Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Хотя исследованы более общие формы пуассоновских процессов til, мы рассмотрим только частный случай, удовлетворяющий следующим условиям:

а) P[N(t) — N(s) = n и N(u)~N(v) = m] =

Условие а) в (8.79) означает стационарность элементарных собы­ тий, т. е. вероятность некоторого числа событий в данном интервале зависит только от протяженности интервала и не зависит от его по­ ложения на временной оси. Это условие также означает, что число собы­ тий в неперекрывающихся интервалах времени представляет собой статистически независимые величины. Условия б) и в) указывают, что если интервал At достаточно мал, то вероятность единичного вклю­ чения пропорциональна длине интервала, а событие, состоящее в появ­ лении двух или более включений на этом интервале, можно считать невозможным. Из этих условий можно получить выражение для Рп (t), которое зависит только от п, t и параметра X.

Для получения такого выражения заметим, что

Полагая в (8.81) At -> 0, получаем дифференциальное уравнение пер­ вого порядка для Рп (t):

о

В случае п = 0 (8.82) есть однородное уравнение с начальным усло­ вием Р0 (0) = 1, поэтому

Наконец, из (8.83) и (8.84) получаем по индукции

219

Параметр А называется частотой, йлй интенсивностью, процесса, так как эта величина равна среднему числу элементарных событий (включений) в единичном интервале. Покажем это. Пусть Т — про­ извольный интервал, тогда

с»

E[N(t + T)-N(t)} = 2 пРп(П =

л = О

При разработке моделей сигнальных процессов мы будем исполь­ зовать последовательность случайных величин {tfe} различными спо­ собами. Будем говорить, что {tft} распределены по закону Пуассона с параметром А. При вычислении среднего значения и автокорреляции процесса нам понадобится плотность вероятности ряда случайных величин. Плотность вероятности величины tk определяется через ве­ роятность того, что k-я точка включения попадает в достаточно малый интервал At около некоторого t,

Нам также понадобится совместная плотность вероятности для двух

Упражнение 8.8. Для счетного процесса, задаваемого (8.77), вычислить среднее значение N (t) и автокорреляцию kNN (ti,t2), предполагая, что единич­ ные включения распределены по пуассоновскому закону с параметром %.

Случайный фототелеграфный сигнал

Фототелеграфный сигнал получается при оптическом сканирова­ нии по черно-белому изображению с постоянной скоростью. Для изоб­ ражения случайной структуры выходной процесс х (() будет прини­ мать лишь два значения, скажем х (t) = 1 для черных и х (t) = 0 для белых элементов, причем длительность интервала между сосед­ ними переходами с черного на белое и с белого на черное будет случай-

220

ной величиной. Обычно процесс имеет в среднем Заметное смещение либо к черному или к белому цвету. Мы построим модель этого процес­ са следующим образом. Пусть {tft; k = 0, ± 1 , ± 2,...} — упорядо­ ченная последовательность случайных величин, распределенных на вещественной оси по пуассоновскому закону с параметром К. Здесь мы снимаем ограничение, использованное в (8.77), что точки лежат на положительной полуоси.

Это не вызывает затруднений, поскольку в силу стационарности процесса начало отсчета можно выбрать произвольно. Мы принимаем далее, что в интервале между соседними точками х есть константа, равная 0 или 1 с вероятностью р или 1 — р соответственно. Значения х в различных интервалах статистически независимы. Это дает нам модель случайного фототелеграфного сигнала, который характери­ зуется только двумя параметрами р и X. Типичная реализация показана

Рис. 8.12. Типичная реализация случайного фототеле­ графного сигнала. Последовательность (0J распреде­ лена по пуассоновскому закону с параметром X.

Для произвольного t среднее значение процесса имеет значение

Среднее значение х = р постоянно и не зависит от t. Автокорреляцион­ ная функция

Величина совместной вероятности в (8.90) зависит от того, находится

просто Р0(|т|), независимо от t. Используя (8.84) и (8.91), приводим

(8.90) к виду

Ясно, что процесс стационарен в широком смысле; спектральная плот­ ность процесса

221

показана на рис. 8.13. Очевидно, что X можно трактовать как ширину полосы процесса.

Вместо процесса, имеющего два уровня, можно разрешить х при­ нимать любое вещественное значение между 0 и 1 (серые уровни) в соответствеии с некоторой плотностью вероятности. Автокорреляционная функция такого процесса имеет форму, совпадающую с (8.92) (см. уп­ ражнение 8.10). Эта модель полезна для представления телевизион­ ного сигнала [8]. Другой процесс, часто называемый случайным те­ леграфным сигналом [1, 3], образуется, когда переходы от 0 к 1 проис­ ходят в любых случайных точках оси времени. Этот процесс эквива­ лентен случайному фототелеграфному сигналу при р = V2 и величине к, увеличенной в два раза.

Рис. 8.13. Спектральная плотность мощности для слу­ чайного фототелеграфного сигнала.

Упражнение 8.9. Для случайного фототелеграфного сигнала вычислить средний временной промежуток между переходами с черного на белое и с белого

с плотностью распределения ра (ё). Этот процесс называется случайной функцией скачков [11]. Вычислить среднее значение и автокорреляцию для х.

Упражнение 8.11. В случайной функции скачков, описанной в упражнении 8.10, часто можно принять, что последовательность {ад} представляют собой марковский в широком смысле процесс (как в упражнении 8.7), а не статисти­ чески независимую последовательность. Показать, что по отношению к среднему значению и автокорреляции такое изменение эквивалентно изменению параметра

к. Пусть к — новое значение параметра для эквивалентной случайной функции скачков с независимыми уровнями, найти связь между к, к и р.

Случайная последовательность импульсов

В качестве более общего приложения пуауссоновского процесса рассмотрим модель сигнала в виде последовательности импульсов про­ извольной формы со случайными амплитудами и случайными момен­ тами прихода:

222