ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 1
Упорядоченную последовательность скалярных |
коэффициентов |
{аг} можно трактовать как «-мерную вектор-строку. |
Таким образом, |
имеется взаимно-однозначное соответствие между произвольными век торами в пространстве М и пространством «-мерных вектор-строк, а пространства Rn или Сп могут служить моделями любого действи
тельного или комплексного «-мерного |
пространства. Мы говорим, |
что набор из « чисел а = {а;} является |
представлением вектора х |
(в Rn или Сп) по отношению к базису {и*}. Важно помнить, что такое |
|
представление не имеет смысла само по себе, оно обязательно должно быть отнесено к конкретному базису. Различные наборы из п чисел могут представлять один и тот же вектор х по отношению к различным базисам.
Пример 2.9. Множество действительных или комплексных функций
времени, |
определенных на |
интервале |
Т = {t\ a |
является |
линейным |
пространством, |
в котором |
операции сложения |
векторов |
и умножения на скаляр определены в каждой точке следующим об разом:
|
для всех t £ Т. |
(2.23) |
Это пространство является |
функциональным пространством. |
|
В большинстве представляющих |
интерес случаев такие пространства |
|
бесконечномерны. Этот факт нетрудно установить, если построить бес конечную последовательность функций в данном пространстве, любое конечное число которых линейно независимо. Задача отображения сигналов, заданных в обычном, естественном виде, в наиболее удобные конечномерные функциональные пространства рассмотрена в гл. 3.
Упражнение 2.5. Показать, что подпространство функционального прост ранства, определенное как {х; х (0) = 0}, само является линейным простран ством.
Упражнение 2.6. Показать, что С [Т], рассмотренное в примере 2.6, яв ляется линейным пространством.
2.4. НОРМИРОВАННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Теперь объединим геометрические свойства, характерные для мет рических пространств, и алгебраические свойства, выявленные в ли нейных пространствах. Это достигается путем определения действи тельного числа, характеризующего «размер» элемента в линейном про странстве. Такое число называется нормой вектора (обозначается [[ х ||) и может быть определено с помощью любого отображения линейного пространства в действительную ось, удовлетворяющего следующим требованиям:
а) |
|| х ||> 0 и ||х || —0, |
|
только если х — 0; |
|
|
б) |
Их + у К Ц х Ц+ Иу |
(2.24) |
36
в) IахI= | а 11 х|].
С учетом этих свойств легко показать, что
d(x, у) = j|X —уII |
(2.25) |
есть метрика, удовлетворяющая условиям (2.1); такая метрика исполь зуется в нормированном линейном пространстве, если мы хотим, чтобы оно было метрическим. Заметим, что норма вектора равна расстоянию точки от начала координат. Нормированное линейное пространство, являющееся полным метрическим пространством, называется банахо вым пространством.
Во всех примерах § 2.1, за исключением примера 2.5, можно счи тать, что метрики получены через нормы. Например, мы можем опре делить норму для Rn или Сп соотношением
|
а. |
1/2 |
2 |
(2.26) |
|
/=1 |
|
|
а для действительных или комплексных функций времени, определен ных на Т, — соотношением
|
$ \x(t)\2dt |
Н/2 |
IIх ! |
(2.27) |
|
|
т |
|
Именно такое определение нормы мы выбрали для представления сигналов в силу простоты физической интерпретации квадрата нормы как энергии сигнала (1.5), а также потому, что эта норма естественным образом возникает в более сложных линейных пространствах, ис пользуемых в последующих параграфах. Множество функций, для ко торых норма (2.27) ограничена, называется пространством L2, обозна чаемым L2 (Т)*). Началом координат в этом пространстве является функция, равная нулю почти всюду на интервале Т.
Упражнение 2.7. Показать, что отображение f : SC -> R, определяемое выражением ^ (х) = || х |[ , является непрерывным.
