ставить произведением вида
Ka (f) = K{f)K*(f), |
(9.126) |
причем К (/) имеет подходящую фазу, такую, что К -1 (/) физически реализуема, то характеристика всего оптимального фильтра получает представление
|
H{f) |
1 г*тг(П |
(9.127) |
|
к(п |
L/c* (л J |
|
|
|
Факторизация всегда возможна, если Kzz if) — рациональная функция. В более общем случае факторизация возможна, если kzz (т) может быть представлена как сумма б-функций и их четных произ-
От^еливающий
фильтр кц ( Т) - ^ ( Т) \Н, 1
т-
Рис. 9.16. Физически реализуемый оптимальный фильтр.
водных и квадратично интегрируемого дополнительного слагаемого к'гг(т), которое должно удовлетворять условию Винера — Палея [18],
СО |
|
|
|
j |
-] ln^ |
a(/)-L d f c О О . |
(9.128) |
---- ОО |
|
|
|
Минимальный средний квадрат ошибки, достигаемый при опти |
мальном фильтре, можно вычислить, записав h2{t) в виде |
|
М |
Л |
(/ ) -£(/ ), |
(9.129) |
где g (/) = [1 — w (/)] ka~ (/) есть часть импульсной реакции, отбра
сываемая в силу условия физической реализуемости. Выразив вели чину ошибки (9.3) через соответствующие спектральные функции
ОО
1= $ \H1( f f \ H M K zz{f)df~
оо |
оо |
|
- 2 J H,{f)H2{f)K%z{f)df+ |
\ K»*{f)df |
(9.130) |
—оо |
—оо |
|
и, |
учтя соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
\Нг(П\*К„(П=1, |
|
|
|
|
|
а г(!) = Ка7 (/) - |
G (/) = |
Я? (f) |
(/) - |
G (/), |
|
для |
минимального среднего квадрата ошибки получим |
|
|
/п |
- f |
(/) |
> |
+ J |
|G(f)|2d/. |
(9.131) |
|
|
Сравнение с (9.12) показывает, что условие физической реализуемости
приводит к дополнительной ошибке J 0 ( f ) d f .
Таким образом, ухудшение качества легко подсчитать через ту часть импульсной реакции h2 (t), которая отсекается в силу условия физической реализуемости.
Пример 9.8. Случайный фототелеграфный сигнал в белом шуме.
В качестве иллюстрации рассмотрим задачу о непрерывной оценке формы сигнала, задержанного на время Т, т. е. ю (t) = х (t — Т) и
К«г (!) = Кхх (f) e r i w .
Пусть сигнал представляет собой случайный фототелеграфный про цесс единичной дисперсии без постоянной составляющей, причем такой сигнал сопровождается аддитивным белым шумом со спектраль ной плотностью N0 em/гц. Тогда
К х х Ф = 4 т |
Г Г 7 Г Г Г .> |
K u u ( f ) = N 0, |
(9.132) |
nf0 1 + ( / / / о ) 2 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
K zz (!) = К хх (!) |
+ К ии ( !) |
= N |
0 |
(9.133) |
|
|
|
|
|
1 |
(,flfo)2 +1 |
|
|
а 2 = |
|
|
|
|
|
|
nf0N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Реализуемый отбеливающий фильтр определяется выражением |
НЛП |
|
1/ 2 |
/ (///о) + 1 |
(9.134) |
|
Hf/fo)+CL. |
|
|
Nl0 |
|
Я 2 (!) находится согласовано |
(9.125): |
|
|
H 2 ( f ) = i m ( f ) K x x ( f ) e - w r } + = |
|
1 |
fГ- |
/ |
( |
Ш+ П - |
e—/2Я/Г - |
|
nf0N l /2 |
\ .— / (///o) + a. LI |
+(///o)2J |
|
,/9 |
1 |
|
|
3- / 2 я ? Г |
Г • |
(9.135) |
|
|
|
|
nfoNl/2 |
\[-Я Ш + аШ _ (Ш + 1]1 |
|
Передаточную функцию Я 2 (!) можно разложить на простейшие дроби; согласно (9.135)
|
1 |
ы |
- |
/ 2я ;т |
Р-/2Я/Г |
(9.136) |
H 2 ( f ) = |
|
|
|
|
|
( Ш + « |
1 (Я/о) + 1 |
я/,Л/J/2( l + a ) L - / |
|
9 Зак. 527 |
|
|
|
|
|
257 |
Поскольку [1 + / (///о )] "1 есть преобразование Фурье от 2n f 0 w ( t ) е~2я^ , [ a — / ( / / / о ) ] " 1 —преобразование Фурье от 2n f 0w ( —/)е2яа1»?, импульс
ная реакция h2(t) имеет вид |
|
|
О |
|
при ^ < 0 , |
— ----------------- |
e 2 . n a f0 ( t - T ) |
при 0 ^ t < Т, |
К W = Л/У2(1+а) |
|
(9.137) |
, / У 2 -------------- |
е — 2 n f o </— Г ) |
П р И f ^ > T . |
N lo/ 2 (1 + а ) |
|
р |
Эта импульсная реакция показана на рис. 9.17.
Рис. 9.17. Импульсная характеристика оптимального реализуемого фильтра.
