Файл: Френкс, Л. Теория сигналов.pdf

1п Я0, при этом решающее правило имеет вид:

Поскольку {<pft} задаются уравнением (10.59), то при достаточно боль­ ших п сумма (10.64) может быть представлена как (у, f), где f (t) — решение интегрального уравнения Фредгольма I рода [81:

Теперь решающее правило принимает одномерную форму, зависящую только от величины проекции сигнала на направление /:

Решение уравнения (10.65) представляет некоторую трудность, пос­ кольку решение может не существовать, если d (t) или kuu (t, s) не имеют некоторой сингулярности, или, если интервал Т не бесконечен. Один из практических путей решения связан с предположением, что d можно разложить по собственным функциям. Тогда f аппроксими­ руется линейной комбинацией тех же собственных функций с коэф­

фициентами fu =

При другом способе [5] предполагают, что имеется также «белая

283

где klu (t, s) есть автоковариация процесса с конечной дисперсией.

решение которого всегда существует. Наконец, еще одна возможность, которой не следует пренебрегать, если передаваемые сигналы можно как-то варьировать, состоит в том, что сначала выбирается характе­ ристика приемника / (t), а затем определяется d (t) согласно (10.65).

Как только / (t) определена, приемник можно реализовать в виде схем, показанных на рис. 10.6 или 10.7 с заменой d (t) на / (t). Интерес­ на аналогия с предыдущими результатами для случаев, когда шум стационарный, а интервал наблюдения достаточно большой. Тогда мы записываем в (10.65) автоковариационную функцию в виде kuu (t —s) и без большой погрешности заменяем конечный интервал интегрирова­

При реализации в виде фильтра и отсчетного устройства передаточная

Фильтр согласован с сигналом d в шуме со спектральной плотностью

!<ии (/) (см- § 9.4).

Характеристика приемника

Разложение Карунена — Лоэва было очень полезно для выявле­ ния структуры приемника по отношению правдоподобия, но расчет характеристик приемника на этой основе выполнить сложно, так как трудно указать пределы интегрирования в (10.12) и (10.13). Однако можно найти такое Одномерное подпространство, что компоненты при­ нятого сигнала-вне его можно не учитывать. Т. е., как и при белом шуме, задача обнаружения становится одномерной [6]. По аналогии со случаем белого шума хотелось бы сразу предположить, что подпро­ странство натянуто на f (t). Но методологически более оправдано счи­ тать, как мы уже делали, что 5 —одномерное подпространство, натя­ нутое на )(1 (0 = II d Ц-1 d (t).

В случае окрашенного шума рассмотрим не только ортогональную

проекцию, но и другие проекции у на 5. Пусть S есть подпространство всех векторов, ортогональных f (/). Тогда полное пространство может

быть представлено как прямая сумма S и S, т. е. любой сигнал может

284

Рис. 10.11. Пространственное представление критерия отношения прав­

доподобия при обнаружении в окрашенном шуме. Заметим, что S не ортогонально к S.

что показано на рис. 10.11. Соответствующая порогу гиперплоскость (10.64), нормальная к f, пересекает S в точке

l i l L y

(d, f) Л1‘

Компоненты шума в 5 некоррелированы (следовательно, статистически

независимы) с соответствующими компонентами из 5 (см. упражнение 10.3). Дисперсия компонент шума имеет значение

£[и!]=йkuuit’ s)H?1{s)y*{t)dsdt =

Функции правдоподобия для у х = (г/, г^) даются формулами

*> Полезно представлять себе, что ijy есть первый вектор из базиса, сопря­ женного с {fo, %2> Хз> ••■}> на который натянуто S ф S.

285

Из этих соотношений видно, что характеристики приемника точно такие же, как при белом шуме, но отношение сигнал/шум р опреде­

ляется как у (d, f)*й , а не

«dЦ/2 KTVo-

В случае белого шума характеристики приемника зависят не от формы сигнала, а лишь от энергии в интервале Т. Для окрашенного шума характеристики зависят от формы сигналов; не переходя к конкрет­ ным примерам, можно наглядно продемонстрировать это в общем слу­ чае, если выбрать d (t) совпадающим с одной из собственных функций уравнения (10.59). Если d (t) — (ph (t), то согласно (10.65) f (t) =

286

=(lM-h) Фk (О- В этом случае f£ S и проекция на S являются ортого­ нальной проекцией (рис. 10.11). Отношение сигнал/шум есть просто

Ясно, что характеристики приемника лучше, если d (t) есть собствен­ ная функция, соответствующая малому собственному значению. Это и понятно — лучше те сигналы, которые в наименьшей степени совпадают с аддитивным шумом.

Упражнение 10.4. Вывести выражения (10.76) и (10.77).

Указание. Показать, что (s0, gx) = (s», g0).

Упражнение 10.5. Пусть сигналы s0 (t) и Si (t) такие, что s0 (t) = —s1 (t), равновероятны и представляют собой прямоугольные импульсы единичной энер­ гии в низкочастотном гауссовом шуме со спектральной плотностью Кии (/)• Найти реализацию приемника максимального правдоподобия для предельного случая, когда длительность импульса существенно меньше, чем величина, об­ ратная полосе шума. Получить для этого случая характеристики ошибок.

10.6. УЗКОПОЛОСНЫЕ СИГНАЛЫ-НЕКОГЕРЕНТНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ

Как отмечалось в гл. 4 во многих физических системах используют­ ся узкополосные сигналы, спектр которых в той или иной мере удален от нулевой частоты. Такой сигнал получается при амплитудной моду­ ляции несущего колебания частоты /0 сигналом, максимальные частот­ ные компоненты которого значительно меньше, чем f0 (рис. 10.12).

1

Рассмотренные методы обнаружения, конечно, применимы» и к этим сигналам. Однако имеется существенная дополнительная труд­ ность, вынуждающая проводить дальнейшие исследования. Эта труд­ ность связана с неопределенностью фазы несущего колебания, неоп­ ределенностью, которая возникает следующим образом. Приемник максимального правдоподобия образует скалярное произведение (у, d)

287