Тогда задача сводится к отысканию импульсной реакции h 2 (0. мини мизирующей ошибку /, причем
|
|
|
h2 (t) = w (t) h2 (t), |
(9.144a) |
|
CO |
|
— 00 |
|
|
|
/ 1 = |
§ |
I (/) IH2(/) I2 d /= ^ /(г —x)h2(x)h2(t)dt dx = const. |
(9.1446) |
|
— oo |
|
-j-oo |
|
|
|
Условие стационарности функционала / |
+ XI t |
относительно h2 (t) |
имеет |
вид |
|
00 |
|
|
|
|
OO |
|
|
|
|
|
|
(j h2(x)kzZ(t—т )Л + Х^ l(t—T)h2(T)dx = kaj(t) |
п р и /> 0 . |
(9.145) |
о |
|
|
о |
|
|
|
|
Так как в соответствии с (9.143) |
|
|
|
|
|
К~г7 (f) + |
М. (f) = |
I Нх(/) I2 Kzz (П+ X \нх(/)I2 = 1, |
|
то k~~ |
(t — т) XI (t — т) = |
б (t — т), и решение уравнения |
(9.145) |
есть просто |
М О = w (t)k ~ (t) . |
|
(9.146) |
|
|
|
|
Функция |
передачи |
всего оптимального |
фильтра имеет выражение |
|
|
|
|
1 |
М М |
|
(9.147) |
|
|
H(f) = H1(f) H2(f) |
J |
|
|
|
|
м л |
L Кх (f) |
|
где \Kx (f)\2 = Kzz(f) + X и /Ся, (/) выбирается с помощью спектральной факторизации (9.126). Взяв X достаточно большим, можно удовлетво рить произвольно жесткому ограничению на площадь усиления, т. е. реализовать фильтр с произвольно малым значением I х. Чтобы пока зать это, заметим, что
Л = S I |
$ |
1 |
2гмм + |
|
|
df ^ |
|
|
|
K t (f) |
ГМ (/)] + |
|
1М (/) I2 |
[ к № _ |
|
—оо I |
( П |2 |
1 ” |
I M M 2 |
1 |
00 |
|
|
d f < j - |
J Z W /)d / |
— оо |
Kzz (/) |
|
— oo |
|
= |
Y ftfflffl(0)==T |
£[<a21' |
(9Л48) |
Следовательно, если Е [ш2] ограничено, то и I х ограничено величиной, которая может быть сделана произвольно малой, при достаточно большом X.
Физически реализуемый согласованный фильтр
В качестве еще одной иллюстрации метода отбеливающего фильт ра рассмотрим снова задачу согласованной фильтрации, но теперь с уче том условия физической реализуемости. В этой задаче принимаемый сигнал не является стационарным случайным процессом, поскольку
он имеет детерминированную форму r(t)co случайным масштабным множителем а, которому и нужно дать оценку в виде напряжения на выходе фильтра с постоянными параметрами в момент t = t0.
При учете условия физической реализуемости необходимое усло вие для к (t) изменяется:
^0 |
_ |
|
_ |
при |
(9.149) |
|
h(ta— о)[а2 r(s)r(o) + kuu(s— a)]do = a2r(s) |
*—сх> |
|
|
|
|
|
Сначала рассмотрим случай, |
когда аддитивный шум и — белый, так |
что |
kuu (s — о) = N08 (s— а). |
Тогда решение |
уравнения |
(9.149) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
N0h(t0— s) = a2r(s) |
*о |
при t0^ s . |
|
|
§ |
h(t0 — o)r(o)de |
|
Рис. 9.20. Физически реализуемый согласованный фильтр.
Или, изменяя обозначения,
h (t) = aw (t) r (t0 — t). |
(9.150) |
Сравнение этого результата с (9.73) показывает, что в случае белого шума h (t) есть просто усеченная импульсная реакция оптимального фильтра, полученного без дополнительного ограничения. Более того, если i0 достаточно велико, так что г (t) — 0 при t > t0, то усечение не приводит к каким-либо изменениям характеристики фильтра. Говоря иначе, если имеется возможность наблюдать импульсный сиг нал в течение всей его длительности, оптимальный фильтр физически реализуем.
