Применяя преобразование Фурье, с учетом (9.68) и (9.69), получаем
Вгг (/, v) = |
а2Я IG (/) G* (v)] F(f)F* (v) +/СВВ (/) б ( f - v) , |
(9.83) |
|
Cza, if, t0) = <FE [G (/)] F (/) |
|
|
и условие (9.67) |
принимает вид |
|
оо |
|
|
а2 | Е [G (/) G* (v)] F (/) Я* (v) Я* (v) e~-'2llv(»dv -j- |
|
— оо |
|
|
+ |
(/) H* (f) e - i w о= a2 Z7 (/) Я [G (/)]. |
(9.84) |
Этому уравнению можно придать более удобную форму, если ввести новую неизвестную функцию
|
= |
|
(9.85) |
Тогда, подставив (9.85) в (9.84) и деля обе части на а2Я (/), |
приходим |
к обычному интегральному уравнению Фредгольма второго рода |
j |
Е [G (f) G* (v)] W (v) dv + |
Ц7 (/) = G (/). |
(9.86) |
|
|
a21F(f) |2 |
|
Ядроэтого |
уравнения есть автокорреляционная функция Е [G (/)G* (v) |
случайного канала. Как и следовало ожидать, здесь необходима более полная информация о статистических свойствах канала, чем для оцен ки формы сигнала, когда требовалось знать лишь среднее значение и дисперсию. Получить решение уравнения (9.86) в общем случае за труднительно. Но в некоторых частных случаях, представляющих практический интерес, уравнение существенно упрощается [3]. Сле дующий пример иллюстрирует типичные результаты.
Пример 9.7. Согласованный фильтр для импульсов со случайным временем прихода. Часто форма импульса известна точно, но неиз вестно его положение во времени. Чтобы исследовать фильтрацию
импульсов при |
случайном |
времени |
прихода, будем считать, что |
G (f) — оператор |
задержки, причем |
время задержки т — случайная |
величина. Пусть т имеет плотность распределения рх (£). Тогда |
|
|
G (/) = е - '2яЧ |
|
|
оо |
|
|
|
£ [G (/)]= |
^ p A l ) e - i ^ f dl = Px(f), |
(9.87) |
Е [G ф G* (v)] = j |
Px (g) e- / 2«6(/-v) di = / > ,( / - v), |
(9.88) |
где Px (f) — преобразование Фурье от px (£). Подставляя эти выраже ния в (9.86), получаем
J p x(f~v)W{v)dv- |
Кни (П |
W(f) = px(f). |
(9.89) |
|
а21F (/) |* |
|
|
Точное решение (9.89) можно получить, предположив (что не слишком далеко от истины) пропорциональность | Ё (/) |2 и Кии ([)■ Отношение этих величин
Кии (П
имеет смысл отношения сигнал/шум. Используя эту зависимость и применяя обратное преобразование Фурье к (9.89), приходим во вре менной области к простому решению задачи
pT(t)w(t) + — w(t) = px(t),
р |
|
откуда |
|
w(t) = РРТ (0 |
(9.91) |
1+PPxW |
|
Рис. 9.13. Согласованный фильтр для импульса со случайным временем прихода при различных отношениях сигнал/шум р; Уо(0— отклик фильтра на импульс единичной амплитуды при т=0.
Физическая интерпретация этого результата становится ясной, если рассмотреть форму сигнала на выходе фильтра, а не его импуль сную реакцию h (t).Пусть У0 (/) = F (/)# (/), тогда из (9.85) мы имеем
w (0 = у0 (to — 0. |
(9.92) |
где у0 (t) — выходной сигнал фильтра, если на вход его подан сигнал / (/) с единичной амплитудой, нулевой задержкой и без шума. Эти вы ходные сигналы даны на рис. 9.13 для показанной там же плотности вероятности времени задержки. Если отношение сигнал/шум мало, то оптимальная форма выходного импульса приближается к характери стике, получаемой зеркальным отображением плотности вероятности. Иными словами фильтр «выпячивает» сигнал в том временном интер вале, где появление импульса наиболее вероятно. При большом отно шении сигнал/шум, последний не оказывает заметного влияния и
тогда оптимальная форма выходного импульса приближается к пря моугольнику единичной амплитуды, что и уменьшает, очевидно, влия ние нестабильности времени прихода.
G (/) |
Упражнение |
9.10. Для импульса, прошедшего через случайный |
канал |
с постоянными параметрами, найти фильтр, максимизирующий пик выход |
ного сигнала при дополнительном ограничении на выходную мощность |
шума, |
т. е. |
найти Н (/), |
максимизирующую 1г = Е [у (<„)] при условии, что |
|
|
|
00 |
|
|
|
h = J Kuu{f)\H(f)\*df. |
|
— оо
Дать трактовку решения через понятия, связанные с согласованной фильтра цией. Заметим, что эта задача одна из немногих, где несущественна величина дисперсии параметров канала.
