Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

С учетом (8.27) нужные корреляционные функции имеют значения

Рис. 9.14. Периодическая оценка амплитуд АИМ сигнала.

Как и в § 8.4, мы представим корреляцию амплитуд в частотной обла­ сти, введя периодическую функцию

где учтено, что

(см. упражнение 4.4).

Подставив (9.107) и (9.108) в (9.67), получим уравнение для функ­

Замечая теперь, что М (f) периодическая, сделаем подстановку W(f) = = F* (f)Ii* (/). Тогда из (9.109) получается

251

Разностное уравнение бесконечного порядка (9.110) допускает простое решение. Это связано с тем, что правая часть и первое слагае­ мое левой части есть периодические функции с периодом ИТ. Поэто-

H(f)

M f )

Рис. 9.15. Оптимальная фильтрация для синхронизированного АИМ сигнала.

Обозначены отклики на одиночный импульс единичной амплитуды.

252

периодичны]. Если второй множитель в (9.114) аппроксимировать конечным рядом Фурье, то фильтр (с общим временем задержки пТ сек) может быть реализован на многоотводной линии задержки, как пока­ зано на рис. 9.15 [7—10].

Коэффициенты усиления в отводах есть коэффициенты ряда Фурье для D (/):

Некоторое пояснение работы оптимального фильтра можно получить, рассматривая частный случай, когда отклик согласованного фильтра г (t) на одиночный импульс удовлетворяет условию Найквиста (6.123), в силу которого межсимвольные помехи устраняются. Из (9.112) мы имеем в этом случае L (/) = г (0). Поскольку межсимвольные помехи на выходе согласованного фильтра отсутствуют, можно ожидать, что часть фильтра с многоотводной линией задержки должна быть изъята, так как она снова создает такие помехи. Это верно в случае, если ам­ плитуды импульсов некоррелированы, т. е. М (/) = а 0 и D (/) = const. Но если корреляция в последовательности амплитуд имеет место, то оптимальный фильтр дает некоторый выигрыш за счет уменьшения влияния шума при небольших межсимвольных помехах. Этот эффект ощутим, если шум сравнительно велик.

В случае сильного сигнала мы имеем

И, если межсимвольные помехи в г (t) отсутствуют, фильтр на много­ отводной линии задержки должен быть исключен.

Упражнение 9.11. В задаче о периодической оценке амплитуд АИМ сигна­ ла предположим, что сигнал нестабилен во времени, как было изложено в § 8.5. В этом случае

253

9.6. УСЛОВИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ

При практической реализации рассмотренных нами оптимальных фильтров приходится учитывать различные ограничения, которые не были сформулированы в качестве предварительных условий в за­ даче оптимизации. Эти ограничения приводят к изменению характе­ ристик системы и уменьшают ожидаемый выигрыш. Такие условия, как, например, допустимая сложность или влияние неизбежных пара­ зитных связей, не являются принципиальными для проблемы филь­ трации. Они могут быть преодолены ценой увеличения затрат и неко­ торых конструкторских решений.

В отличие от этого, требование неопережающего отклика прин­ ципиально необходимо для физической реализации фильтра. В этом параграфе рассматривается физическая реализуемость в указанном смысле. Условие такой реализуемости можно сформулировать в виде ограничения на импульсную характеристику h (t\ s). Необходимо и достаточно, чтобы h (t; s) обращалась в нуль для всех t < s. Как и ограничение на длительность, встретившееся нам в задаче оптимиза­ ции сигнала (см. гл. 6), условие физической реализуемости фильтра обычно легче учесть прямым методом, а не с помощью множителя Лагранжа. Поэтому мы вводим дополнительное условие

Тогда в сформулированной в § 9.2 задаче о минимуме среднего квадрата ошибки изменяется функционал /. Мы получаем вместо (9.3)

со

— 00

Вычислив градиент функционала (9.119) по переменной h (t, s) и приравняв его нулю, придем к необходимому условию минимума

со

^w(t ~s)w(t —a)h(t,a)kzz(s,a)da=w(t—s)kz<a(s,t). (9.120)

—оо

Учитывая значение (9.118) для w (/), перепишем (9.120) в виде

Это уравнение удается решить только в некоторых частных случаях. Если процессы z и о> совместно стационарны, так что kzz (s, о) и (s, t) можно представить соответственно в виде kzz (s — о) и

254

kzu, (s — T0 (9.121) превращается в уравнение Винера — Хопфа, достаточно хорошо исследованное. В этом случае

t

^ h(t — o)kzz(s— o)do = kza(s— t) при t ^ s

—оо

или, изменяя обозначения,

во многих работах по теории систем связи и систем управления [11— 15]. Мы рассмотрим метод, предложенный Боде и Шенноном [16, 17], который не только снимает ограничения на рациональность функций, но дает физически прозрачную картину работы оптимального фильтра. Сначала заметим, что если принимаемый сигнал г (t) есть белый шум

Следовательно, в этом частном случае оптимальный реализуемый фильтр имеет импульсную характеристику, такую же как без учета условия реализуемости, но усеченную при t — 0. Простое решение уравнения (9.122), предложенное Боде и Шенноном, основано на том, что в большинстве практически важных задач сигнал z можно пред­ варительно пропустить через физически реализуемый отбеливающий фильтр с постоянными параметрами, т. е. такой, что корреляция на его выходе будет соответствовать белому шуму единичной дисперсии. Тогда остается лишь включить последовательно с отбеливающим фи­ зически реализуемый фильтр, соответствующий рассмотренному слу­ чаю, как это показано на рис. 9.16.

В соответствии с (9.123) оптимальный фильтр, воздействующий на сигнал z, имеет импульсную характеристику

w (i)x (0, т. е. от усеченной (произвольной) функции х (t). Тогда можно записать

255