в) Чтобы уменьшить максимальное значение спектральной плотности, ко торое получается в случаях а) и б) для сильно коррелированной последователь ности, можно использовать дифференциальный АИМ сигнал. Пусть
СО
х (0 = 2 сh s(t — kT), k= —оо
где ск = ак — х. Сравнить спектральную плотность со случаем а).
8.5. АИМ СИГНАЛЫ С ВРЕМЕННОЙ НЕСТАБИЛЬНОСТЬЮ
При более тонком рассмотрении АИМ сигналов встречаются си туации, когда нужно учитывать случайные отклонения синхронизи рующих импульсов от своего точного положения. Такие отклонения будем называть временной нестабильностью, при учете которой АИМ сигнал следует представить в виде
оо |
(8.64) |
х (0 = 2 aks ( t ~ k T ~ 8 k), |
k =—оо |
|
Рис. 8.8. Типичная реализация АИМ сигнала с временной нестабильностью.
где по предположению {8fe} есть случайные величины с нулевым сред ним и одинаковыми распределениями. Типичная реализация показана на рис. 8.8.
Среднее значение процесса
оо |
оо |
оо |
|
*W = a 2 |
$ s ( t ~ k T — o)p(o)da = а |
2 |
s(t— kT), (8.65) |
k = z — оо |
ОО |
k ~ |
00 |
где s (/) — усредненная по всем значениям нестабильности форма им пульса с несколько увеличенной длительностью за счет свертки с плот ностью вероятности р (о).
Для определения автокорреляционной функции нужно знать сов местную плотность вероятности 8k и 6k+ m. Мы предположим,что {8ь} — стационарная последовательноть, так что совместная плотность
зависит только от т. |
Тогда |
|
|
|
|
оо |
оо |
оо |
^жзс |
t) = |
2 |
2 |
^ S {t “Т Т —кТ—Оу) X |
|
|
ТП= 90 |
k — — оо — оо |
X s(t — kT— tnT—-o2)pm(a1-, o2)da1do2. |
(8.66) |
Из (8.65) и (8.66) следует, что при учете временной нестабильности АИМ сигнал также является циклостационарным процессом. Чтобы рассматривать его как стационарный, можно, как и ранее, ввести до полнительную случайную величину, распределенную равномерно за период.
В этом случае
оо |
|
|
(8.67) |
а |
) аь s (t |
kT—8k—6), |
k = —ос |
|
|
|
и мы находим |
|
|
|
|
М7) = .j r |
J |
Ht)dt. |
(8.68) |
|
|
—oo |
|
Предположим для простоты, что {8fe} статистически |
независимы. |
Тогда рт (стх; а 2) = р (ах) р (а2) |
для т ф О, |
|
£**(T) = y - r ( T) + |
- f |
2 ашгЛх + тТ), |
|
г (т) = |
г ( х - а ) Р (а) do, |
|
г(т)= |
^ |
s(t + T)s(t)dt, |
|
|
-----ОО |
|
|
|
|
00 |
|
|
(8.69) |
|
's(t + T)s(t)dt. |
|
ri(T )= |
^ |
|
|
—оо |
|
|
В (8.69) гг (т) есть сечение функции неопределенности вдоль оси вре
мени для усредненного импульса s (t). Спектральная плотность рас сматриваемого процесса имеет значение
***(/) = R(f) |
«л л + 2 a- i p (/)i2e |
}2nmTf |
(8.70) |
|
|
|
пг -Ф О
8.6.СИГНАЛЫ С ВРЕМЕННЫМ УПЛОТНЕНИЕМ
Вкачестве последнего примера практического применения цик лостационарных процессов рассмотрим операцию временного уплот нения, при которой формируется составной сигнал путем периодиче ского комбинирования двух или большего числа сигнальных процессов. Случай уплотнения двух стационарных процессов у и z, которые мы будем предполагать статистически независимыми, показан на рис. 8.9. Операция переключения может быть описана с помощью периодиче
ской переключающей функции q (t). Составной сигнал задается вы- ражением
|
где |
|
х (/) = (/(/) У {t) +tt—q(*)12(t), |
|
|
1 |
для kT ^.t<ikT+ |
ТУ, k —0', ± 1> ± 2 , |
(8.71) |
|
q(t) = |
|
О |
в других случаях. |
|
|
|
|
|
|
1-
в
Рис. 8.9. Схема временного уплотнения (а); типичная реализация составного сиг нала (б); периодическая переключающая функция (в)
Среднее значение составного сигнала равно |
|
x(t) = yq (t) + z [ l —?(/)]. |
(8.72) |
Заметим, что х (t) есть константа, если процессы у и г имеют одина ковые средние значения.
