К упр. 7.3. Согласно (7.22) средний квадрат флюктуаций имеет значение
|
|
|
оо |
|
|
|
|
(0) —2&жж (т) = |
2 J |
Кхх (/) [1 —е/2я^т1] df = |
|
|
Г |
-----ОО |
|
г |
|
|
|
|
= |
2 |
^ АГжае (/) [1 —COS 2л/т] df = 4 |
I' /С** (/) sin2 (я/т) df < |
|
W' |
|
|
W7 |
-W' |
|
|
|
/Сжж (/) df = {2iiWx]2-kxx (0). |
< 4 |
J /СЖх (/)[я/т]2<*/<4[я1Гт]2 |
С |
—W |
|
|
—W |
|
Следовательно, |
средний квадрат |
флюктуаций меньше, чем [2я№т]2£ [х2 (<)]. |
Мы имеем также |
|
|
|
W
кхх (т) = ^ Кхх if) cos 2nfxdf.
—w
|
Ho cos 2nfx > cos 2nWx при | / | < W и | x \ < |
If AW. Поэтому |
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
kxx (t) > |
cos 2nWx |
^ |
Kxx (f) df = |
kxx (0) cos 2nWx |
при | т | < 1 /4U7. |
|
|
|
|
|
-w |
|
|
|
|
|
|
Также, если т<Л /4№ , |
то |
|
|
|
|
|
|
к...... . |
Ww |
|
|
|
|
|
W |
|
|
> |
Kxx5 |
(ft |
cos2 |
(2' ^ dfT) = \ |
5Kxx (ft |
11+ c o s (4 lt/ dfT)] = |
|
W |
|
|
|
|
-w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
2 |
(0) ~b k x x (2t )] . |
|
|
К упр. |
7.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
E [ \ y { t ) \ * ) = E |
J 5 |
x ( / - о ) A (a) x* (t - l) h* (6) dadl |
|
|
|
|
|
|
—oo |
|
|
|
= \ \ k x x ( l - c ) h ( o ) h * ( l ) d o d l .
x (t) |
b(t) |
y(t)=fx(t-d)t{d)dd |
|
Среднее значение |
представляет собой квадратичную форму |
{ah, h) типа (6.16) |
с ядром вида A (t, |
т) = kxx (t — т). |
|
|
Следовательно, оператор: 1) инвариантен во времени (оператор свертки); |
2) положительно-определен, так как при любой h (t) {ah, |
К) = Е [| у {t)\2]> |
> 0; 3) самосопряжен по (6.17), так как |
|
|
|
A'{t, т) = А* (т, |
t) = kxx{x - t); |
|
Е (х (£ + т - 0 х* (I)]* = Е [х (|) х* (| + т - 0 ] |
= |
= Е [х (a + t —x) х* (а)] = |
kxx{t —x) = A { t , т ) . |
К упр. 7.5.
kyy (т) = Е [у (t + т) у* (*)] = Е У (t + х) $ h* (t - I) х* (|) dl
“ $ |
A*-(<-|)£[y(/ + T)x*(i)]d6= J Л*(<-£)А№(/ + т - Е ) й6. |
— со |
— оо |
|
со |
|
•■= ^ h* (о —х) kyx (a) da. |
|
— оо |
Здесь использовано (7.29) и введено обозначение а = t + т —
ij(i)-fft(i,s)x(s)ds
Купр. 7.6. В общем случае выходной процесс не является стационарным
вузком смысле и согласно (7.24)
h v i h , h) = Е [у (*i) у* (tz)) = Е ^ h (<!, s) /г* (/2, о) х (s) х* (ст) d s d a
=s) h* (t2, о) kxx (s— o) ds do.
—00
Следовательно,
CO
|
k y y (t1» ^ 2) ” |
^ ^ (^1> |
^ 2 » |
k Xx (f) dx t |
где |
|
— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
H t l9 t 2j t ) = |
^ h ( t t , % + G ) h * ( t 2 , a ) da. |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
y (t)= f fr(t,s)x(s)ds |
Аналогично |
|
|
|
|
h x ( h , |
h)= -E[y(t1)%*(i2)]=E |
^ h (h, s) x (s) x* (i2) ds |
|
|
|
■OO |
|
= |
^ h ( t lt s) kxx (s |
/2) ds — ^ |
h(tu |
x + tz) kx x (x)dx. |
К упр. 7.7.
Если ввести определения
kx x {%)=E[x(t) х* (/-ft)],
kyy М = £ [ у ( 0 У* V + т)],
то
kyy (т) = Е $§ А (*-о)х(о)А * (/ + т - 6 ) x*(l)dodl
00 |
ОО |
h ((—°) h* {t+ X— Q kxx ( l —o)da dl = ^ w ( t — s) kxx (s) ds, |
—oo |
—00 |
где |
00 |
|
|
w(t) = ^ h (ri) h* (t) + t ) d t) . |
|
—00 |
Но в этом случае |
W ф ■= | Н (—f) |2, |
К у у Ф ^ \ Н ( - П \ г К ш Ф -
Далее, если Н ($ соответствует узкополосному фильтру на частоте f, мы полу чаем (см. рис. 7.3)
£11 у (012]« ***(-/) Д/.
Таким образом, при указанных определениях Кхх Ш будет давать спектральную плотность на частоте —Ц. Ясно, что предпочтительно другое определение авто корреляции для комплексных процессов.