При нулевой задержке в (9.136) остается только второй член, и получаемый фильтр
H(f) = H1(f) H2(f) |
-------!-------- f------- 1------ 1 |
(9.138) |
|
nfo N0 (1 + a) L |
iiftfo )+ « . |
|
представляет собой интегрирующее RC-звено с ослаблением 3 дб на |
частоте f = a /0. Но при ненулевой задержке |
реализация |
оптималь |
ного фильтра не столь проста; для удовлетворительного приближения к оптимальной характеристике может потребоваться несколько ^С-звеньев.
Чтобы подсчитать средний квадрат ошибки для реализуемого оптимального фильтра, мы в соответствии с (9.131) определим ошибку для фильтра без ограничения, иногда называемую неустранимой ошиб кой [2], и добавим к ней квадрат нормы (в L2 (—оо, оо )) отсекае мой части h2 {t).
Из |
(9.137) |
ясно, |
что при / < |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
g2n:a/o (t—T) |
|
Поэтому |
|
|
8(t ) = ^о/2 (1+а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
I б (/)|2 df = |
5 |
£2(/)d/ = |
|
ij е4лаU ( t - T ) d t = |
|
—оо |
|
|
— оо |
|
|
Л^оО+а)* —00 |
|
|
|
|
|
|
—4от/0Г |
|
1 |
/ а —1 |
g—4ла?0т' |
(9.139) |
|
|
|
|
nf0N0a (1 -f а )2 |
|
|
|
|
а |
( а + 1 |
|
|
Окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_1_ |
|
df |
|
1 / а — 1 0—4яаf0T |
__ |
|
|
|
|
л/о J |
(///о)2+ а 3 1 |
а \,а + |
1 |
|
|
|
|
|
|
— ОО |
'а — 1\ е —4яа/07' |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(9.140) |
где |
|
|
|
|
|
|
а +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 \ 1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
nfо No |
|
|
Ясно, что эффектив |
|
|
|
|
|
|
|
|
ность |
фильтра- с бесконеч |
6/ninl\ |
|
Шум большого уровня |
ной задержкой |
такая |
же, |
|
|
как оптимального, без уче |
|
|
|
|
|
та реализуемости. |
Если |
0,5 |
|
|
|
|
шум |
мал |
(большие |
а), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фильтр с нулевой задерж |
|
|
Шум малого уровня |
кой |
на 3 дб |
хуже, |
чем с |
|
|
|
|
|
бесконечной, но уже при |
|
|
|
|
|
небольших задержках эф |
|
|
|
|
|
фективность |
фильтра |
при |
Рис. 9.18. Зависимость эффективности реали |
ближается |
к |
оптимуму. |
зуемого фильтра от задержки |
(для единич |
При |
большом |
шуме |
(а |
ной дисперсии сигнала). |
|
|
|
|
|
|
близко к единице) различие между фильтром с нулевой задержкой и оптимальным уменьшается,
но только при сравнительно больших задержках эффективность филь тра приближается к оптимуму. Соответствующие характеристики по казаны на рис. 9.18.
Подобное поведение характеристик характерно для многих слу чаев фильтрации, поскольку при большой задержке усечение h 2 (t) несущественно искажает отклик фильтра. Поэтому часто достаточно ограничиться рассмотрением более простой задачи, не налагая условия физической реализуемости, и внести сравнительно небольшую доба вочную задержку, не влияющую на остальные параметры системы. Например, во многих каналах связи время задержки, необходимое для приближения к оптимальному фильтру, весьма мало по сравнению со временем прохождения сигнала через канал. Часто используемое в этом случае приближение к оптимальному фильтру заключается в том,
что сначала конструируют физически реализуемый фильтр, аппрокси мирующий оптимальную амплитудно-частотную характеристику, а за тем последовательно с этим фильтром включают фазосдвигающие звенья, выбранные так, чтобы аппроксимировать разность между требуемой фазой и фазой, вносимой амплитудным фильтром, за вы четом некоторой линейной фазовой компоненты — постоянной за держки. Но в системах с обратной связью бывает важно ограничить время задержки при фильтрации, и тогда условие физической реали зуемости следует вносить в качестве ограничения в задаче оптими зации.
Физически реализуемый фильтр с ограниченным усилением
Метод отбеливающего фильтра удобно использовать также во мно гих задачах с дополнительными ограничениями. Рассмотрим, напри мер, ограничение на площадь усиления, обсуждавшееся в § 9.1. Пола гая процессы z и со совместно стационарными, будем согласно (9.3) минимизировать ошибку I при условиях
h(t) — w(t)h(t), |
(9.141а) |
ОО00
/ х= ^ \H(f)\2df = |
^ h2{t) dt = const. |
(9.1416) |
— оо |
— оо |
|
Вводя условие (9.141 а) непосредственно, а условие (9.141 б) с помощью множителя Лагранжа, получаем уравнение для точки стационарности функционала I + XI х:
оо |
|
^h(x)kzz(t—т') d x X h (t) = kaz (t) при t > 0 . |
(9.142) |
о |
|
Это уравнение можно решить, применив показанный на рис. 9.19 «псевдо-отбеливающий» фильтр с функцией передачи
№ ( /) |2= T - ^ - r = L(f). |
(9.143) |
A zz ( / ) + А
H(f)
±____
КZZ (Л+Л
Рис. 9.19. Оптимальный физически реализуемый фильтр с ограниченным усилением.
