Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Функции правдоподобия (10.43) становятся теперь одномерными плотностями вероятностей и характеристики приемника вычисляются из (10.12) и (10.13):

S;S@S~l (T)

Плоскость, нормальная к S

S

Рис. 10.8. Деление пространства сигналов на области по критерию отношения правдоподобия.

Замена переменной в (10.52) приводит к обычному интегралу вероят­ ностей*>

279

Используя (10.53), (10.56) и табулированные значения Ф (а), можно рассчитать рабочие характеристики приемника для различных

избежать заметных межсимвольных помех, ширина полосы канала должна быть по крайней мере 1/27". Мощность шума в этой полосе равна М0/Т (N0 — двухсторонняя спектральная плотность). С учетом этого мы видим, что р2 можно трактовать как отношение мощности сигнала к мощности шума. Для многих систем связи характерны рав­ ные цены ошибок I и II рода, а также равноверятность обеих гипотез. В этом случае приемник соответствует критерию максимального прав­ доподобия: Х0 = I => а 2 = — с*! = р, и полная вероятность ошибки есть

При высоком качестве приема, скажем при Ре ^ 10~6, рабочая характеристика становится неудобной для оценки качества системы, так как все рабочие точки располагаются в левом верхнем углу. Для таких случаев более удобен график зависимости логарифма вероятности ошибки от отношения сигнал/шум [4], показанный на

280

рис. 10.10. График соответствует уравнению (10.58) и дает идеальную характеристику системы. Реальная характеристика несколько хуже за счет межсимвольных помех, временнйх ошибок и пр. Эти помехи удобно учитывать, вводя эквивалентный шум оборудования, т. е. необходимое увеличение отношения сигнал/шум для сохранения за­ данной вероятности ошибки, такой же, как в идеальном случае.

Сигнал/шумуз,$5

Рис. 10.10. Ошибки приемника, максимизирующего отношение правдоподо­ бия, при бинарном обнаружении сигналов в гауссовом шуме.

Sj (0 : {—0,5; —1,0; —1,0; —1,0; —0,5}.

Реализация принятого сигнала у (Г) в смеси с белым шумом имеет компоненты

у (0 : {0,3; 0,8; -0 ,6 ; —1,5; 0,2}.

Пусть априорная вероятность поступления сигнала sx (t) равна 0,6, а цена ошиб­ ки «принять s0 (t) за sx (t)» в два раза больше, чем цена замены sx (t) на s0(t). Полагая дисперсию шумовых компонент равной 0,6 принять решение на основе критерия Байеса и определить для данного у (t) вероятность того,что это решение

неверно.

Упражнение 10.2. Обнаружитель по критерию Неймана—Пирсона опре­ деляет наличие или отсутствие сигнала s (i) в белом гауссовом шуме с N0 = = 1 вт!гц. Вычислить Рт, предполагая, что s (t) — прямоугольный им­

пульс с амплитудой 47" 1 и длительностью Т, а порог установлен так, что

Pf = 0,01.

281

10.5. ДВОИЧНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В ОКРАШЕННОМ ГАУССОВОМ ШУМЕ

При обобщении задачи обнаружения на случай, когда спект­ ральная плотность шума не равномерна (окрашенный шум), мы сразу же сталкиваемся с трудностью, что в принятом сигнале компоненты, ортогональные к d и совпадающие с d, коррелированы. В случае белого шума компоненты {uh} некоррелированы при любом ортогональном базисе, и мы могли принять нормированный вектор d за один из базис­ ных векторов. Но согласно § 7.5 существует частная ортонормированная система, при которой обеспечивается некоррелированность ком­ понент разложения произвольного процесса с нулевым средним. Эта система представляет собой базис разложения Карунена — Лоэва, причем базисные функции есть собственные функции интегрального оператора с ядром, соответствующим автоковариационной функции процесса, т. е.

s)<Pi(s)<fc = a,,q>,(f);

иг есть Х(. Используя этот базис, мы можем построить приемник мак­ симального правдоподобия тем же способом, что в предыдущем па­ раграфе. Заметим, что стационарности шума не требуется. Совместная плотность вероятности компонент uh\ k = 1, 2, ..., п дается выраже­ нием (10.40), где g1 = Xk. Следовательно, функции правдоподобия принятого сигнала, спроектированного на n-мерное подпространство L2 (Т) имеют вид

k=i

где {г/ft}, {ah} и {bh} n-мерные векторы принятого сигнала, аналогич­ ные (10.28). Отношение правдоподобия определяется в виде

Поскольку показательная функция монотонна, решение по вели­ чине X (у) эквивалентно сравнению показателя экспоненты с порогом

282