Автокорреляционная функция составного сигнала имеет выраже
ние
kxx(t+ x,t) = E[х (t+ т) х (t)] = q(t)q(t + х) kyy (х) +
+ [ l—?(/ + x)]f.l—</(/)] Л„(т) + |
|
+Уz {q(t -fт)[l—q (*)] + q(jt) [ 1—q {t + x)l}. |
(8.73) |
В силу периодичности с/ (t) процесс х циклостационарен. Нетрудно получить обобщение для большого числа уплотняемых процессов. Можно также учесть корреляцию между процессами.
Исследовались также случаи, когда переключающая функция является случайным процессом [7]. В некоторых практических ситуа циях один из процессов может быть и не случайным. Например, в телевидении сигнал z(t) периодический, поскольку он соответствует импульсам синхронизации и бланкирования, периодически встав ляемым в сигнал изображения [8].
Наконец, как и в предыдущих примерах, если фаза импульсных сигналов не определена на периоде, мы можем рассматривать состав ной сигнал как стационарный процесс
x(t) = q ( t - b ) y ( t - b ) + [ l - q ( t - b ) ] z ( t - b ) , |
(8.74) |
где б имеет постоянную плотность вероятности на интервале 0 ^ 6 ^ ^ Т. В этом случае
т |
т |
|
|
|
х = У- j ^ q ( t — o)do + z |
[l—q(t — o)]da= - у у -f-y-z, |
(8.75) |
о |
о |
|
|
|
К» М = - у -w (т) *W T) + [~y — |
[ i — w (т)] J kzz (т) + |
|
+ |
2y 'z-^ - [1 —ау(т)], |
(8.76) |
где |
|
|
|
|
|
1 |
т |
|
|
И т) = -^-$<7(г)<7(^ + т) &■ |
|
|
1 |
b |
|
|
Периодическая функция w (т) |
показана на рис. 8.10. |
|
Рис. 8.10. Периодическая функция, необходимая для вычисления автокорреляционной функции составного сигнала.
В заключение следует подчеркнуть, что рандомизация фазы цик лостационарных процессов, использованная в предыдущих примерах, пригодна только для определенных условий. Например, при рас смотрении помех, обусловленных просачиванием мощности из другого канала передачи, предположение рандомизированной фазы оправдано. Вообще когда прием сигнала не происходит синхронно с их генериро ванием, обычно пригодно приближение случайной фазы. С другой
стороны, периодические изменения средних значений нужно учитывавать, когда изучаются методы обработки, использующие периоди ческую структуру сигнала. Например, принятый АИМ может строби роваться каждые Т сек. При приеме фаза стробирующих импульсов выбирается так, чтобы межсимвольные помехи были минимальны. Тогда интересующие нас значения различных математических ожида ний в отсчетные моменты времени не совпадают с временными средними соответствующих величин.
8.7.ПРОЦЕССЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПУАССОНОВСКИМИ
Впротивоположность более или менее синхронизированным сиг налам, описанным в предыдущих разделах, мы часто имеем дело с про цессами, где известна лишь средняя частота импульсов. В случаях, когда момент появления импульса совершенно случаен, при разра ботке модели может оказаться очень полезным пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс — частный случай счетного процесса, т. е. целочисленного процесса с единичными приращениями. Типичная реализация счетного процесса показана на рис. 8.11.
Рис. 8.11. Типичная реализация пуассоновского'счетно го процесса N(t).
Процесс этого типа можно описать случайной последовательностью точек {th} вдоль временной оси
k—i
где w (t) — единичная функция включения w (t) — - j (1+ sign^). Та
ким образом, случайное значение N (t) эквивалентно числу точек вклю чения между 0 и t. Процесс может быть охарактеризован вероятностью события IN (0 = п] для каждого 1 > 0 и п = 0, 1,2, ... Итак, мы определяем
Pn(t) = P[N(t) = n). |
(8.78) |
