Рандомизация фазы
Для рассматриваемых процессов с частным видом нестационар ное™ можно попытаться выявить пути исследования, подобные ста ционарным процессам, и использовать преимущества таких, например, понятий, как спектральная плотность мощности. Один из способов, которым это можно сделать, есть простое усреднение автокорреляцион
ной функции (8.17) за период Т. |
Пусть |
т |
|||
Г |
|
|
ос |
||
kxx(i) = — \ k xx(t + v, t)dt = — |
^ |
kvi,(mT)^q(t,T + mT)dt = |
|||
0 |
|
|
m ~ |
— oo |
0 |
= 4 r |
2 |
kvy (mT) /• (t -f- mT), |
|||
* m= —oo |
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
r (t) = |
OO |
s(t +x)s(t)dt. |
|
||
^ |
(8.19) |
||||
— oo
Такой способ устранения временной зависимости путем усреднения автокорреляционной функции за период не столь произволен, как это может показаться на первый взгляд. Но мы дадим другую интерпрета-
200
цию, физически более приемлемую. Мы превратим процесс х в стацио
нарный добавлением новой случайной величины б, такой, |
что |
|
|
оо |
|
х ( 0 = |
2 У (kT + b)s(t —kT—b). |
(8.20) |
k = |
— оо |
|
Таким образом, моменты отсчета на рис. 8.1 изменяются на th = kT + b. |
||
Физическая интерпретация этого в том, что наблюдатель, хотя он и зна ет, что наблюдаемый процесс образован путем периодических отсчетов некоторого исходного процесса, может и не иметь какой-либо «при вязки» моментов отсчета к исходному процессу. Если предположить, что б равномерна распределена в интервале 0 ^ б ^ Т, то получается
|
оо |
00 |
х (0 = |
2 |
£ [ у ( ^ + б)] ^ s(t— kT— o)p6(o)da = |
k — |
— оо |
— оо |
|
= У |
2 |
|
|
|
|
5 s(t)dt=~y, |
(8.21) |
|
k |
= — оо |
0 |
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
|
оо |
|
оо |
|
|
|
***(* + *, 0 = |
|
2 |
|
2 |
E[y{kT + b)y(kT + mT + б)]х |
|
|
|
|
m |
= — о о k |
— — оо |
|
|||
|
оо |
s (^ + t — kT— a)s(^— kT— mT— a)pn(a)da = |
|
|||||
|
X ^ |
|
||||||
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
оо |
т |
|
|
|
|
= 2 |
kyv(mT) — |
|
2 |
§S(^ + T—^ —a) s (t—kT—mT —a)da— |
||||
m = |
— oo |
k |
= |
— оо о |
|
|
|
|
|
|
=“ |
|
|
2 |
kyy(mT)r(T + mT), |
(8.22) |
|
причем |
|
|
* |
m ~ — oo |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r (t) = |
00 |
s (t -f t) s (t) dt. |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|||
— oo
Итак, из-за случайного (рандомизированного) времени отсчетов (все моменты отсчетов расставлены равномерно), процесс х становится ста ционарным в широком смысле, причем автокорреляционная функция совпадает с полученной усреднением по времени [ср. (8.19)]. В неко торых задачах подобная случайность фазы дискретизации ясна апри ори, и мы заведомо имеем дело со стационарным процессом. В других случаях, важно сохранить исходную модель процесса с циклической стационарностью. Далее мы обсудим это более подробно.
Для стационарного случая имеет место простая связь спектраль ных плотностей на входе и на выходе (см. рис. 8.1). Беря преобразо вание Фурье от (8.22), находим
Kxx{f) = ~ R { f ) 2 k y y (m T )d ^ K |
(8.23) |
m = — оо |
|
201
Теперь, используя формулу суммирования Пуассона (6.125) из (8.23), получаем
1 0 0
Kxx( f ) = ~ R{f) 2 |
K y v ( f - i - ) ’ |
(8-24) |
|
1=—оо |
' |
' |
|
где |
|
|
|
я (/) = I s (/) I2 = |
|
) 2 • |
|
Таким образом, спектральная плотность процесса х есть периодиче ская функция, полученная суммированием сдвинутых по частоте спек тральных плотностей процесса у, умноженная на огибающую R (/).