2.5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ
Последним шагом в усовершенствовании структуры пространства сигналов является введение дополнительной геометрической харак теристики — скалярного произведения двух векторов. Мы рассмотрим здесь комплексные линейные пространства; действительные простран ства являются их частными случаями. Скалярное произведение —
*> Здесь мы вводим более удобное обозначение для временных интервалов. Удобно записывать их так:
[а, Ь] = |
{/; а < |
/ |
< |
Ь], [а, |
Ъ) = {/; а < |
/ < |
Ь}, |
(а, Ь] = |
{/; а < |
/ |
< |
Ь}, (а, |
Ь) — {/; а < |
/ < |
Ь). |
Соответственно, различные виды функциональных пространств L2 будем обозна чать: L2 (—оо, ос), L2 [0, со], L2 [—1, +1] и т. д.
37
это отображение упорядоченных пар векторов линейного пространства в комплексную плоскость С. Это отображение обозначается (х, у) и удовлетворяет следующим условиям*);
а) |
(х, у) = (у, х)*, |
|
|
(2.28) |
|
б) |
(ах + ру, z) = а(х, |
z) + P(y, |
г), |
||
|
|||||
в) |
(х, х) > 0 и (х, х) — |
0, только если х — 0. |
— а*(х, у) |
||
Из (2.28а) и (2.286) видно, что (ах, у) |
а(х, у), (х, ау) |
||||
и (х, х) — действительное число. Скалярное произведение |
называют |
||||
иногда также внутренним произведением. Важным следствием из ука занного определения скалярного произведения является то, что ве личина
IIхI = (х, х)>/2 |
(2.29) |
есть норма в линейном пространстве. Действительно, легко видеть, что условия а) и в) в (2.24) удовлетворяются. Условие б),т. е. неравен ство треугольника, требует доказательства. Сначала докажем очень важное соотношение, известное как неравенство Шварца:
I |
(х, у)|2< (X, х)(у, |
у). |
|
(2.30) |
|
Чтобы это доказать, применим свойство (2.28 в) к |
вектору х |
ау, |
|||
где а — любой скаляр. |
|
|
|
|
|
|
0 ^ ( х + ау, х-[-ау) = |
|
|
||
= (х, х) + а(у, х) + а*(х, у)+ |
|а |2(У. |
У)- |
(2-31) |
||
В частности, положив |
а — — (х, у)/(у, |
у), |
из (2.31) |
получаем нера |
|
венство |
|
|
|
|
|
|
(х, х)— |(х-’ У-^ |
> 0 , |
|
|
(2.32) |
|
(у. у) |
|
|
|
|
из которого следует (2.30). Заметим, что (2.30) обращается в равенство, если х = ау для некоторого а. Теперь, используя равенство ||х ||2 — = (х, х), докажем неравенство треугольника;
|x + y f = (x + y, х + у) = (х, х) + (х, у) +
+ (У. х) + (У, У) I!х F + 1У !|2 + 2 1х I||у1= |
( 1х I+1 у I)2. |
Итак, |
|
Цх + у К |х ||-Н |у ||, |
(2.33) |
и определение (2.29) удовлетворяет условиям для нормы.
Таким образом, скалярное произведение порождает норму, ко торая в свою очередь согласно (2.25) порождает метрику. Следователь но, пространство со скалярным произведением становится метрическим пространством, если ввести указанную частную метрику. Пространство со скалярным произведением, если оно является также полным (как метрическое), называется гильбертовым пространством.
> Звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину.
38
Иногда полезно трактовать скалярное произведение как некую меру угла между векторами. Поскольку неравенство Шварца можно переписать в виде
|(х, у) К IIX11| у ||, |
(2.34) |
мы можем определить угол 0 между векторами х и у соотношением
cos6 = Re(x’ |
у) . |
(2.35) |
II х II [| |
у I! |
|
Но в теоретических исследованиях мы будем пользоваться только понятием ортогональности векторов. Два вектора х и у ортогональны тогда и только тогда, когда (х, у) — 0. При попытке применить опре деление (2.35) к комплексным пространствам возникают некоторые
трудности, |
связанные с тем, что 0 может быть |
равен ± я /2, |
когда |
(х, у) ^Ф- 0. |
С другой стороны, если попытаться |
заменить в |
(2.35) |
Re (х, у) на | (х, у )|, мы не сможем получить углов во втором и третьем квадрантах.
