Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Положив а — — 1, b — + 1, имеем согласно рис. 2.3

1/2

4 (* т , хп) = \ \ \ x m{t)— xn{t)\2dt

Следовательно, последовательность функций {хх (/), х2 (/), ...} есть последовательность Коши, но в пределе она стремится к разрывной функции sign t = tl \t\. Этот противоречащий пример показывает, что пространство (С [Т], d2) — не полное.

Рис. 2.3. Последовательность Коши непрерывных функций.

Если на множестве С [Т] определена метрика (2.5 в), то последо­ вательность функций, показанная на рис. 2.3, не является последова­ тельностью Коши, так как

d3 (xm, хп) = sup {| xm(t)—xn (t) | ;

полное. Мы можем убедиться, что пространство (С [71, d3) полное,

для достаточно больших it и m. Но это означает, что \xm (t) — хп (t) | ■< < е для любого t £ Т. Следовательно, {хп (/)} — это последователь­ ность Коши в R для любого t и она сходится к пределу, который мы назовем х (/). Мы можем сказать, что \ хп (t) —х (/) | < е /3 , для доста­

31

состоит в том, что понятие непрерывности, обсуждавшееся выше, мо­ жет быть обобщено применительно к произвольному отображению

прерывности рассмотрим отображение пространства действительных функций времени в R, т. е. функционал. Для пространства функций

32

при

d2(x, х0) < 6 = ~ .

К

Таким образом, /ф есть непрерывный функционал.

Упражнение 2.4. Для иллюстрации того факта, что непрерывность нахо­ дится в прямой зависимости от вида метрического пространства, показать, что любое отображение пространства с метрикой примера 2.5 в любое другое метри­ ческое пространство — непрерывно.

Метрические пространства обладают двумя дополнительными свой­ ствами, полезными при анализе — сепарабельностью и компактно­ стью. Грубо говоря, эти свойства дают более глубокое понимание слож­ ности метрического пространства, содержащего бесконечное число элементов. Метрическое пространство {SO, d) сепарабельно, если для любого е > 0 можно найти счетную последовательность элементов множества SO, {хъ х2, ...}, таких, что d (х, х;) < е для некоторого i и любого х 6 SO. Метрическое пространство компактно, если можно най­

«больше» компактного, однако оно может быть покрыто счетным мно­ жеством сфер.

2.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Следующая ступень в усовершенствовании структуры пространства сигналов достигается при внесении достаточно простых алгебраических взаимосвязей между рассматриваемыми сигналами. Такие взаимо­ связи имеют место в линейных пространствах, определяемых следу­ ющим образом.

Линейное пространство — это множество элементов (называемых

х+ (—х) = 0.

Б. Имеется множество элементов (называемых скалярами), ко­ торые образуют поле, а также операция (называемая умножением

Читатель, знакомый с современной алгеброй, заметит, что свойства (2.15 а) являются определениями коммутативной группы относительно операции, обозначенной (+). Во второй части определения вводится другая операция, а связанные с ней отношения выражаются с помощью первой операции.

Полем является любое множество элементов, которые образуют коммутативную группу и по сложению, и по умножению; исключение составляет один элемент — нуль, не имеющий обратного по умноже­ нию [3].

Скалярное поле содержит, таким образом, два элемента, при ис­ пользовании которых в соответствующих операциях результат не из­ меняется. Это 0 — в операции сложения и 1 — в операции умножения.

Мы видим, что линейное пространство содержит два различных «нуля» для сложения: один для векторов (нулевой элемент) и другой для скаляров; оба называются «нулями». Символически эти «нули» отличаются тем, что нулевой вектор обозначается жирным шрифтом, а скалярный нуль — обычным.

Для простоты понимания можно отождествить поле скаляров или с множеством действительных чисел R или с множеством комплексных чисел С.

Однако обычно в приложениях теории сигналов (особенно в тео­ рии кодирования) рассматриваются линейные пространства с конеч­ ными полями скаляров. Например, бинарное множество {0, 1} с обыч­ ными двоичными арифметическими операциями образует конечное поле; линейные пространства над этим полем широко применяются в теории связи.

Если в качестве скаляров взять действительные числа, то линей­ ное пространство называется действительным линейным пространст­ вом. Если же взять комплексные числа, мы получаем комплексное ли­ нейное пространство.

Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами, называется линейной комбинацией

Легко видеть, что множество всех линейных комбинаций векторов {х1; х2, ..., хп} образует линейное пространство. Далее, если взять подмножество (х1; х2, ..., хт } множества {х1( х2, ..., х„}, где т < п, то множество линейных комбинаций векторов подмножества образует линейное пространство, являющееся подпространством исходного ли­ нейного пространства, образованного линейными комбинациями пер-

34

справедливо только при всех а г, равных нулю. Другими словами,

влинейно независимом множестве вектор не может быть представлен

ввиде линейной комбинации других векторов множества. Пусть М — это пространство линейных комбинаций п линейно независимых век­ торов (х;; г ~ 1,2 ...... п}. Каждый вектор в М соответствует един­ ственной линейной комбинации векторов {х,} — единственному мно­ жеству скалярных коэффициентов. М называется п-мерным линейным пространством. Множество {хг} называется базисом для М; говорят, что М натянуто на этом базисе. Любое множество п линейно незави­

симых векторов в М может служить его базисом; таким образом, ли­ нейное пространство имеет не один базис.

Воспользуемся двумя примерами, чтобы уточнить представление о линейных пространствах, применяемых в теории сигналов.

Пример 2.8. Множество упорядоченных последовательностей из п чисел (n-мерных вектор-строк) в Rn или Сп образует n-мерное линейное

где п линейно независимых векторов {ег,} задаются следующим образом:

Представление конечномерных векторов

Пусть М — произвольное n-мерное линейное пространство с бази­