Рис. 8.3. Спектральная плотность мощности процесса, полученного в результате дискретизации.
Это показано на рис. 8.3. Если Т выбрано достаточно малым, так что процесс у мало изменяется за Т сек, то полоса частот, соответствующая Куу (/), мала по отношению к 1/Т. В этом случае
Kxx{ f ) ^ ^ - K yy{f) = Kyy{f),
т. е. спектральные плотности обоих процессов примерно |
одинаковы. |
||||
Упражнение 8.1. Показать, что случайный процесс |
х (t) = |
a cos 2я/01 — |
|||
•— b sin 2яf0t |
стационарен |
в широком смысле в том и только в том случае, если |
|||
вещественные |
случайные |
величины а и b имеют нулевые средние, одинаковые |
|||
дисперсии и они ортогональны. |
0 процесс х (t) = |
||||
Показать, |
что при статистически независимых с и |
||||
= с cos (2я/„ t + |
0) стационарен в широком смысле, если |
плотность распреде |
|||
ления величины 0 постоянна в интервале 0 < 0 < 2я. Существуют ли другие плотности распределения для 0, при которых х стационарен в широком смысле?
Упражнение 8.2. Показать, что средний квадрат |
ошибки Е [{х (t) — |
— У (0>21. получающейся при операции дискретизации, |
есть периодическая |
функция t. Показать, что среднее по времени этого среднего квадрата ошибки есть
j, j №уу (0)— kyy (x)]dx.
о
Привести пример стационарного процесса у, для которого средний квадрат ошибки равен нулю.
202
Синхронизированные импульсы, с амплитудной модуляцией
Важное обобщение процесса дискретизации получается заменой прямоугольных импульсов s (t) импульсом произвольной формы. Мы предполагаем, как и прежде, что амплитуды импульсов задаются ре ализациями дискретного процесса {ah; k — 0, ± 1 , +2,...} (нет необ ходимости получать амплитуды как отсчеты непрерывного процесса). Говорят, что образованный таким образом сигнал
|
оо |
|
х (0 = |
2 ak s (t— kT) |
(8.25) |
k = |
— оо |
|
несет информацию в амплитудах {aft}, наложенную с помощью ам плитудной импульсной модуляции (АИМ).
Можно сказать, что такая модуляция является синхронной в том смысле, что интервалы между импульсами одинаковы.
Предыдущий вывод формул для среднего значения и для автокор реляционной функции охватывает этот случай, если предположить, что последовательность {aft} стационарна в широком смысле, т. е. если для всех k
Е [afe] = а, |
Е [afeaA+m] = a m= a . |
(8.26) |
|||
Тогда из (8.15) и (8.16) имеем |
|
|
|
||
|
__ |
__ |
оо |
s(t— kT), |
|
|
х(/) = |
а |
2 |
|
|
|
|
k = — со |
(8.27) |
||
|
|
|
|
|
|
А**(< + Т, 0 = |
оо |
|
оо |
s(/ + x—kT)s{t — kT— тТ). |
|
2 а т |
2 |
|
|||
m |
= — оо |
k = |
— со |
|
|
Последняя сумма в (8.27) есть периодическая функция t (с периодом Т). Поэтому АИМ сигнал является циклостационарным процессом. Свой ство циклостационарности можно пояснить (но не доказать) также бо лее очевидным образом, притом в более общем случае. Пусть s (t) есть очень короткий прямоугольный импульс (по сравнению с Т), как пока зано на рис. 8.4. Тогда, очевидно, средний квадрат процесса kxx (t, t) существенно изменяется в течение периода.
С другой стороны, можно выбрать такую форму импульса, что процесс будет стационарным в широком смысле. Чтобы показать это, предположим, что s (t) есть импульс с конечной полосой, заданный вы ражением
s(0 = — |
(8.28) |
так что |
|
т для | / К |
1/27, |
S(f) =
о в других случаях.
203