Для шума с произвольной спектральной плотностью мы можем применить показанный на рис. 9.20 физически реализуемый фильтр, отбеливающий шум с характеристикой Н 1 (/), такой, что
Аuu(f)
Будем теперь искать физически реализуемый фильтр /г2 (t), минимизи рующий функционал I = Е [{у (t0) — а}2]. Входной сигнал фильтра
|
00 |
|
z (t) |
h1(x)r(t— r)dT-\~u(t) = ag(t)+u(t). |
(9.152) |
Поэтому |
о |
|
|
|
k77 (s, о) = Е [a2 q (s) q (а)] + k z z (s—а) = a?q (s)q(o)-\-8(s-o), |
kTa (s, to) = E [{aq (s) + u (s)} a] = a2 q (s). |
(9.153) |
Подобно (9.149), условие для определения h2 (t) имеет вид |
|
_ |
_ |
t0^ s . |
^ h2(t0— o)[a2q(s)q(o) + 8(s— o)]do = a2q(s) при |
Следовательно,
to
h(to~ s) = a?q{s) 1— ^ h2(t0~o)q(o)do
или
h2 (t) = aw (t)q {t0 — t). |
(9.154) |
Выполнив спектральную факторизацию Kuu{f) = К (f)K* (/), такую, что характеристика К*1 (/) физически реализуема, получим оконча тельную передаточную функцию реализуемого согласованного фильтра
|
1 ' R* (Ие_/2я^° |
]+ |
(9.155) |
|
H(f) = ffi(f)H2tf) = K(f) . |
J |
|
|
Фильтр с конечной памятью
Завершая вопросы реализуемости, упомянем ограничение на время памяти фильтра. Условие конечной памяти физически реали
зуемого фильтра состоит в том, что h (t, s) = О при z‘< |
s h ^ > s + Т, |
где Т — время памяти. Практически ограничение на |
время памяти |
важно в тех случаях, когда линейная оценка выполняется не фильтром с постоянными параметрами, а эквивалентным перемножителем-интег- ратором, причем входной сигнал умножается на опорный, и их про изведение интегрируется для получения нужной оценки.
Ограничение на длительность опорного сигнала эквивалентно в этом случае ограничению на память фильтра. Аналогично, если фильтрация выполняется цифровыми методами, ограничение на объем запоминающего устройства эквивалентно ограничению на время памя ти. Условие конечной памяти может быть исследовано точно тем же способом, что и условие физической реализуемости. В этом случае мы применяем дополнительное условие в виде
h (t, s) — Wi(t — s) |
h (t, |
s), |
(9.156) |
где |
|
|
t < |
T, |
11 |
для |
0 < |
wi \ l> jo |
для |
остальных t. |
Средний квадрат ошибки определяется при таком ограничении из (9.119), но с заменой w на w±, а оптимальный фильтр должен удов летворять уравнению
t
^ h (t, o)kzz (s, о) do = kz(i>(s, t) при s < t ^ s -f T. (9.157)
Способы решения уравнения Винера — Хопфа при незначительных изменениях применимы к уравнению (9.157). Ряд авторов (12, 13, 17, 19] приводят методы решения уравнений этого типа, в частности для стационарного в широком смысле процесса и рациональных
K zz(f) И Ксо,(/).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. |
P a p o u l i s |
A . |
P r o b a b ilit y |
rand om |
and stochastic |
processes. M cG ra w - |
|
H i l l , |
1965. |
|
|
|
|
|
2. |
С о s t |
a s J. |
P . |
C o d in g w ith |
L in e a r |
systems. — «P r o c . |
I R E » , 1952, v. 40, |
p.1101 — 1103.