Для рассмотренных ранее пространств, в которых задано скаляр
ное произведение, оно выражается следующим образом: |
|
|
|||||||
|
|
(х, |
у )= 2 |
ott pf; |
х, |
у еС '\ |
|
(2.36) |
|
|
|
|
L = |
1 |
|
|
|
|
|
|
(х, |
у) = |
J х (t) у* (t) dt; |
X, |
у (|L2 (Т). |
|
(2.37) |
||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
Упражнение 2.8. |
Пусть х и у •— векторы с единичной нормой в действи |
||||||||
тельном |
постранстве |
со скалярным |
произведением. |
Показать, |
что |
векторы |
|||
х + у и х |
— у — ортогональны. Сохранится ли ортогональность в |
комплексном |
|||||||
пространстве? Какой угол между векторами х + у и х |
— у будет согласно (2.35) |
||||||||
в комплексном случае? |
|
|
|
|
|
|
выбра |
||
Упражнение 2.9. |
Для пространства со скалярным произведением |
||||||||
на норма |
|| х ||2 = (х, |
х) доказать равенство параллелограмма: |
|
|
|||||
II х + У ll2 + II х —у ||2 = 2 1 х |Р+ 2 1| у ||2.
Упражнение 2.10 Показать, что скалярное произведение в комплексном пространстве удовлетворяет поляризационному тождеству:
4 (х, у)Н | х+ уIP—II х — у ||2 + / 1| х + /у ||2 —/1 х —/у I2.
Упражнение 2.11. Пусть 37 — банахово пространство, в котором норма удовлетворяет равенству параллелограмма. Определить скалярное произведе ние согласно поляризационному тождеству. Показать, что это действительно скалярное произведение, и, следовательно, 37 ■— гильбертово пространство.
Упражнение 2.12. Привести пример нормированного линейного простран ства, в котором норма не удовлетворяет равенству параллелограмма.
Пример 2.10. Сечение функции неопределенности вдоль оси вре мени. Важный пример применения скалярного произведения связан со свойствами сигналов ограниченной энергии. Если сигнал быстро из меняется во времени, можно ожидать, что сравнительно малые временнйе сдвиги должны приводить к значительным смещениям изо бражающей точки в подходящем пространстве сигналов, скажем в L2 ( — с», сю). С другой стороны, для медленно меняющихся сигналов
39
малые смещения во времени не приводят к существенным изменениям, и изображающая точка в пространстве сдвигается незначительно. Обозначим через хх сдвинутый на время т сигнал х, т. е. хх (t)=x (Д|-т). Тогда имеем:
d2(х, хх) = ||х —xTf = (x—хх, х —хт) =
= (х, х) + (хтхх)—(хт, х)—(х, xx) = | x f + ||хх||2 —2Re(x, хт). (2.38)
Энергия сигнала не зависит от сдвига во времени ЦхЦ2 = ||хх||2, сле довательно
d2(\, хх) = 2 [||х I2 —Re(х, хх)] = 2 МО) —гя(т)], |
(2.39) |
х , (t), |
|
Рис. 2.4. Два сигнала, имеющие почти одинаковую временную функцию неопределенности.
где обозначено
со |
|
г,, (т) = Re (х, xT) = Re J x(t)x*(t-}-r)dt. |
(2.40) |
Таким образом, каждомушигналу х соответствует действительная функ ция от временного сдвига, которая характеризует смещение изобра жающей точки в пространстве сигналов, обусловленное таким сдвигом. Для быстро изменяющихся сигналов следует ожидать, что гх (т) резко уменьшается с увеличением т. В случае короткого импульса гх (т), очевидно, узкая, но, как ясно из рис. 2.4, и сигналу большой длитель ности может соответствовать узкая гх (т). Во многих случаях, например в радиолокации, желательно использовать сигналы с узкой гх (т), поскольку это позволяет измерить время прихода сигнала с высокой точностью [5]. Соответственно, будем называть гх (т) сечением функции неопределенности вдоль оси времени. Малой неопределенности соответ ствует большое расстояние (2.39). По аналогии с подобной характе ристикой случайных процессов функцию гх (т) часто называют также
40