Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 130

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

для «-мерного вектора шума {uk}:

 

 

 

a(i)—У if)—So (t) 1 {у \ Но) — pUl иг. . ,ип iih

Q-it У2

^2>••• > Уп

&п),

u(t) = y(t) — Si{t)=^-1{у\Н]) —Ри,и,. . ,ип (У1 '

Уъ

^2 > > Уп

Ьп).

 

 

 

(10.30)

Совместная плотность вероятности для гауссовых случайных величин

Для гауссова случайного процесса с нулевым средним совмест­ ную плотность вероятности легко подсчитать. Сначала дадим опреде­ ления гауссова случайного процесса. Если случайные величины хг =

=

х (ti)\ i =

1, 2, ..., г для любого множества {^} и любого г являют­

ся

совместно

распределенными гауссовыми случайными величинами

с нулевым средним, то х (/) — гауссов случайный процесс с нулевым средним. Это означает (по определению), что совместная характеристи­ ческая функция (7.11) представляет собой экспоненту с квадратичной формой в показателе [3]

(10.31)

где

Щ) — Е 1хг xjl = mxx(tu tj).

Заметим, что такой процесс полностью характеризуется функцией автоковариации.

Теперь получим выражение для совместной характеристической функции п случайных величин вида

аг = (x, Фг) = J x (t) q>t (t) dt; i = 1,2, ..., n,

(10.32)

т

 

где предполагается, что {фг} вещественны и {х (/); t £ T ) — гауссов случайный процесс с нулевым средним. Хорошо известно, что линей­ ное преобразование гауссова случайного процесса дает другой гаус­ сов процесс. В нашем случае это можно проиллюстрировать следую­ щим образом. Для вещественной «-мерной вектор-строки {рг} и случайного «-мерного вектор-столбца {а,} мы можем записать слу­ чайную величину (а, р) в виде

(a, p )= 2 р ^ х (0 ф г( 0 ^ = (х, 1)

(10.33)

где

П

t e r .

i = 1

274

При достаточно большом г можно аппроксимировать (х, %) конечной суммой, разбив Г на г равных интервалов. Тогда

(X, S)=5x(0i(/)d/«— 2

th £T.

 

(10.34)

 

j

 

 

 

Г

k= 1

 

 

 

Теперь, используя (10.34) и (10.31), получаем

 

 

Е [е'<а- ^]= Е [е)‘

ехр

 

- ( - У i) 2 щ , т

т

 

 

 

 

 

 

2

V г } i= 1/=1

 

(10.35)

но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— V 2

2

 

 

 

$$«,*(*,

s)S(s)l(0rfs^ = (Cn,

ц),

с г / г = 1/= 1

 

 

 

т

 

 

 

(10.36)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где С — квадратная матрица

с

элементами

 

 

ci} = § m xx(t,

s)q>3(s)qi (t)dsdt\

i, j= 1, 2 ,...,

n.

(10.37)

Следовательно, для достаточно больших г мы показали, что

 

 

 

I*,,...,

|in) =

£ [e/(-.W ]= e“ ^ (C,l,,l)

(10.38)

и а = {а,}

представляют собой гауссовы случайные величины с ко­

вариацией

Е [ага7-] =

Сц,

определяемой

согласно (10.37).

 

Если {аг} некоррелированны, то С — диагональная

матрица и

 

Qfl, а , .. .ап (Pi>

Рг> •••I

Еп) —

^

 

(10.39)

где

 

 

 

 

 

 

l = I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

<2аг(р г) =

е

2

‘

а? =£[a?l-

 

 

Совместную плотность вероятности можно найти, взяв преобразова­ ние Фурье от каждого Qa. (щ)

Ра, а2. . ,ап ( i i ,

 

Sn) = 2

Ра, ( l i l

где

 

i =

1

 

 

 

Pat {li) =

2

e

(10.40)

 

~[/2nOi

Заметим также, что если гауссовы случайные величины {а;} некоррелированы, то в соответствии с (7.17) они статистически независимы.

27 5

Отношение правдоподобия для аддитивного гауссова шума

Возвращаясь теперь к вычислению функций правдоподобия (10.30) для гауссова белого шума и, из (10.37) мы имеем

£,Iui uJ]= J J w BU(/, s) <рг (s) ф, (t) ds dt.

(10.41)

 

т

 

Но, поскольку muu (t,

s) = JV08 (t — s), (10.41) принимает вид

E [u, u,-] =

N0Ц 6 (t — s) ф, (s) <pj (t) ds dt —

 

 

т

 

= No § фг (t) фj (t) dt = N0 8U.