3. |
M |
a u r e r |
R . |
|
E . |
T h e |
o p tim a l |
e q u a liza tio n |
o f ra n d o m |
channels. |
|
C o m m u n i |
|
cation |
th eory |
Group repo rt |
№ |
09. |
N ortheastern |
U n iv e r s ity , 1968. |
|
|
|
|
|
4. |
V a n V l e c k |
|
J. |
H. |
and |
|
M i d d l e t o n |
D . A |
th eoretica l |
com parison |
|
of |
the |
visu al |
|
aural, |
and |
m eter |
recep tion |
of |
pulses |
signals |
in |
the presence |
of |
|
N oise. — «J . |
|
A p p l . P h y s », 1946, |
v . |
17, |
p. |
940— 971. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
D w |
о r k |
В. |
|
M . D e te ctio n of |
|
a pulse |
superim posed on |
flu c tu a tio n |
noise. — |
|
«P r o c . |
I R E » , |
1950, |
v . |
38, |
p. |
771— 774. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
T u r i n |
G . |
|
L . ^ A n |
In trod u ctio n |
to |
m a tched -filters . — |
« I R E |
Trans, |
|
on |
I n |
|
fo rm a tio n |
T h e o ry », |
1960, v. |
IT - 6 , |
p. |
311— 329. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
T u f t s |
D . |
|
W . N y q u is t ’ s |
p ro b le m — T h e |
|
J o in t |
o p t im iz a tio n |
of |
tr a n s m it |
|
ter |
and |
receiver |
in |
pulse |
a m p litu d e |
m o d u latio n . — |
«P r o c . I E E E » , 1965, v . |
53, |
|
p. |
248— 259. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
A a г о n |
M . |
|
R . |
and |
T u f t s |
D . |
W . |
In te rs y m b o l |
interference |
and |
error |
|
p r o b a b ilit y . |
— |
|
« I E E E |
Trans, |
|
on |
In fo r m a tio n |
|
T h e o r y », |
1966, |
|
v . |
|
IT -12 , |
|
p. |
26 — 34. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
L u c k у |
R . |
|
W . |
A u to m a tic |
|
e q u a liza tio n |
|
for |
d ig ita l |
|
c om m u n icatio n . — |
|
« B e ll Sys. |
T ech . |
Jour.», 1965, v . |
44, p. 547— 588. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
L |
u c |
k у |
R . |
|
W . T ech niques |
|
for |
a d a p tiv e |
e q u a liza tio n o f |
d ig ita l |
|
c o m m u |
|
n ica tio n |
s y s te m s / — |
« B e ll |
Sys. |
T ech . |
Jour», |
1966, |
v . |
45, |
p. |
255— 286. |
|
|
11. |
L e e |
Y . |
|
W . |
|
S ta tis tic a l |
T h e o r y |
of |
c om m u n icatio n . |
John W i l e y |
and |
Sons, |
|
1960. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
L |
a n i n g |
|
J. |
|
H . |
J r . |
a n d |
|
В |
a H J |
n |
|
R . |
H . R a n d o m |
processes |
in |
au |
|
to m a tic con trol. M c G r a w - H ill, |
|
1956. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
Д а в е н п о р т |
В . |
Б. |
и |
|
Р у т |
В. |
Л . |
Введение |
в |
теорию |
с лу ч а й н ы х |
|
с и гн а ло в и шумов. М ., |
И Л , |
1960. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
М |
и д д л т о и |
Д . |
Введение |
|
в |
статистическую |
теорию |
связи, |
т. |
2. |
И зд. |
|
«Сов. радио», 1962. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
В |
а н |
Т р и с |
|
Г. |
Теория |
обнаруж ения, |
оценок |
и |
м одуляции , |
т. |
1. |
Изд. |
|
«Сов. |
р адио », |
1972. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A s im p lifie d |
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
В |
о d е |
Н . |
|
W . and |
S h a n n o n |
С. |
Е. |
|
d eriv atio n |
of |
|
L in ear |
|
L e a s t |
square |
s m o oth in g |
and |
p red ictio n |
theory. — |
« P r o c |
I R E » , |
1950, |
v. |
38, |
|
p. |
417— 425. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
D |
a r 1 i n g t о |
n |
S. Lin ea rT lea st-sq u ares |
|
sm o oth in g |
and |
p red ic tio n |
w ith |
|
ap p lication s. — |
«B e ll Sys. |
Tech . Journ., |
1958, |
v. |
37, |
p. |
1221 — 1294. |
|
|
|
18. |
P |
a p о u 1 i s |
|
A. T h e |
fourier |
|
integral and |
|
its |
application s. |
M c G r a w - H ill, |
|
1962. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
Z |
a |
d e h |
L . |
A . |
and |
R a g a z z i n i |
J. |
|
R . |
O p tim u m |
filte rs |
for |
d e te c ti |
|
on |
of |
signal |
|
in |
|
N oise. — |
«P ro c . |
|
I R E » , |
1952, |
|
v . 40, |
p. |
1223— 1231. |
|
|
|
|
|
