Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

где {aft} — стационарная последовательность, статистически незави­ симая от последовательности значений {tft}, которые упорядочены и распределены по пуассоновскому закону с параметром К. Мы исклю­ чили в (8.94) член с k = 0, что подробнее обсуждается ниже. Чтобы вычислить среднее значение и автокорреляцию для процесса х, выби­ раем некоторое значение t, а затем пронумеруем {tft} в реализации так, что t 1 — первая точка справа от t и t_x — первая точка слева от t, как показано на рис. 8.14.

На первый взгляд это может показаться странным, но длина интервала между t_x и txстатистически отлична от длины всех других

в то время как для других интервалов такой необходимости нет. Плот-

Рис. 8.14. Типичная реализация случайной последовательности, ил­ люстрирующая нумерацию импульсов.

ность вероятности для отрезка времени х от любой точки временной оси до точки появления следующего случайного импульса задается выражением рх (а) = ^е- *-0. Поэтому, если положить tQ= t и опре­ делить случайную переменную = t k — tfe _ то хь имеют одина­ ковые распределения для всех k (включая нуль). Учитывая сказанное, можно переписать (8.94) более точно:

Другой корректный способ рассмотрения заключается в том, чтобы принять произвольную точку t за начало отсчета времени, тогда слу­ чайные величины tfc — t для k > 0 и t — t h для k < 0 соответствуют плотностям распределения (8.87) и (8.88). С учетом (8.95) можем написать

(8.96)

223

Для вычисления автокорреляционной функции предположим, что

В заключение отметим эквивалентность этого процесса и того из процессов, описанных в § 8.2, для которого моменты появления им­ пульсов независимы и равномерно распределены на временной оси

[см. уравнения (8.10) и (8.11)].

Упражнение 8.12. Проделать преобразования, опущенные при выводе (8.99).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Р а г z е п Е. Stochastic process. Holden-Day, 1962.

2.B e n n e t W. R. Statistics of regenerative digital transmission. — «Bell Sys. Tech. Jour.» 1958, v. 37, p. 1501—1542.

6.К r e t z m e r E. R. Binary data communication by partial response trans­ mission. Paper № CP65-419 at the 1965 — «IEEE Communications conven­ tion», Boulder, Colorado.

7.J о h n s M. V. Spectral analysis of a process of randomly delayed pulses. — «Trans. IEEE», 1960, v. IT-6, № 4, p. 440—444.

8.F r a n k s L. E. A Model for the random video process. — «Bell Sys. Tech. Jour.», 1966, v. 45, p. 609—630.

9.H i l d e b r a n d F. B. Methods of applied mathematics. Prentice-Hall, 1952.

10. L e n d e r A. The duobinary technique for high-speed data transmission. —

224

9

ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

9.1. ВВЕДЕНИЕ

Разработанные в двух последних главах способы описания слу­ чайных процессов позволяют более полно рассмотреть вопросы про­ ектирования систем оптимальной фильтрации сигналов. Это обуслов­ лено тем, что мы теперь с помощью линейных и квадратичных функ­ ционалов можем описывать характеристики как детерминированных, так и случайных элементов системы. Применяя вариационные методы гл. 6, мы будем оптимизировать некоторые детерминированные эле­ менты системы для повышения ее эффективности. В частности, можно оптимизировать форму сигнала, применяемого в системе с АИМ, или импульсную характеристику фильтра, выделяющего сигнал из шума. В этой главе рассматривается проблема фильтрации. Мы имеем возможность исследовать широкий класс задач, требующих отыска­ ния оптимальных фильтров по критерию минимума среднеквадра­ тической ошибки. Наглядная интерпретация этих результатов осно­ вана на введенных ранее понятиях, связанных с пространством сиг­ налов.

