Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

т. е. безразлично, какой из формул —(18)

или (18*) —

мы воспользуемся для решения задачи.

Поясним

сказанное примерами.

П Р И М Е Р

1.

Найти угол

между прямыми

2х — Зг/ +

5 = 0

и

х + 2у +

2 = 0.

Р е ш е н и е .

Решая

каждое

из

данных

уравнений относитель­

но у , приведем

их к виду уравнений с угловым

коэффициентом:

соответственно

получим

2

,

5

1

.

У =

Т Х

+

Т'

!> = ~ ^ X

~ L

.

3

I

2

7_

tg а = -, , 2

/

1 \ ~ 4

откуда а =

arctg -^-.

1

+

3"

•M)

П Р И М Е Р

2.

Найти

уравнение

прямой,

проходящей

через точ-

ку

(—2; 0)

и образующей

угол

2

с

прямой

Зх - - f - 4(/+ б =

0.

arctg—

Р е ш е н и е .

Воспользуемся

уравнением

прямой,

проходящей

через данную

точку:

y — y, = k(x

— X,).

-

В нашем

примере Хі =

—2, уі =

0.

Подставляя

эти

значения

в уравнение,

получим

=

k (х + 2).

у

Для нахождения углового коэффициента k искомой прямой за­

метим, что речь

идет

об угле, который

и с к о м а я

прямая

образует

2

с

данной.

Поэтому

отсчет

угла

arctg

g-

следует

производить

от

д а н н о й

прямой;

в

соответствии

с

этим в

числителе

формулы,

коэффициент

д а н н о й прямой из углового

коэффициента

k искомой

прямой, а не наоборот.

Угловой

коэффициент данной прямой

найдем из ее

уравнения;

он равен —

. Следовательно,

откуда

& =

~ ,

Итак, искомое

уравнение

будет

1о

или

х+

18г/ +

2 =

0.

Если же требовалось бы найти уравнение прямой, проходящей

через точку (—2;

0),

с к о т о р о й

прямая 3* +

4</+ 6 =

0

обра­

зует угол arctg-g-,

то для

определения

углового

коэффициента k

мы имели

бы

уравнение — =

~

откуда

k =

и,

1 - f *

6

следовательно,

искомое уравнение

было

бы

# =

+

2),

или

17* + 6у +

34 =

0.

§ 13. Условия параллельности и перпендикулярности

двух прямых. 1.

Условие

параллельности.

Если

прямые

параллельны, то они образуют с

осью

Ох одинаковые

углы. Поэтому

угловые коэффициенты

ki

и k2 этих

пря­

мых равны (ki

=

k2).

Обратно,

если

k\ —

k2, то

углы

наклона

прямых

к оси Ох одинаковы, откуда

следует,

что

данные

пря­

мые параллельны.

Итак,

условием

параллельности

двух

прямых

яв­

ляется

равенство

их угловых

коэффициентов;

ki=k2.

(19)

лельности, т. е. из равенства

kz — kit следует, .что kz — ki — 0, и

по формуле (18) получаем

1 +

M s

2. Условие

перпендикулярности*).

Формула (18) опре­

деляет угол а

между пересекающимися прямыми

через

i g а. Если а = 90°, то эта формула

оказывается

непри­

причине мы при выводе формулы

(18) предполагали,

что

данные прямые пересекаются

под углом, отличным

от

прямого.

tgq>2 =

tg(q>,+90o ),

откуда

получаем

= ф 1

+

90о .

ф 2

Следовательно,

угол

между

данными

прямыми

равен

90°, т. е. прямые

взаимно

перпендикулярны.

Итак, условие

перпендикулярности

двух

прямых

со­

стоит в

том, что угловые

коэффициенты

этих

прямых

обратны

по абсолютной

величине

и противоположны

по

знаку:

1

* 2 = - J - .

(20)

П Р И М Е Р

1.

Найти

уравнение

прямой,

параллельной

прямой

З х — 5у +

6 = 0 и проходящей

через точку (—2; 3).

Р е ш е н и е .

Уравнение

пучка

прямых,

проходящих

через

точку

(—2; 3), имеет вид (см. формулу

(14))

у -

3 =

k (х + 2).

Так как искомая прямая параллельна

прямой

Зх — 5</ +

6 = 0,

то ее угловой

коэффициент

равен

угловому коэффициенту

данной

3

3

прямой,

т. е. равен

— ;

полагая

в уравнении

пучка

k =

-§>

полу­

чим искомое уравнение

или

З х - 5 0

+

21 = 0 .

П Р И М Е Р

2. Найти

уравнение

прямой,

перпендикулярной

к пря­

мой 7х + 9у + 1 = 0 и проходящей

через точку

(5; 3).

7

Р е ш е н и е .

Угловой

коэффициент

данной

прямой

есть

—-тт.

Следовательно,

в силу условия

у

(20), угловой коэффициент искомой

9

прямой

равен

- у .

Составляя

по

формуле

(14)

уравнение

пучка

9

чтобы найти

координаты

точки пересечения

двух

прямых,

надо решить

совместно

уравнения

данных

прямых

отно­

сительно X и

у.

П Р И М Е Р

1. Найти точку пересечения прямых

5.ѵ — у — 7 =

0,

3jt +

2y — 12 =

0.

3* +

4 г / - 2 =

0,

6* +

8г/ + 7 =

0.

Р е ш е н и е . Данная

система

несовместна и потому

прямыми, а

потому не

существует и

точки

пересечения

этих прямых.

П Р И М Е Р

3.

Найти

точку

пересечения прямых

2 л г - у

+ 1 = 0 ,

6* — Зг/ +

3 = 0.

Р е ш е н и е .

Легко

видеть, что

второе

из данных

жество решений:

давая

произвольные

значения одному

из неизвестных

х или

у и вычисляя

соответствующие