Помехи за счет смежных импульсов
Несколько иная задача встречается в тех случаях, когда прини маются не одиночные импульсы, а последовательность импульсов одинаковой формы. В этом случае оптимальный фильтр должен устра нить не только аддитивный шум, но и помехи за счет «хвостов» им
пульсов, |
предшествующих оцениваемому. Оптимальный фильтр, |
с одной |
стороны, должен быть широкополосным, чтобы получился |
короткий |
отклик и хорошее |
разрешение по времени, а с другой — |
узкополосным, чтобы уменьшить влияние |
шума. |
Конкретизируя задачу |
предположим, |
что мы хотим оценить |
(при t = |
t0) амплитуду импульса, имеющую место в момент t = i0. |
Также предположим, что другие импульсы последовательности имеют ту же форму, но их амплитуды случайны и статистически независимы, а моменты появления распределены по пауссоновскому закону с па раметром X в обе стороны от t0. Тогда задача сформулируется следую щим образом:
T0:a>(t0) = a0, |
|
T1:z{t) = a0f{t — t0) + \{t)Jr u (t), |
(9.93) |
где величина |
|
оо |
|
v (0 = 2 akf(t —th); 1гфО |
(9.94) |
k= —ОО |
|
статистически независима от а0 и u (t). Мешающий импульсный про цесс v (t) такой же, как в § 8.7. Было показано, что этот процесс стационарен в широком смысле и получены выражения для среднего значения (8.96) и автокорреляции (8.99).
Подсчитаем корреляционные функции:
kzz(s, а)= f (s— t0) f (о—10) +a0vf(s— t0) + a t>vf(a— t0) + |
|
+ kvv(s--o) + kuu(s— o)L |
(9.95) |
^ (s T o ) = a § /(s -/o ) + a0v. |
(9.96) |
Применяя преобразование Фурье и используя (8.99), находим
|
|
|
Вгг (/, v) = a%F(f) F* (v) e-/2"'* |
+ a0 vF (/) е -/2яц„ 6(v) -f- |
4-a0 vE* (v) e+^2ltv<«6 (/) -f- [Xa21F(/)|2 + (v)2 6(/) + |
|
+ t f u » ( / ) ] 6 ( / - v ) , |
(9 -97) |
Cze(/,<0) = a § f (/)e-/2"f'o + i 0v 6(/). |
(9.98) |
В (9.97) и (9.98) слагаемые, содержащие б (/) и б (v), |
могут не |
учитываться, так как они обусловлены средним значением помехи. Эта составляющая помехи практически устраняется путем исключе ния постоянной составляющей, что соответствует условию Н (0) = 0. Это условие несущественно влияет на остальную характеристику и совсем не влияет на алгоритм оценки а0. Подставив в (9.67) значения (9.97). и (9.98), находим функцию передачи оптимального фильтра:
|
аа IF* (/) |
|
(9.99) |
|
Н(П = -Лаа|Е(/)|*+Кив (/) |
Я(0) = 0, |
|
|
где коэффициент пропорциональности а можно вычислить, подставляя
(9.99) обратно в (9.67).
Структура оптимального фильтра качественно ясна. Если X (средняя частота событий) мала, т. е. импульсы достаточно изолиро ваны, а также если шум сравнительно велик, то величина Кии (/) превалирует в знаменателе, и оптимальный фильтр приближается к согласованному для одиночного импульса. С другой стороны, если
шум мал (в силу того, что велико X или а2), то слагаемым Кии (/) мож
но пренебречь, и оптимальный фильтр |
приближается к |
(/), что |
обеспечивает очень короткие выходные |
импульсы. |
|
9.5. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ФОРМЫ СИГНАЛА
Для систем с АИМ характерно, что нас не интересует ни непрерыв ная оценка формы сигнала, ни оценка в какой-либо отсчетный мо мент времени. Оценку принимаемого сигнала нужно производить периодически, чтобы выделять информацию, заложенную в амплиту дах импульсов. Как показано на рис. 9.14, оптимальный фильтр вы рабатывает выходной сигнал, который при синхронном считывании через каждые Т сек должен обеспечить минимум среднего квадрата ошибки при оценке последовательности амплитуд { a k}. В § 8.3 мы показали, что АИМ сигнал является циклостационарным процессом, а последовательность амплитуд стационарна в широком смысле. По скольку статистические свойства принимаемого сигнала не зависят от момента отсчета, параметры фильтра могут не зависеть от времени. Для рассматриваемой задачи
Т0: о) (iT) ^ |
a,; i - - 0, ± 1, ± 2, ... , |
(9.100) |
оо |
ahf(t — kT) + u(t). |
(9.101) |
7’i:z (/) = 2 |
