Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

ГЛАВА III

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА И ИХ УРАВНЕНИЯ. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§15. Геометрические места и уравнения линий, задан­ ных как геометрические места. Понятие линии второго порядка. 1. Изложенный в гл. II метод составления уравнения прямой по данным геометрическим условиям, определяющим прямую, можно распространить и на кри­

чек, обладающих тем свойством, что все они находятся на одинаковом расстоянии от одной данной точки, обра­ зует геометрическое место, называемое окружностью. Совокупность точек, каждая из которых одинаково уда­ лена от двух данных точек, образует прямую, пер­ пендикулярную к отрезку, соединяющему две данные точки, и проходящую через его середину. .

Пусть некоторая линия задана как геометрическое место точек. Как и для прямой, можно найти уравнение этой линии, представив в координатной форме геометри­ ческое равенство, выражающее необходимое и достаточ­ ное условие, что переменная точка М(х;у) принадлежит

данному геометрическому месту. Иначе говоря, уравне­ ние линии есть такое уравнение с двумя текущими ко­ ординатами, которому удовлетворяют координаты лю­ бой точки линии и только они.

2. Рассмотрим пример на составление уравнения кри­ вой линии как геометрического места точек.

67

места точек надо прежде всего установить положение осей координат. Положение осей координат можно, ко­ нечно, выбрать как угодно, но при удачном выборе уравнение геометрического места будет проще. Правил, которыми при этом следует руководствоваться, не суще­ ствует, и умение выбирать надлежащим образом поло­ жение осей координат дается только практикой.

Примем данную прямую за ось Ох, а ось Oy прове­ дем через данную нам точку Р (рис. 22). Так как точ­ ка Р считается данной, то мы должны считать извест­

Длина отрезка NM равна абсолютной величине орди­ наты у точки М: NM = \у\ (ордината у точки M может быть и отрицательной, а длина отрезка есть число по­ ложительное). Следовательно,

Возведя обе части этого равенства в квадрат и сде­ лав приведение подобных членов, получим уравнение

58

д.

0

откуда видим, что уравнение получается более сложное.

второй степени. К числу таких линий принадлежит

Как известно, такая операция может привести к уравнению, не рав­ носильному с исходным, т. е. к такому уравнению, которому удовле­

в данном случае уравнению (II) удовлетворяют лишь те координаты, которые удовлетворяют уравнению ( I ) . Однако доказательства этого утверждения ни здесь, ни в соответствующих случаях в дальнейшем мы не приводим.

69