В следующем параграфе дана общая формулировка проблемы оценки параметров сигнала при линейной фильтрации и получено условие на импульсную характеристику фильтра, обеспечивающего минимум среднего квадрата ошибки. Дальнейшие параграфы посвя­ щены отысканию характеристик, удовлетворяющих этому условию в частных задачах фильтрации. Некоторые из рассмотренных при­ меров хорошо известны и освещены в литературе по теории систем связи или систем управления. Другие примеры привлекали меньше внимания, но они поддаются тем же методам анализа.

Для упрощения и выявления главных факторов, влияющих на структуру оптимального фильтра, рассматриваемые задачи кое в чем идеализированы. В практических приложениях следует объединять черты нескольких примеров.

Нужно отметить, что во многих случаях оптимальная система об­ работки сигналов нелинейна. Несмотря на это, исследование линей ной фильтрации имеет большое практическое значение, так как линей­ ные фильтры используются чаще, чем нелинейные. Мы трактуем ус­ ловие линейности и условие физической реализуемости (неопережаю­ щий отклик) как практические ограничения, навязанные конструкто­ ру. Правда, задачи вначале формулируются без учета физической реализуемости. Помимо простоты, такое приближение оправдано двумя причинами. Во-первых, характеристика оптимального нереа­ лизуемого фильтра часто может быть хорошо аппроксимирована фи­ зически реализуемым фильтром с достаточно большой постоянной

времени. Во-вторых, система с нереализуемым оптимальным филь­ тром служит полезной основой при построении квазиоптимальных систем, удовлетворяющих условию реализуемости. Но в ряде случаев физическая реализуемость является существенным ограничением и важно оптимизацию выполнить с его учетом. Такие задачи обсуж­ даются в § 9.6.

9.2. МИНИМИЗАЦИЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТА ОШИБКИ ПРИ ОЦЕНКЕ ПАРАМЕТРА

Задача оценки параметра в системах передачи сигналов иллюстри­ руется на рис. 9.1. Передаваемый сигнал х (t) подвергается отобра­ жению Т г, которое описывает влияния канала передачи. При этом х (t) преобразуется в свой образ г (t) — принимаемый сигнал, кото­ рый далее проходит через фильтр с импульсной характеристикой

сигнал

Рис. 9.1. К оценке параметра сигнала.

h (t, s). Импульсная характеристика фильтра должна быть выбрана так, чтобы на выходе (в момент t) получить минимум среднеквадрати­ ческой погрешности оценки параметра ю (i), содержащегося в сиг­ нале х (t). Оцениваемый параметр сигнала может быть охарактери­ зован отображением Т0. Иногда полезно считать, что Т0 — описание идеального канала и задача состоит в том, чтобы найти линейный фильтр, включенный последовательно с реальным каналом Ту, кото­ рый обеспечивает отображение, близкое к Т0.

Предполагая, что сигнал вещественный, запишем функционал среднего квадрата ошибки для момента t в виде

226

oo —

Как видно, эти функционалы полностью определяются через автокор­ реляцию и перекрестную корреляцию процессов z (t) и со (t).

Квадратичный функционал соответствует самосопряженному опе­ ратору, поэтому стационарные точки функционала I определяются при варьировании h (t, s) решениями уравнения

s) пространству L2 ( — оо, оо ), но иногда нужно расширить функцио­ нальное пространство, чтобы включить в него решения уравнения

(9.4).

Принцип ортогональности

Другая трактовка проблемы оптимальной фильтрации получает­ ся, если функционал ошибки рассматривать на пространстве случай­ ных величин. Пусть Х0 — линейный оператор фильтра, удовлетворяю­ щего условию (9.4). Тогда (9.4) можно переписать в эквивалентной форме

сигналу. Такой результат интуитивно ясен: если бы имела место кор­ реляция между ошибкой и принимаемым сигналом, то при последую­ щей обработке можно было бы получить лучшую оценку. Используя (9.5), покажем другим способом, что (9.4) есть условие оптимальности. Пусть X — некоторый другой линейный оператор. Тогда

В силу условия (9.5) второе слагаемое в последнем выражении равно нулю. Третье слагаемое неотрицательно, поэтому X не может