(10.42)

 

т

 

Таким образом, для любого ортонормального базиса в S представле­ ние белого гауссова шума имеет некоррелированные коэффициенты с одинаковой дисперсией N0. Подставляя (10.40) в (10.30), находим

*(У|Я0)

1

 

ехр

)•

 

(2лЫ0)п/2

 

 

 

 

(10.43)

 

 

 

Цу\нг)

1

 

ехр

 

 

 

 

(2nNо)п/2

 

 

 

 

 

 

Отношение правдоподобия имеет значение

 

 

Я(у) = ехр ( —

Д (yh~ b kf — (yk— ,aft)2j .

(10.44)

Так как показательная функция монотонна, сравнение X (у) с поро­ гом Х0 эквивалентно сравнению показателя экспоненты с порогом In А,0, и решающее правило принимает вид

1

 

п

(Ук— bdf —(yk—aft)2<lnA,0

принять Н0, если------- 2

 

2Nak= 1

 

или, что тоже:

 

 

П

П

 

 

 

принять Н0, если 2'^lyh(bh — ah) С 2A/oln V f 2 Ь\— 2 а1-

k

 

 

k=\

k=i

 

 

 

 

(10.45)

Для упрощения формул введем разностный сигнал:

 

d (t) = sx (t) + s0 (t);

t £T, dh — bk — ah.

(10.46)

Уравнение

 

 

 

 

П

 

 

 

 

2

y h d h = const

(10.47)

276

определяет плоскость в S, нормальную к d, которая делит S на области R 0 и R u как показано на рис. 10.5.

Рис. 10.5. Разделяющая поверх­ ность для критерия отношения правдоподобия.

Области Ro и Ri разделяются пло­

скостью, нормальной к вектору раз­ ностного сигнала d.

2

Если {<pfe; k = 1, 2, ..., п) выбраны так, что для достаточно боль­ шого п sо (t) и Sjl(t) содержатся в S, то скалярное произведение «-мер­ ных векторов эквивалентно скалярному произведению в L2 (Т) [см. (2.49)]. Итак, мы сразу получаем одномерное решающее правило, соответствующее (10.45), и зависящее только от величины проекции сигнала у на направление d:

принять Н0, если (у, d)< jV 0ln ^o + 4 " ( si’si)—

!r(s°’ s°)- О0-48)

2

2

Реализация приемника

Из (10.48) ясно, что приемник должен сформировать скалярное произведение принятого сигнала и разности передаваемых сигналов (следовательно, в приемнике должен храниться опорный сигнал) и сравнить это значение с заранее рассчитанным порогом, определяемым величиной А,0 и разностью энергии передаваемых сигналов. Реализация такой операции может быть выполнена с помощью методов, рассмот­ ренных в § 2.6. Скалярное произведение можно образовать с помощью интегратора и умножителя, показанных на рис. 10.6, или с помощью фильтра и отсчетного устройства (рис. 10.7).

При реализации с помощью фильтра его импульсная реакция есть h (t) = d (tо — t). Таким образом, фильтр согласован с разностным сигналом в белом шуме (см. § 9.4). Это показывает, что в случае белого шума, минимизация среднего квадрата ошибки при оценке амплитуды импульса эквивалентна проверке гипотез по отношению правдоподо­ бия. Мы можем убедиться, что эти задачи эквивалентны, если перепи­ шем (10.3), используя разностный сигнал, так что принятый сигнал будет представлен через нужную случайную величину — амплитуду импульса

у (0 = Qd (0 + So (0 “I- u (0; t £ T.

(10.49)

277

Оценка амплитуды разностного сигнала эквивалентна определению, какой из сигналов присутствует — s0 (/) или sx (t).

Другая принципиально важная сторона этих результатов заклю­ чается в том, что S может быть подпространством не слишком большой размерности. Мы можем даже положить, что S — одномерное подпро-

Интегратор

Рис. 10.6. Реализация приемника, работающего по отношению правдоподобия, с помощью умножителя и интегратора.

странство, включающее d. Приемник отбрасывает как ненужную информацию [1] любую компоненту принятого сигнала, ортогональную к d. Это вызвано тем, что в случае белого шума такие компоненты ста­ тистически не зависят от того, какой сигналшрисутствует. Для работы

' ..

— ~

ч

Ng 1пХд+— (si1s1)~ — (s0tsn)

Рис. 10.7. Реализация приемника, работающего по отношению правдоподо­ бия, с помощью согласованного фильтра и отсчетного устройства.

Опорный сигнал есть зеркальное отражение импульсной реакции фильтра.

приемника важна лишь единственная ортогональная проекция шума на S. Развивая сказанное, положим, что S — подпространство, на­ тянутое на срх (/) = || d ||-1 d (t), как показано на рис. 10.8. Тогда про­ екция принятого сигнала на S имеет вид

= (У. <Pi) = jjj( y , d)

(10.50)

и решающее правило (10.48) принимает форму:

принять # 0, если у1< - ’Уо-1п^0 + ^

s°^ = r. (10.51)

278

Смотрите также файлы