предпочтительна стратегия, соответствующая минимаксному кри терию, при которой минимизируется наибольший средний риск. Оче видно, это соответствует прямой с нулевым наклоном, т. е. СтРт = CfPf и минимаксные риски не зависят от р. Минимаксная стратегия соответствует порогу
Рт Cm
где pm — априорная вероятность, для которой Св максимален.
10.3. КРИТЕРИЙ НЕЙМАНА—ПИРСОНА
При выборе стратегии решений для некоторых задач обнаружения сигналов может оказаться, что основной интерес представляют сами условные вероятности ошибок Рт и Pf, а не минимизация риска. Тогда мы приходим к классической теории проверки гипотез. Некото рые из употребительных терминов приводятся ниже:
нулевая гипотеза — Я 0, альтернативнаяя гипотеза — Нг,
критическая область — R lt т. е. область, где не принимается решение в пользу # 0,
размер критической области — Pf, т. е. вероятность ошибки I рода,
мощность проверки — 1 ■— Рт, т. е. вероятность несовершения ошиб ки II рода.
Критическая область данного размера Pt обладает наибольшей мощ ностью, если Рт минимальна.
Лемма Неймана— Пирсона утверждает, что критерий отношен ия правдоподобия наиболее мощный. Иными словами, для заданной ве роятности ложной тревоги Pf наилучшей стратегией, минимизирую щей вероятность пропуска Рт, является та, которая принимает ре шение в зависимости от того, превышает ли отношение правдоподобия X (у) пороговое значение Я0. Доказательство близко к использованному
нами для задачи минимизации байесова риска. |
|
Пусть R 1 |
= |
{у; Му) > М есть критическая область в простран |
стве сигналов s. |
Пусть далее R[ — другая критическая область того |
же размера, т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
Pf = |
I I (о | Н0) da = |
J |
I (а | Н0) do. |
(10.20) |
Тогда из рис. |
10.2 следует, что |
|
|
|
|
|
$ |
I (о | Н0) do = |
$ |
I (о | Н0) do. |
(10.21) |
|
|
«1ПЯ0 |
RiflK* |
|