К упр. 7.8. Применяя (7.31), мы можем получить спектральную плотность мощности профильтрованного белого шума. Обозначим процесс на выходе фильт ра через х (t):
|
I Нф |2 = |
1 |
^ Кхх{ )~ |
1 |
1 |
|
1+ (Ш 2 |
п/о |
1+ (///о)2 ^ |
|
|
|
|
=> ^ ( т ) = |
е - 2л?»1т1 [см. (6.57)]. |
а) Поскольку Е [х (<)]= 0, то дисперсия kxx(Q)=e 2jlf« I * I — i . |
|
т |
|
|
т |
|
б) |
E |
|
|
§ kxx(0)dt = 2Г. |
|
—т |
|
|
—т |
|
в) |
Оптимальные базисные функции |
дает |
разложение Карунена—Лоэ |
и для их определения нужно найти собственные функции уравнения
Т
(j е—2nfo И—s! .ф.(S)ds = А,* ф; (О-
—г
С точностью до множителя я/0 последнее уравнение совпадает с (6.58). Поэтому собственные числа (6.61) следует лишь разделить на я/0. Ненормализованные собственные функции даются выражением (6.63).
г) В (6.148) использовано то же самое интегральное уравнение. Поэто при больших п
|
|
|
|
1 |
( 4 UT \2 |
|
|
|
|
|
'^n+i: |
|
|
|
|
согласно (7.49) |
|
|
|
|
|
|
|
Л|> — |
2 |
^‘ |
(4/о Т)* |
00 |
1 |
(4/,Г)« |
_dy_ |
(4/0 71)2 |
я/о |
2 |
|
я/о |
л»2 |
я/0п |
|
i— n+ 1 |
|
п+1 ^I* |
|
Теперь найдем такое я, при котором |
ss 0,01 (2Т): |
|
|
|
|
|
|
800 |
|
|
|
|
|
|
|
« = ------ /о г = 254/0 Т . |
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
Такое число членов требуется в разложении Карунена—Лоэва. |
|
д) |
Временное |
представление, использующее прямоугольные импуль |
вкачестве базисных функций, дает для (7.41)
Тп т
|
7ф= |
^ kxx{0)dt— ^ |
|
§§£**(*—s)9«(s)9*(0d<ds- |
|
—г |
|
|
г= 1 —г |
|
|
|
|
|
Применяя дважды равенство Парсеваля, |
находим далее |
|
|
Т |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
J |
Ф/(0 |
\ k xx(t-s)<fi (s)dsdt^ |
$ Ф* (/) |
(/) Фг (/) <*/> |
-Т |
|
— г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
Jr |
f Wfl |
|
|
|
1 |
ф; ( / |
I (/) ф, (/) ■!/ |
|
(2я/)2 |
|
|
|
|
|
|
277я |
kxx (t) f 1 »1 *1 |
d/. |
|
|
|
|
|
= |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
— 2TJn |
|
|
' |
|
2? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что это значение |
|
не зависит от г. |
Поэтому суммирование по t дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
2Т |
|
|
|
|
|
|
/ф= |
J kx x ( 0 ) d t - 2 n |
J |
e ~ 2l* * ( V |
nt |
dt = |
|
|
2Г |
|
|
|
—Г |
|
|
|
|
|
о |
|
2я1о 2Г |
|
|
|
|
|
|
!■ |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 Т — 2п |
+ |
|
|
|
" |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2я/0 |
2Г |
|
(2я/0)2 |
|
|
Или, используя степенной ряд для экспоненты, |
|
|
|
|
/ф = 2 Т - 2 п |
1 |
|
|
1 |
|
1 / 2Т )1 |
1 |
|
2Т \2 |
+ |
|
|
2я/0 + 2 |
V п )1 |
6 |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
-2Т — 2Т -f |
2я |
, |
( |
2Т |
\2 |
4я |
|
(2Т). |
|
|
— |
(2я/0) ( |
|
~ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
Следовательно, для /ф« |
0,01 (2Г) |
|
нам необходимо |
я = 100 (4я/3) /оТ==420/о Т |
членов разложения. Это в 1,65 раза больше, чем при оптимальном базисе.
К упр. 7.9 Из приведенного определения «случайной мгновенной частоты» fi (t) мы имеем
1
£[w 3 (t) ff (01 = 2я • E fx (t) x (/) —x (/) x (/)] =
CO
(f)]df.
Можно подсчитать эти значения, используя частотное представление (7.29) для кросс-корреляции
Ky x (f)= H {f)K x x (f).
y(t)
А. Применяя (4.26), заметим, что
Таким образом мы получаем
К х (f)= [2я/ sign /] Кхх (/) = 2я | f | Кхх (/) •
X X
Б. Аналогично
К ■- |
(/)= [ —2я/ sign/] Kxx(f) = — 2n\f\Kxx(f)- |
XX |
|
|
|
|
|
Используя А и Б, находим далее |
|
|
оо |
|
Отт |
оо |
|
|
|
г* |
2 |
|
(* |
Е {w * ( 0 f i( 0 ] = - ^ - |
$ |
| / | * « М = 4 ^ //C**(/)d/. |
|
|
— оо |
|
0 |
Кроме того, |
|
|
|
|
|
Е К |
(01 - Е [х2 (0 |
+ |
х» (/)] =й*« (0) + |
~ (0) = |
= 2kxx (0) = 2 |
^ |
Кхх (/) d f — 4 ^ Кхх (/) df. |
Следовательно, «средняя частота» |
|
|
|
Е [w2 (0 f, (Q]
